西安电子科技大学：《大学物理》课程教学讲义（上）21 狭义相对论的时空观

第3节狭义相对论的时空观 一、时空间隔变换 事件1 事件2 时空间隔 S:(x,,31,4)(x2,2,22,42)x3-x1=△x，3-乃=Ay 22-21=△业，t2-t=△t S:(x,,1, (x,,3,5) x-x=△x',-=△y -=△，5-=△t x+ut x2 +ut x=-1c X2= V1-21c2 乃= 2=3 31= 22=名 5+%x 6+% 4=-1c =-1e 时空间隔变换： △x'+u△t' △x-u△t △x=- 1-u21c2 =-r1c Ay=△y △y'=△y △z=△z' △z'=△z △1= △t= V1-2/c2 V1-n2/c2 例：地面观察者测得地面上↑y ↑y'u=0.6c 甲已两地相距8.0×10°m 一列火车从甲→已历时 2.0s,一飞船相对地面 以匀速u=0.6c的速度 甲8.0×10°m已x 飞行，飞行方向与火车运动方向相同 求：飞船上观察者测得火车从甲→已运行的路程、时间及速度 解：地面：S,飞船：S,1=0.6c 从甲出发：事件1，到达已地：事件2 S:△x=8.0×10°m,△t=2.0s 速度：V=△r=8.0×10 -=4.0×106m/s △12.0 S:4Y=A--80x10-06x3x10×20-44×10°m V1-u2/c2 V1-0.62 4M-÷Ax20-0.6 △t'= 3x10×8.0x106 -=2.48s V1-u2/c2 V1-0.62 =A=-1774×10m/s*-0.59c<0

1 第 3 节 狭义相对论的时空观 一、时空间隔变换 事件 1 事件 2 时空间隔 S ： ( , , , ) 1 1 1 1 x y z t ( , , , ) 2 2 2 2 x y z t x − x = x 2 1 ， y − y = y 2 1 z − z = z 2 1 ， t −t = t 2 1 S ： ( , , , ) 1 1 1 1 x  y  z  t ( , , , ) 2 2 2 2 x  y  z  t x  − x  = x  2 1 ， y  − y  = y  2 1 z  − z  = z  2 1 ， t −t = t 2 1 2 2 1 1 1 1 u / c x ut x −  +  = 2 2 2 2 2 1 u / c x ut x −  +  = 1 1 y = y  2 2 y = y  1 1 z = z  2 2 z = z  2 2 1 2 1 1 1 u / c x c u t t −  +  = 2 2 2 2 2 2 1 u / c x c u t t −  +  = 时空间隔变换： 2 2 1 u / c x u t x −   +    = 2 2 1 u / c x u t x −  −    = y = y  y  = y z = z  z  = z 2 2 2 1 u / c x c u t t −   +    = 2 2 2 1 u / c x c u t t −  −    = 例：地面观察者测得地面上 y y  u = 0.6c 甲已两地相距 m 6 8.010 一列火车从甲 → 已历时 2.0s ，一飞船相对地面 以匀速 u = 0.6c 的速度 甲 m 6 8.010 已 x 飞行，飞行方向与火车运动方向相同 求：飞船上观察者测得火车从甲 → 已运行的路程、时间及速度 解：地面： S ，飞船： S，u = 0.6c 从甲出发：事件 1，到达已地：事件 2 S ： x m 6  = 8.010 ， t = 2.0s 速度： m s t x V 4.0 10 / 2.0 8.0 10 6 6 =   =   = S ： 2 2 1 u / c x u t x −  −    = = m 8 2 6 8 4.4 10 1 0.6 8.0 10 0.6 3 10 2.0 = −  −  −    2 2 2 1 u / c x c u t t −  −    = = 2.48s 1 0.6 8.0 10 3 10 0.6 2.0 2 6 8 = −    − m s c t x V 1.774 10 / 0.59 8 = −   −      =  0 x 

二、速度变换，S:下=， S:产= dr x+ut X= d=dx'+udt' V1-u21c2 V1-21c2 y=y' dy dy' 2=z d=d正 1+%x 1=- C +兰 dt=- 1-u2/c2 1-u21c2 y-女=+d。+u dt dr+兰k1+兰四 dy=h-le i _dt diu dx' 1+ g=生=-r1eE=- dt '+ 3d' 1+ 逆变换：七，？=小-r7石上 ?'=1-w1cy 1-4 说明：(1)M<c,u/c2→0,21c2→0 V≈以+u,',≈，V≈ (2)空间坐标变换及速度变换不满足 矢量加法的平行四边形法则 (3)与光速不变原理自动相符合 V V=c X V=- V;+u 1*4 =c+u=c 1+4 2

2 二、速度变换， S ： dt dr V   = ， dt dx Vx = ， dt dy Vy = ， dt dz Vz = S ： dt dr V    =   ， dt dx Vx    = ， dt dy Vy    = ， dt dz Vz    = 2 2 1 u / c x ut x −  +  = 2 2 1 u / c dx udt dx −  +  = y = y  dy = dy  z = z  dz = dz  2 2 2 1 u / c x c u t t −  +  = 2 2 2 1 u / c dx c u dt dt −  +  = x x x V c u V u dx c u dt dx udt dt dx V +   + =  +   +  = = 2 2 1 x y y V c u V u c dx c u dt dy u c dt dy V +   = −  +   = = − 2 2 2 2 2 2 1 1 / 1 / x z z V c u V u c dx c u dt dz u c dt dz V +   = −  +   = = − 2 2 2 2 2 2 1 1 / 1 / 逆变换： x x x V c u V u V 2 1− −  = ， x y y V c u V V u c 2 2 2 1 1 / −  = − x z z V c u V V u c 2 2 2 1 1 / −  = − 说明：（1） u c， / 0 u c 2 → ， / 0 u 2 c 2 → Vx Vx  + u ，Vy Vy  ，Vz Vz   （2）空间坐标变换及速度变换不满足 矢量加法的平行四边形法则 （3）与光速不变原理自动相符合 y y  u V c x  = x x  z z  c c c u c u V c u V u V x x x = + + = +   + = 2 2 1 1

例：两火箭相向飞行 地面上测得： V4=0.9cV=-0.9c V4=0.9c B 'a=-0.9c 求：A上观察者测得 X B的速度 解：地面：S,火箭A:S，,u=V4=0.9c,B为研究对象 S:V.=Va=-0.9c S:g=y-L=-0.9c-09c=-18c=-0995c i-g1-0g18T 按伽利略变换，：=V-u=-1.8c △t+”Ar 三、同时的相对性， △1=T 1-u21c (1)如果两事件在S'系同时同地发生，即△t=0,△x=0 则△t=0,即在S系两事件同时发生 (2)如果两事件在S'系同时不同地发生，即△f=0,△x'≠0 则△1≠0，即在S系两事件不同时发生 “异地”的同时是相对的 V 1,C 2 O A P B XA XR AM+”Arx-x) △t'=0,△1= C V1-21c2V1-u21c2 例：北京、上海相距1000km ↑y u=0.6c 从两地同时各发一列火车 一飞船对地以u=0.6c的 速度飞行，方向由北京→ 上海 北京 1000km上海x 求：飞船上测得两地发车的时间差，哪一列火车先发出？ 解：地面S,飞船S,u=0.6c 北京发车：事件1，上海发车：事件2 S:△x=1000km=10°m,△t=0 4M-Ar-,06 ×106 S:△t'= =3x108 -=-0.0025s V1-21c2V1-0.6 △t'=5-<0,5<,上海的车先发出 3

3 例：两火箭相向飞行 y  地面上测得： y V c A = 0.9 V c B = −0.9 V c A = 0.9 A B V c B = −0.9 x  求： A 上观察者测得 x B 的速度 z 解：地面： S ，火箭 A ： S，u V c = A = 0.9 ， B 为研究对象 S ： V V c x = B = −0.9 S ： c c c c c c c V c u V u V x x x 0.995 1.81 1.8 ( 0.9 ) 0.9 1 0.9 0.9 1 2 2 = − − = − − − − = − −  = 按伽利略变换， V V u c x  = x − = −1.8 三、同时的相对性， 2 2 2 1 u / c x c u t t −   +    = （1）如果两事件在 S 系同时同地发生，即 t = 0，x  = 0 则 t = 0 ，即在 S 系两事件同时发生 （2）如果两事件在 S 系同时不同地发生，即 t = 0，x   0 则 t  0 ，即在 S 系两事件不同时发生 “异地”的同时是相对的 y y  S S u 1， c c 2 O x O A P B x  z z  A x  B x  t = 0， 2 2 2 1 u / c x c u t t −   +    = = 2 2 2 1 / ( ) u c x x c u B A −  −  例：北京、上海相距 1000km y y  u = 0.6c 从两地同时各发一列火车 一飞船对地以 u = 0.6c 的 x  速度飞行，方向由北京 → 上海 北京 1000km 上海 x 求：飞船上测得两地发车的时间差，哪一列火车先发出？ 解：地面 S ，飞船 S，u = 0.6c 北京发车：事件 1，上海发车：事件 2 S ： x km m 6  =1000 =10 ， t = 0 S ： 2 2 2 1 u / c x c u t t −  −    = = 0.0025s 1 0.6 10 3 10 0.6 2 6 8 = − −   − t = t 2  −t 1   0， 2 1 t  t，上海的车先发出

四、长度收缩 ↑y S B 为-X=L。:静止长度（固有长度） 运动物体的长度=同时测得物体两端的坐标差 S:1,A:x,B:x,xx=L (x,t):事件1，(x,t):事件2 v1-21c2’为=点-m x1-ut X2-X1 m元'-2e 6-1元，L=L-7元 4

4 四、长度收缩 y y  S S u A B 1 x  2 x  x  x 2 1 L0 x  − x  = ：静止长度（固有长度） 运动物体的长度=同时测得物体两端的坐标差 S ： t ， A ： 1 x ， B ： 2 x ， x2 − x1 = L （ x ,t 1 ）：事件 1，（ x ,t 2 ）：事件 2 2 2 1 1 1 u / c x ut x − −  = ， 2 2 2 2 1 u / c x ut x − −  = ， 2 2 2 1 2 1 1 u / c x x x x − −  −  = 2 2 0 1 u / c L L − = ， 0 2 2 0 L = L 1− u / c  L ，静止长度最长 说明： （1）相对效应 （2）物体在其运动方向长度收缩 V V 在垂直运动方向长度不变 V = 0 V = 0 例： y y  S S u c 2 3 = L0 =1m   0 = 45 x  x 求： S 系中测得杆长及其与 x 轴夹角 解： S ： 0 0 Lx  = L cos ， 0 0 L y = L sin  S ： 2 2 0 0 2 2 L L 1 u / c L cos 1 u / c x = x  − =  − 0 0 Ly = L y = L sin  0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 L = Lx + Ly = L cos  (1− u / c ) + L sin  = 0 2 2 2 0 L 1− (u / c )cos  =0.791(m) 2 2 0 2 2 0 0 0 0 cos 1 / 1 / sin u c t g L u c L L L t g x y − = − = =     ，   = 63.4 五、时间膨胀 定义：如果在某惯性系中同一地点上先后发生了两个事件， 则在该惯性系中测得的这两个事件的时间间隔称为 固有时间或原时，用 0  表示 设在 S 系中，同一地点，先后发生两个事件， x  = 0 在 S ： 2 2 2 1 u / c x c u t t −   +    = = 2 2 1 u / c t −   ， 0 2 2 0 1 /     − = u c

固有时间最短 说明：（1)相对效应 (2)运动的时钟变慢 粒子由产生到衰变经历的时间间隔：粒子的寿命 固有寿命t。 To T= V1-21c2 例：带电π介子固有寿命。=2.6×108s,某加速器射出的 带电π±介子的速度v=0.8c 求：实验室中测得π±介子的寿命及其衰变前飞行的距离 解：实验室：S,π介子：S',u=v=0.8c ,7=4.33×10-8s r=-r1 1=vx=0.8×3×108×4.33×10-8=10.4(m) 六、因果关系的绝对性 AM+”Ax 两个独立事件，△1= -/e'由于u及Ar的在意性 不能保证△t与△t同号 两个独立事件的先后次序可能会因参照系的不同而颠倒 因果关系是绝对的 证明：S:相互作用或信号传递速度？=Ax △t' M--vld V1-u21c2 40 则在S:△t=13-1>0

5 固有时间最短 说明：（1）相对效应 （2）运动的时钟变慢 粒子由产生到衰变经历的时间间隔：粒子的寿命  固有寿命 0  2 2 0 1− u / c =   例：带电   介子固有寿命 s 8 0 2.6 10−  =  ，某加速器射出的 带电   介子的速度 v = 0.8c 求：实验室中测得   介子的寿命及其衰变前飞行的距离 解：实验室： S ，   介子： S，u = v = 0.8c 2 2 0 1− u / c =   = s 8 4.33 10−  0.8 3 10 4.33 10 10.4( ) 8 8 l = v =     = m −  六、因果关系的绝对性 两个独立事件， 2 2 2 1 u / c x c u t t −   +    = ，由于 u 及 x  的任意性 不能保证 t 与 t 同号 两个独立事件的先后次序可能会因参照系的不同而颠倒 因果关系是绝对的 证明： S ：相互作用或信号传递速度 t x Vx      = 2 2 2 1 u / c x c u t t −   +    = = (1 ) 1 / 2 2 2 Vx c u u c t +  −   u  c， V c x   ， 1 2   c uVx ，1 0 2   + c uVx t 与 t 同号 如果在 S ： t = t 2  −t 1   0 则在 S ： t = t 2 −t 1  0