西安电子科技大学：《大学物理》课程教学讲义（上）22 狭义相对论动力学基础

第4节狭义相对论动力学基础 1、相对论动力学定律要具有洛仑兹变换不变性 2、低速条件下，应能还原为经典动力学定律 3、必须和实验相符合 一、相对论动量、质量和动量守恒定律 经典力学：动量P=m,动量守恒定律∑m,=C 相对论：动量P=m，动量守恒定律∑m,=C m=- m。一：质速关系式 1-v21c2 讨论：V=0,m=m。,m。:静止质量 V≠0，m= -产7c>m,m:相对论质量 mo V个，m↑，V→c,m→∞ B-m %,P moV Vc 相对论：恒力，a,V个 V个，m个，a↓，V→c,m→o,a→0 V<c m,=0的粒子除外，如：光子，以c运动

1 第 4 节 狭义相对论动力学基础 1、相对论动力学定律要具有洛仑兹变换不变性 2、低速条件下，应能还原为经典动力学定律 3、必须和实验相符合 一、相对论动量、质量和动量守恒定律 经典力学：动量 P mV   = ，动量守恒定律 miVi C    = 相对论： 动量 P mV   = ，动量守恒定律 miVi C    = 2 2 0 1 V / c m m − = ：质速关系式 讨论： V = 0，m = m0 ，m0 ：静止质量 V  0， 0 2 2 0 1 / m V c m m  − = ， m ：相对论质量 V ， m ，V →c， m→ 2 2 0 1 V / c m V P mV − = =    ， C V c m V mV i i i i i    = −  =  2 2 0 1 / V  c， 0 2 2 0 1 / m V c m m  − = ， m V V c m V P mV     0 2 2 0 1 /  − = = m V C V c m V mV i i i i i i i      = −  =   0 2 2 0 1 / 二、相对论质点动力学方程 经典力学： dt dP mV dt d dt dV F ma m      = = = ( ) = 相对论： 2 2 0 1 V / c m V P mV − = =    ) 1 / ( ) ( 2 2 0 V c m V dt d mV dt d dt dP F − = = =     讨论： dt dV V m dt dm mV dt d dt dP F      = = ( ) = + ， a dt dV   = = V ma dt dm   + ， F a    ， F  与 a  不一定同方向 经典力学：恒力，恒定加速度， t 足够长， V  c 相对论： 恒力， a，V  V ， m ， a  ，V →c，m→，a →0 V  c m0 = 0 的粒子除外，如：光子，以 c 运动

三、相对论动能和动能定理 经典为学：正.=F,E,m 相对论：dE=F.d而 静质量为m,的质点，合外力F，速度0→7，质量m,→m (mya-d(m-(dm+mdv) A.A=A,A.dA=AdA Es-∫V2dm+m'dW le (vl),me-mv:-mi mo 2mdmc2-2mdmV2-m22VdV =0,V2dm+mVdv c2dm E.=c'dm=(m-me V<<c (1+x)P=1+0x+,x<1 令x=-V21c2,a=-1/2,满足y<1 1-V21c2)12=1+V22c2)+. E,=(m-mk2- moc2 1-r21c2 -mc2=mc2(1-V21c2）12-m,c2 =mc2[1+V22c2)+]-mc V<c,V21c2<1 E.melK2e-m-my 注意：相对论动能E4=(m-m)c2 6*2mr,*m=m 2V1-V2/c2 四、质能关系式和能量守恒定律 Eg =(m-mo )c2=mc2-moc2=E-Eo E。=mc2:静止能量 E=mc2= %c2 Eo h-vle h-vle 。:相对论总能量 E=Eo +E E=mc2:质能关系式 质量和能量是不可分割的，△E=△mc2 相对论能量守恒定律：∑E=∑mc2=C 相对论质量守恒定律：∑m,=C 核反应，静止质量减少，△m。:质量亏损，△E=△m,c

2 三、相对论动能和动能定理 经典力学： dE F dr k   =  ， 2 2 1 Ek = mV 相对论： dE F dr k   =  静质量为 m0 的质点，合外力 F  ，速度 V  0 → ，质量 m0 → m     =  = (mV)Vdt = V  d(mV) = V (dmV + m dV) dt d E F dr L k          2 A A = A   ， A dA = AdA    Ek = V dm + mVdV 2 2 2 0 1 V / c m m − = ， 2 0 2 2 2 m (1−V / c ) = m ， 2 2 0 2 2 2 2 m c − m V = m c 2 2 2 0 2 2 2 mdmc − mdmV − m VdV = ，V dm mVdV c dm 2 2 + = 2 0 2 ( ) 0 E c dm m m c m m k = = −  V  c (1+ x)  =1+x +， x 1 令 2 2 x = −V / c ， = −1/2 ，满足 x 1 (1−V 2 / c 2 ) −1/ 2 =1+V 2 /(2c 2 ) + 2 0 2 2 2 1/ 2 0 2 0 2 2 2 2 0 0 (1 / ) 1 / ( ) m c m c V c m c V c m c E m m c k − = − − − = − = − = 2 0 2 2 2 0 m c [1+V /(2c ) +]− m c V  c， / 1 2 2 V c  2 0 2 0 2 2 2 0 2 1 Ek  m c [1+V /(2c )] − m c = m V 注意：相对论动能 2 0 E (m m )c k = − 2 0 2 1 Ek  m V ， 2 2 2 2 0 2 1 / 1 2 1 V c m V Ek mV −  = 四、质能关系式和能量守恒定律 2 0 E (m m )c k = − = 0 2 0 2 mc − m c = E − E 2 0 0 E = m c ：静止能量 2 2 0 2 2 2 2 0 1 / 1 V / c E V c m c E mc − = − = = ：相对论总能量 E = E0 + Ek 2 E = mc ：质能关系式 质量和能量是不可分割的， 2 E = mc 相对论能量守恒定律： Ei =mi c = C 2 相对论质量守恒定律： mi = C 核反应，静止质量减少，m0 ：质量亏损， 2 0 E = m c

例：热核反应 H+3H→4He+n 氘核氚核氨核中子 m,(H)=3.3437×10-27kg m,(H)=5.0049×10-27kg m(He)=6.6425×1027kg m(dn)-1.6750×10-27kg 求：这一反应释放的能量 解：质量亏损△=m(H)+(H)-m(He)-m(dn) =0.0311×10-27kg △E=△m,c2=2.799×10-12(J) 1kg这样的核燃料完全反应 △E =3.35×1014(J) m(H)+m,(H) △m≈3.7g 1kg汽油的燃烧热Q=5.7×10?J 1kg汽油的静止能量E。=m,c2=1×(3×10)2=9×1016J Q.1 。*16亿 五、能量动量关系 经典力学：P=m,E=m2=mr-P 2m2m 相对论：E=mc2,E。=mc2,P=m e, m=一 mo m2(1-V21c2)=m6,m2c4-m2V2c2=m6c4 E2-c2P2=E E2=Eo+c2p2 相对论能量动量关系式 E 讨论：（1)m≠0，V<c E=Eo+E E2=E昭+2EE+E=E+c2P2 2EoE+E2=c2p2 V<c,Ek<E,2EE4≈c2p2 c'p2 cp2 P2 Ek≈ 2E。2m,c22m (2)m=0 E。=0,E2=c2P2,E=cP E=mc2,m=￡=c-P C-C-C 3

3 例：热核反应 H H He n 1 0 4 2 3 1 2 1 + → + 氘核 氚核 氦核 中子 m H kg 2 27 0 ( 1 ) 3.3437 10− =  m H kg 3 27 0 ( 1 ) 5.0049 10− =  m He kg 4 27 0 ( 2 ) 6.6425 10− =  m n kg 1 27 0 ( 0 ) 1.6750 10− =  求：这一反应释放的能量 解：质量亏损 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 4 0 2 3 0 1 2 m0 = m0 1H + m H − m He − m n = kg 27 0.0311 10−  2.799 10 ( ) 2 12 0 E m c J −  =  =  1kg 这样的核燃料完全反应 3.35 10 ( ) ( ) ( ) 14 3 0 1 2 0 1 J m H m H E =  +  m0  3.7g 1kg 汽油的燃烧热 Q J 7 = 5.710 1kg 汽油的静止能量 E m c J 2 8 2 16 0 = 0 =1 (310 ) = 910 16亿 1 0  E Q 五、能量动量关系 经典力学： P mV   = ， m P m m V Ek mV 2 2 2 1 2 2 2 2 = = = 相对论： 2 E = mc ， 2 0 0 E = m c ， P mV   = 2 2 0 1 V / c m m − = ， 2 0 2 2 2 m (1−V / c ) = m ， 2 4 0 2 4 2 2 2 m c − m V c = m c 2 0 2 2 2 E − c P = E E cP 2 2 2 0 2 E = E + c P 相对论能量动量关系式 E0 讨论：（1） m0  0，V  c E = E0 + Ek 2 2 2 0 2 0 2 0 2 E = E + 2E Ek + Ek = E + c P 2 2 2 2E0Ek + Ek = c P V  c， Ek  E0， 2 2 2E0Ek  c P 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2m P m c c P E c P Ek  = = （2） m0 = 0 E0 = 0， 2 2 2 E = c P ， E = cP 2 E = mc ， c P c cP c E m = = = 2 2

例：火箭相对地面以V=0.6c的 V=0.6c 速度向上飞离地球，火箭发 射后△=10s（火箭上的钟)， 该火箭向地球发射一枚导弹， 导弹相对地面的速度V=0.3c 求：火箭发射后，经过多长时间 导弹到达地球？（地面上的钟） 77777 解：地面S,火箭S S:火箭发射导弹是在火箭发射后△t秒 △1' 10 4=-r21c1-06 =12.5s 此时，火箭到地面的距离s=V公t 导弹由发射到到达地面的时间 474=25 由火箭发射到导弹击中地面的时间 △t=△t1+△t,=37.5s 例： ↑y ↑y S" O0重合时在共同坐标原点发出一个光信号 在两个参照系中分别写出波前方程 解：S:x2+y2+z2=c2t2 S:x2+y2+z2=c2t2 例：一宇宙飞船相对地球以0.8c的速度飞行，一光脉冲从船 尾传到船头。飞船上的观察者测得飞船的长度为90m。 求：地球上的观察者测得光脉冲传播的距离和时间 解：地球S系，飞船S'系，u=0.8c “光脉冲从船尾发出”为事件1 “光脉冲到达船头”为事件2 S':△x'=Lo,△t'=Lo/c S:4r= △r'+△t'_L0+uLo/c 1+u/c V1-u2/c2V1-u2/c2 ov1-ulc =90. 1+0.8 =270m V1-0.8 41=4-270 =9×10-7(s) c3×108 4

4 例：火箭相对地面以 V = 0.6c 的 V = 0.6c 速度向上飞离地球，火箭发 射后 t =10s （火箭上的钟）， 该火箭向地球发射一枚导弹， V 0.3c 1 = 导弹相对地面的速度 V 0.3c 1 = s 求：火箭发射后，经过多长时间 导弹到达地球？（地面上的钟） 解：地面 S ，火箭 S S ：火箭发射导弹是在火箭发射后 t 1秒 s V c t t 12.5 1 0.6 10 1 / 2 2 2 1 = − = −    = 此时，火箭到地面的距离 1 s =Vt 导弹由发射到到达地面的时间 t s V V V s t 1 25 1 1  2 = =  = 由火箭发射到导弹击中地面的时间 t t t 37.5s  =  1 +  2 = 例： y y  S S u O x O x  z z  O O 重合时在共同坐标原点发出一个光信号 在两个参照系中分别写出波前方程 解： S ： 2 2 2 2 2 x + y + z = c t S ： 2 2 2 2 2 x  + y  + z  = c t 例：一宇宙飞船相对地球以 0.8c 的速度飞行，一光脉冲从船 尾传到船头。飞船上的观察者测得飞船的长度为 90m。 求：地球上的观察者测得光脉冲传播的距离和时间 解：地球 S 系，飞船 S 系， u = 0.8c “光脉冲从船尾发出”为事件 1 “光脉冲到达船头” 为事件 2 S ： L0 x  = ， t L / c = 0   S ： 2 2 1 u / c x u t x −   +    = = 2 2 0 0 1 / / u c L uL c − + = u c u c L 1 / 1 / 0 − + = 270m 1 0.8 1 0.8 90 = − + c x t   = = 9 10 ( ) 3 10 270 7 8 s − =  