西安电子科技大学：《大学物理》课程教学讲义（上）03 质点运动学问题求解

运动学习题课 计算题目类型分析 一、已知运动方程，求速度和加速度 F=0,F=, d x=x(t),y=y(t),==(t) dt a =avs,a. dt dt _dt s=s0,v=, h’,s 一维直线运动：x=f0,V=血， _dt 二、已知速度，求加速度及运动方程 f=i0,a=亚，p-正-r0 dt _dt r=gudt,F=元+70h 一维直线运动 D=v0,a=i,V=五三严() d =0d,x=+y0d v=w,a-"-国.-=r dt dx dt d r-盘=re,=-fvX 分离变基法.儿高-山 →x=x(0 曲线运动，V=V(s) a,= dt ds dt ds 0 v=s=vs,∫s=∫s)dhX dt %-a=0 三、已知加速度，求速度和运动方程 a-a),a-dp =d(t)

1 运动学习题课 计算题目类型分析 一、已知运动方程，求速度和加速度 r r(t)   = ， dt dr V   = ， dt dV a   = x = x(t)， y = y(t) ， z = z(t) dt dx Vx = ， dt dy Vy = ， dt dz Vz = dt dV a x x = ， dt dV a y y = ， dt dV a z z = s = s(t)， dt ds V = ， dt dV at = ，  2 V an = 一维直线运动： x = f (t)， dt dx V = ， dt dV a = 二、已知速度，求加速度及运动方程 V V (t)   = ， dt dV a   = ， V (t) dt dr V    = =   = r t r dr V t dt 0 ( ) 0     ，  = + t r r V t dt 0 0 ( )    一维直线运动 V = V (t)， dt dV a = ， V (t) dt dx V = =   = x t x dx V t dt 0 ( ) 0 ，  = + t x x V t dt 0 0 ( ) V = V (x)， dt dV a = = dx dV x V x dt dx dx dV x ( ) ( ) ( )  = V (x) dt dx V = = ，   dx = V (x)dt 分离变量法：   = x t x dt V x dx 0 0 ( )  x = x(t) 曲线运动， V = V(s) dt dV at = = ds dV s V s dt ds ds dV s ( ) ( ) ( )  = ，  2 V an = V (s) dt ds V = = ，   ds = V(s)dt   = dt V s ds ( )  s = s(t) 三、已知加速度，求速度和运动方程 a a(t)   = ， dt dV a   = a(t)  =

dv-fad,+fadF-F 一维直线运动 a-at).a a0).-at V=6+a0)dh→x=x0 .far-Jowx -ar-0=0 a=alx),a-4-a(x),Jdv-fa(xdrX dt 换元法：a=亚-业在-r业=a dt dx dt dx vav a(xyds r-=aa达→r===0 圆周运动 h’Bsdo 6=60,a=d0 V=R,a,=RB,an=o2R dt 0=o0,B=d0, di =0(),do=adt o-fo,-0.+focd 0=0(0),B=do=do.dodo =0 dt de dt de a0,8-a=0=a0 de 0= dt B=B),B=daB),do-)d d o=a,+0jB0)dt→0=80 a-o).)o dt da.do=p),dB) odo B(Oyo 0-时-on38=am0)s0=a0 B=Aa,B-h-e%-a →0=o(t0→0=0t) 2

2   = V t V dV a t dt 0 ( ) 0     ，  = + t V V a t dt 0 0 ( )     r r(t)   = 一维直线运动 a = a(t)， a(t) dt dV a = = ，   = V t V dV a t dt 0 ( ) 0  = + t V V a t dt 0 0 ( )  x = x(t) a = a(V) ， a(V) dt dV a = = ，   dV = a(V)dt   = V t V dt a V dV 0 0 ( )  V = V (t)  x = x(t) a = a(x)， a(x) dt dV a = = ，   dV = a(x)dt 换元法： a(x) dx dV V dt dx dx dV dt dV a = =  = =   = x x V V VdV a x dx 0 0 ( )  − = x x V V a x dx 0 ( ) 2 1 2 1 2 0 2  V = V (x)  x = x(t) 圆周运动  =  (t)， dt d  = ， dt d  = ，V =R ，at = R ，an R 2 =   =(t) ， dt d  = ， dt d  = = (t) ， d =dt   = t d t dt 0 ( ) 0     ，  = + t t dt 0 0   ( )  = ( ) ， dt d  =       d d dt d d d =  = dt d  = = ( )，   = t dt d 0 0 ( )        = (t)  = (t) ， dt d  = = (t)，   = t d t dt 0 ( ) 0      = + t t dt 0 0   ( )   =  (t)  = ( ) ， dt d  = = ( ) ，  ( )     = dt d d d ， ( )    = d d   =          0 0 d ( )d  − =        0 ( ) 2 1 2 1 2 0 2 d   =( )   = (t)  =  () ， dt d  = =  ()，   = t dt d 0 0 ( )        =(t)   = (t)

例：质点位于P(x,y),速度大小为 A, dr B, dr d d C, d D, P(x,y) dt 例：一维直线运动的图示 x=x(t) V=V(t) 0 切线斜率k=女=V:速度 切线斜率k= =a:加速度 dt di 面积Vdh=△r:位移 y=y(x):轨迹方程 a 切线方向为速度方向 加速度指向凹侧 3

3 例：质点位于 P(x，y)，速度大小为 y V  A， dt dr B， dt dr  C， dt d r  D， 2 2 ( ) ( ) dt dy dt dx + O x 例：一维直线运动的图示 x V x = x(t) V = V (t) O t O 1 t 2 t t 切线斜率 V dt dx k = = ：速度 切线斜率 a dt dV k = = ：加速度 y 面积 Vdt x t t =   2 1 ：位移 y = y(x) ：轨迹方程 x 切线方向为速度方向 加速度指向凹侧 r  P(x, y) V  a 

一、湖中有一小船，岸边人用绳 通过高h处的滑轮拉小船， 收绳速率V。,求船离岸边s时 船速和加速度 解：r2=h2+s2,r↓ %s- _di 船速：V= 、,2r元=2sS dt v=-:-你+6，>% a= d"=d亚.k=vd业-_R dt ds dt ds α，V同方向，船作加速运动 二、质点从原点出发，以初速V沿x轴正 向运动，其加速度与速度成正比而反向 求：V(),x(①及物体静止后距原点的距离 解，a--ky=g；了七=J-k,n=-oe0 d k 0 x-1-e,1→0，V=0,物体静止，x= k *a=-kw-y-亚变=r亚，亚-k,jdm=-jkh ddkd=k’dk -V=-kx,x=V/k 三、质点作一维直线运动，已知，a=-kV2t,t=0,V='。 求：V(t) 解：a=亚-k, d 11 2Vo 2 2+kt2 四、一飞行器关闭发动机后作直线运动，其加速度大小 与速度平方成正比而反向，a=-k2，关机时，t0,V=V。 求：V()及关机后滑行的距离△x与1的关系 4

4 一、湖中有一小船，岸边人用绳 V0 通过高 h 处的滑轮拉小船， 收绳速率 V0 ，求船离岸边 s 时 船速和加速度 h r 解： 2 2 2 r = h + s ， r  dt dr V0 = − s 船速： dt ds V = ， dt ds s dt dr 2r = 2 0 2 2 0 V s h s V s r V + = − = − ， V V0 ds dV V dt ds ds dV dt dV a = =  = = 0 2 3 0 2 − V  s h a,V 同方向，船作加速运动 二、 质点从原点出发，以初速 V0 沿 x 轴正 向运动, 其加速度与速度成正比而反向 O V0 x 求： V (t)， x(t) 及物体静止后距原点的距离 解： dt dV a = −kV = ，   = − V V t kdt V dV 0 0 ， kt V V = − 0 ln ， kt V V e − = 0 kt V e dt dx V − = = 0 ，   − = x t kt dx V e dt 0 0 0 ， 0 0 t e k V x −kt = − (1 ) 0 kt e k V x − = − ， t → ，V = 0 ，物体静止， k V x 0 = * * dx dV V dt dx dx dV dt dV a = −k V = =  = ， k dx dV = − ，   = − 0 V0 0 x dV kdx −V = −kx 0 ， x V / k = 0 三、质点作一维直线运动，已知， a kV t 2 = − ，t = 0，V = V0 求： V (t) 解： kV t dt dV a 2 = = − ，   = − V V t ktdt V dV 0 0 2 ， 2 0 2 1 1 kt V V V − = − 2 0 2 1 1 1 kt V V − + = − ， 2 0 0 2 2 kV t V V + = 四、一飞行器关闭发动机后作直线运动，其加速度大小 与速度平方成正比而反向， 2 a = −kV ，关机时，t=0，V = V0 求： V (t) 及关机后滑行的距离 x 与 t 的关系 解： 2 kV dt dV a = = − ，   = − V V t kdt V dV 0 0 2 ， kt V V V − = − 0 1

-+=-,v=6 + -1+kV dt 1+kVit A=花1+k 五、带蓬卡车，高2m,车静止时，雨滴可进入车内1m处， 车以V。=15km/h前进时，雨滴恰不能进入车内 求：雨速 Vo=15km/h 2m m 解：地：S系，车：S'系，牵连速度大小V。=15km/h,方向→ 设雨对地速度了，雨对车速度'，=+。 Vo=15km/h 2m 44e4444444 1 1g6=2’0=26.6 v=% 15 =33.5km/h sin0sin26.6°

5 kt V V − + = − 0 1 1 ， kV t V V 0 0 1+ = kV t V dt dx V 0 0 1+ = = ，   + = x t x dt kV t V dx 0 0 0 0 1 = 0 ln(1 ) 0 0 0 t kV t kV V + ln(1 ) 1 0 kV t k x = + 五、带蓬卡车，高 2m ，车静止时，雨滴可进入车内 1m 处， 车以 V0 =15km/h 前进时，雨滴恰不能进入车内 求：雨速 V0 =15km/h 2m 解：地： S 系，车： S 系，牵连速度大小 V0 =15km/h，方向 → 设雨对地速度 V  ，雨对车速度 V  ，V V V0    =  + V0 =15km/h 2m V   V  1m 2 1 tg = ，   = 26.6  sin 26.6 15 sin 0 = =  V V =33.5km/h   1m