西安电子科技大学：《大学物理》课程教学讲义（上）02 切向和法向加速度

第4节 切向和法向加速度 一、自然坐标系 单位切向量云，沿轨道 切线指向质点运动方向 单位法向量n,沿轨道 法向指向凹的一侧 (,n):自然坐标系 y P(t), (t) 元(t+△t) t+△tQT(t+△t)(t+△t) (t+△t △7 △元=(t+△1)-T(t) △> 7(t) (t) A:矢量，大小：△=2sn△ 2 (t) △t→0时△0→0 0+△0 方向：△⊥(t),△元∥(t) △T △ 大小A=2sin *40 △元≈△0.n △0-→0，lim △T mA0:n=万三d =lim =n △0→0△0△0→0△0 e d元_d元dod元d0dsd元 di de dt de ds d’do 方， do=p, =V d d近_'i dt p 二、切向和法向加速度 V-V.i a=r、d dt dt a=d业 -n dt dtdt a=at+an 市：切向加速度，速率变化引起的 dy d's V个，a,>0,沿方向，V,a,0:法向加速度，速度方向变化引起的 0 沿法线指向曲率中心 a a指向轨迹凹的一侧 tga=a la

1  第 4 节 切向和法向加速度 一、自然坐标系 单位切向量   ，沿轨道   V  切线指向质点运动方向 单位法向量 n  ，沿轨道 法向指向凹的一侧 n  a  （  ， n  ）：自然坐标系 y C t P  (t)  ， n(t)   (t + t)  t + t Q  (t + t)  n(t + t)  n(t + t)       (t t)  (t)     = +  −    ：矢量，大小： 2 2sin     =  S P  (t)  t →0 时  →0 O x         =  ⊥          2 2sin ( ) // ( )       大小： 方向： t ， n t n        →0， n n    =    =       lim lim  n d d   =   dt ds ds d d d dt d d d dt d =  =             ， n d d   =   ，   = d ds ， V dt ds = n V dt d   =    二、切向和法向加速度    V =V  n V dt dV dt d V dt dV V dt d dt dV a             2 = = ( ) = + = + a at an n    =  + 2 2 dt d s dt dV at = = ：切向加速度，速率变化引起的 V  ， at  0 ，沿   方向， V  ，at  0 ，与   反方向 0 2 =   V an ：法向加速度，速度方向变化引起的 沿法线指向曲率中心 t a a  指向轨迹凹的一侧 a  2 2 2 2 2 ( ) ( )  V dt dV a = at + an = + n a an at tg = / Q n       n(t)   (t)    +   →0  →0

讨论：(1)直线运动，p=0,an=0 (2)匀速率圆周运动，4，=少 P2 =0,an= ：向心加速度 dt R (3)一般曲线运动及变速率圆周运动，a,≠0，an≠0 4)a,=→p=一：计算曲率半径 例：R=800m的圆形轨道，汽车，静止开始， a 速率均匀增加，t=3（分)，V=20m/s 求：t=2(分)，a,a,an 解：设V=kt,t=3（分)=180s,V=20ms a k=20/180=1/9, R 0 V=1/9 9 -=1/9=0.111(m/s2) d 1=2(分)=120s,V=120/9(m/S) a =0.222m/s2 R a=Va+a=0.248m/s2,tga=an/a,=2,a=63.4° 第5节 相对运动 S'相对于S作平动运动 子='+同 △F=△'+△6 dtdt dt 静系 动系 d =下：质点在S系中的速度（绝对速度） d '=:质点在S系中的速度（相对速度） dt =。：0点相对于0点的速度（牵连速度） dt =+。：绝对速度=相对速度+牵连速度 B对A=B- 2

2 讨论：（1）直线运动，  = ，an = 0 （2）匀速率圆周运动， = = 0 dt dV at ， R V an 2 = ：向心加速度 （3）一般曲线运动及变速率圆周运动， at  0，an  0 （4）  2 V an =  n a V 2  = ：计算曲率半径 例： R =800m 的圆形轨道，汽车，静止开始， t a 速率均匀增加， t =3（分）， V =20m/s  求： t =2（分）， a ， t a ， n a 解：设 V = kt，t=3（分）=180s，V =20m/s n a a  k =20/180=1/9， R O V =t /9 1/9 0.111( / ) 2 m s dt dV at = = = t =2（分）=120s，V =120/9(m/s) R V an 2 = = 2 0.222m /s 2 2 2 a a a 0.248m/s = t + n = ， an at tg = / =2，   = 63.4 第5节 相对运动 P S 相对于 S 作平动运动 0 r r r    =  + r  r   0 r r r     =   +  S S dt dr dt dr dt dr 0    +  = O 0 r  O 静系 动系 V dt dr   = ：质点在 S 系中的速度（绝对速度） V dt dr =     ：质点在 S 系中的速度（相对速度） 0 0 V dt dr   = ： O 点相对于 O 点的速度（牵连速度） V V V0    =  + ：绝对速度=相对速度+牵连速度 VB A VB VA    对 = −

dp dv'dvo dt dt d dp =ā：质点在S系中的加速度（绝对加速度） d d =':质点在S'系中的加速度（相对加速度） dt =,:0点相对于0点的加速度（牵连加速度） dt ā=a'+a。：绝对加速度=相对加速度+牵连加速度 如果S'系相对于S系作匀速直线运动，则a。=0,a= aB附A=aB-ad 例：汽车以20m/s速度向东行驶， 雨滴 雨滴在空气中以10m/s速度下 20ms 落，求雨滴相对于汽车的速度 解：地面：S,汽车：S系 10m/s 车对地面的速度为牵连速度 大小Vo=20m/s 雨滴对地的速度为绝对速度 大小V=10m/s 雨滴对车的速度为相对速度 公 D. 根据='+ 、=-。 V'=VW2+V=22.4m/s 180= V=2 0=63.4° 第6节 圆周运动的角量表示 s=RO 0:角坐标，rad 0=0(t) s=s(t) V= ds d dt dt (RO)=R dt A x @ de 角速度，adls R dt V=OR =R do d =Rdg d2 B=do=dio hd:角加速度， rad/s2 a=RB,a RR=0'R 3

3 dt dV dt dV dt dV 0    +  = a dt dV   = ：质点在 S 系中的加速度（绝对加速度） a dt dV =     ：质点在 S 系中的加速度（相对加速度） 0 0 a dt dV   = ： O 点相对于 O 点的加速度（牵连加速度） a a a0    =  + ：绝对加速度=相对加速度+牵连加速度 如果 S 系相对于 S 系作匀速直线运动，则 a0 = 0  ，a = a    aB A aB aA    对 = − 例：汽车以 20 m/s 速度向东行驶， 雨滴 雨滴在空气中以 10 m/s 速度下 20 m/s 落，求雨滴相对于汽车的速度 解：地面： S ，汽车： S 系 10 m/s 车对地面的速度为牵连速度 大小 V 20m/s 0 = 雨滴对地的速度为绝对速度 V0  大小 V =10m/s 雨滴对车的速度为相对速度 V   V  根据 V V V0    =  + V V V0     = − V V V 22.4m/s 2 0 2  = + = 2 0 = = V V tg   = 63.4 第6节 圆周运动的角量表示 s = R  ：角坐标， rad y  =  (t) s = s(t) P dt d R R dt d dt ds V  = = (  ) = O A x dt d  = ：角速度， rad /s V =R 2 2 dt d R dt d R dt dV at   = = = 2 2 dt d dt d   = = ：角加速度， 2 rad /s at = R ， R R R R V an 2 2 2 2   = = = R  r  s

讨论：1、o不变，匀角速圆周运动 (匀速率圆周运动，匀速圆周运动) B=do =0 dt →d0=o→jd=jot de dt 角位移：△0=0-0。=ot,0=0。+1 2、B不变：匀变速圆周运动 B=do dt →do=R,∫do=∫B 0-0o=→0=⊙o+ de 0= =oo+Bm→d0=(oo+)di dt ∫d0=∫(o+Bm)dh 角位移：△0=0-8，=01+广 o2-o6=2B(0-0) 匀速圆周运动 匀速直线运动 9=0+@t x=x+V1 匀变速圆周运动 匀加速直线运动 0=0o+m V=Vo+at 0-8=01+2m x-o=%1+2m o2-o=2β(0-0) V2-Vo=2a(x-x0) 兴女兴必兴兴必头女兴兴女兴必兴兴必兴必兴兴业兴必兴兴业兴必兴兴业兴必兴兴业兴业兴兴业安业兴安兴安必兴兴兴央北 4

4 讨论： 1、 不变，匀角速圆周运动 （匀速率圆周运动，匀速圆周运动） = = 0 dt d  dt d  =  d =dt    = t d dt 0 0     角位移：  = − =t 0 ， = +t 0 2、  不变：匀变速圆周运动 dt d  =  d = dt ，   =     0 0 t d dt  − = t 0   = + t 0 t dt d     = = 0 +  d ( t)dt  = 0 +    = +      0 0 0 ( ) t d t dt 角位移：  = 2 0 0 2 1  − = t + t 2 ( ) 0 2 0 2  − =   − ****************************************************** 匀速圆周运动 匀速直线运动  = +t 0 x = x +Vt 0 匀变速圆周运动 匀加速直线运动  = + t 0 V =V + at 0 2 0 0 2 1  − = t + t 2 0 0 2 1 x − x = V t + at 2 ( ) 0 2 0 2  − =   − 2 ( ) 0 2 0 2 V −V = a x − x ******************************************************