西安电子科技大学：《大学物理》课程教学讲义（上）15 简谐振动的合成

第3节简谐振动的合成 一、同方向同频率简谐振动的合成 x1=A cos(ot+p),x2=A cos(ot+p2) x=x+x2=4 cos(ot+)+4 cos(ot+) =A cosot cosp-A sin otsin p+A cosotcosp2-A sin otsin p2 =(A coso+42 cos2)cosot-(A sin o+sin )sin ot A coso+4 cos2=Acosp (1) A sin p+A2 sin p2 =Asin p (2) x=A cosotcoso-A sin otsin =A cos(ot+) 4=V4+45+244c0s0,-9),gp=4sn9+4s0 A coso+A cosz sin++-- cos+- p∈IⅡIIV 92-9=±2kπk=0,12,…, 同相，A=A+A最大 p2-9=(2k+1)πk=0,12,,反相，A=4-A最小 如果A=A2,A=0 0 旋转矢量法：A=A,+A, A=42+A2+24 42 cos(2-) A g0= A sm p+42 sm 2 A cos+42 cos2 x=X+x=Acos(ot+) 0 例：两个同方向同频率简谐振动，合振动A=20cm,合振动 与第一个简谐振动的位相差中-4=π/6，A=10W3cm 求：A及（4-4) A 解：A=A-A A2=A2+42-244 cos() A =10(cm), 0,P A2=A++2A,A2cos(中2-4) Cos(4-4)= ?--4=0,,-4=π/2 2A4 二、同方向不同频率简谐振动的合成 x=A cos(o t+) A x2=A2Cos(021+p2) XΦ 2t+p2t+p △Φ=Φ2-Φ1=(02-01)f+02-P1 1

1 第 3 节 简谐振动的合成 一、同方向同频率简谐振动的合成 cos( ) 1 = 1  +1 x A t ， cos( ) 2 = 2  +2 x A t 1 2 x = x + x = cos( ) 1  +1 A t + cos( ) 2  +2 A t = 1 1 A cost cos 1 1 − A sintsin  + 2 2 A cost cos 2 2 − A sintsin = (A cos A cos )cost 1 1 + 2 2 (A sin  A sin  )sint − 1 1 + 2 2 A1 cos1 + A2 cos2 = Acos (1) A1 sin1 + A2 sin2 = Asin (2) x = A cost cos − A sin tsin  = A cos(t + ) 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 A = A1 + A + A A  − ， 1 1 2 2 1 1 2 2 cos cos sin sin      A A A A tg + + = sin  + + - - cos + - - +       V 2 −1 = 2k k = 0,1,2, ， 同相， A = A1 + A2 最大 2 −1 = (2k +1) k = 0,1,2,  ，反相， A = A1 − A2 最小 如果 A1 = A2 ， A = 0  旋转矢量法： A A1 A2    = + A  2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 A = A1 + A + A A  − A2  1 1 2 2 1 1 2 2 cos cos sin sin      A A A A tg + + =  2 A1  cos( ) x = x1 + x2 = A t + O x 例：两个同方向同频率简谐振动，合振动 A =20cm，合振动 与第一个简谐振动的位相差  −1 = /6， A1 = 10 3cm 求： A2 及（ 2 −1 ） A  解： A2 A A1    = − 2 cos( ) 1 1 2 1 2 A2 = A + A − AA  − A2  A1  =10（cm），  2 1 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 2 A = A + A + A A  − O x 0 2 cos( ) 1 2 2 2 2 1 2 2 1 = − − − = A A A A A   ，2 −1 =  / 2 二、同方向不同频率简谐振动的合成 A  ，t cos( ) 1 = 1 1 +1 x A t A2  cos( ) 2 = 2 2 +2 x A t  A1  2 +2 t 1 +1 t O x  = 2 1 2 1 2 1  − = ( − )t + − A2  6   1

A=VA+A号+2A1A2cos[(o2-o)1+(p2-p1月 合振动不是简谐振动 A变化的周期x= 2π 02-01 4变化的频率v-上_-o=k,- 2元 A的变化表现为振动强弱的变化 振动忽强忽弱的现象称为“拍”，V=y2-y:拍频 2π T= 拍的周期 02-01 “拍”的示教 设02>01 02+ 1s内 A A2比A,多转角度o,-0 多转圈数，二=-y:拍频 2π 注意： 1、拍频是合振幅或振动强度变化的频率 不是合位移变化的频率 令A=A2 x=x+x2=A cos(@t+)+A cos(@2t+2) =24cos0,二01+%%)c00+01+%t%) 2 2 2 2 0+0>,@,A=24c0s0,0m1+% 2 2 2 2 拍周期π= π 2π 拍颜v=二m=k,-y 02-01 02-01 2π 2 2、山-较小时“拍”现象才比较明显 3、从x-t曲线上看“拍”现象，p257 4、A=A+A2只适用于同方向简谐振动的合成 三、相互垂直简谐振动的合成 ↑y 1、同频率： P(x,y) x=A cos(ot+) y=4 cos(ot+p2) 位移F=xi+ 轨迹方程： 茶 -cos(2-e)=sin(2- 2

2 2 cos[( ) ( )] 1 2 2 1 2 1 2 2 2 A = A1 + A + A A  − t +  − 合振动不是简谐振动 A 变化的周期 2 1 2     − = A 变化的频率 2 1 2 1 2 1        = − − = = A 的变化表现为振动强弱的变化 振动忽强忽弱的现象称为“拍”，  =  2 − 1 ：拍频 2 1 2     − = ：拍的周期 “拍”的示教 设 2 1 2 A  1s 内 A2  1 A2  比 A1  多转角度 2 −1 A1  多转圈数 2 1 2 1 2      = − − ：拍频 O x 注意： 1、拍频是合振幅或振动强度变化的频率 不是合位移变化的频率 令 A1 = A2 1 2 x = x + x = cos( ) 1 1 +1 A t + cos( ) 1 2 +2 A t = ) 2 2 )cos( 2 2 2 cos( 2 1 2 1 2 1 2 1 1        + + − + + − A t t 2 2 2 1 2 −1  + ， ) 2 2 2 cos( 2 1 2 1 1    − + − A = A t 拍周期 2 1 2 1 2 2        − = − = ，拍频 2 1 2 1 2 1        = − − = = 2、  2 −1 较小时“拍”现象才比较明显 3、从 x −t 曲线上看“拍”现象，p257 4、 A A1 A2    = + 只适用于同方向简谐振动的合成 三、相互垂直简谐振动的合成 y 1、同频率： P (x, y) cos( ) = 1  +1 x A t cos( ) = 2  +2 y A t 位移 r xi yj    = + O x 轨迹方程： cos( ) sin ( ) 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 + −  − =  − A A x y A y A x r 

椭圆方程 (1)p2-0=0, x2,y2 2y=0,(-}=0 +44 AA x,iga= A A A x=A cos(ot + y=A cos(ot+) s=cos(or+o) 合振幅A=VA?+ “沿任意方向的一个简谐振动可以分解为两个相互垂直 同频率的简谐振动”。A=Acosa,A2=Asin a 2)-=x③99号，若 =1 A A y A>A (4)p2-9=- x 4R1,3)4）4=4+y=4 A>A (5)p2-1=其它数值，斜椭圆，p259 “任意一个简谐振动、某些椭圆运动和某些圆周运动可以 分解为两个相互垂直同频率的简谐振动” 2、不同频率： （1)频率相差较小时，轨迹不稳定，p259 (2)频率相差较大时，如果02/⊙，为整数比，轨迹是稳定的闭 合曲线：李萨如图形，形状由o2/0,及p,p2决定，p259 (3)⊙2/o⊙，不是整数比，轨迹永不闭合，合成运动是非周期运动 “任何复杂的振动都可以看作两个或多个简谐振动的合成” 第4节阻尼振动受迫振动共振 一、阻尼振动 弹簧振子，弹力F=-x,阻力f=一W y>0(常数)：阻力系数 2x F+f=-kx-yV=ma=m- t2 3

3 椭圆方程 （1） 2 −1 = 0， 0 2 1 2 2 2 2 2 1 2 + − = A A xy A y A x ，( ) 0 2 1 2 − = A y A x x A A y 1 2 = ， 1 2 A A tg = cos( ) x = A1 t +  cos( ) y = A2 t + O x A1 x cos( ) 2 2 2 1 2 2 s =  x + y = A + A t + 合振幅 2 2 2 A = A1 + A “沿任意方向的一个简谐振动可以分解为两个相互垂直 同频率的简谐振动”。 A1 = Acos ， A2 = Asin （2） 2 −1 = ， x A A y 1 2 = − （3） 2 2 1   − = ， 1 2 2 2 2 1 2 + = A y A x y y A2  A1 x O x （4） 2 2 1   − = − ， 1 2 2 2 2 1 2 + = A y A x ，（3）、（4） A2 = A1 2 2 2 x + y = A A2  A1 x x （5） 2 −1 = 其它数值，斜椭圆，p259 “任意一个简谐振动、某些椭圆运动和某些圆周运动可以 分解为两个相互垂直同频率的简谐振动” 2、不同频率： （1）频率相差较小时，轨迹不稳定，p259 （2）频率相差较大时，如果 2 1  / 为整数比，轨迹是稳定的闭 合曲线：李萨如图形，形状由 2 1  / 及 1， 2 决定，p259 （3） 2 1  / 不是整数比，轨迹永不闭合，合成运动是非周期运动 “任何复杂的振动都可以看作两个或多个简谐振动的合成” 第 4 节 阻尼振动 受迫振动 共振 一、阻尼振动 弹簧振子，弹力 F = −kx ，阻力 f = −V   0 （常数）：阻力系数 2 2 dt d x F + f = −kx −V = ma = m O y y s y A2 y A O O

dixk +-x=0 di2 mdt m 令Vk/m=o:固有频率，y/m=2B,B>0:阻尼因子 d2x +2乃+x=0一一阻厄辰动藏分方程 d 1、小阻尼（欠阻尼）B0o x=Ce←B+VB2-a5n +Ce(-B-1B-oin 临界阻尼B=o。，x=(C1+c2t)eA 二、受迫振动 周期性外力：强迫力，受迫振动 弹簧振子，弹力F=-x,阻力f=-W 周期性外力Hcos(o1),o':外力频率，H:外力的幅度 d'x ma=m d? =-kx-yV+H cos(@'t) d'xrdxkx=H +二x=兰cos(o't) dr mdt mm 令义=2B,m =00， H=h m d'x +2B血+ox=heos0一—受迫振动微分方程 dt x=Aoe cos(ot+p)+A'cos(o't+) @=og-B2 t较大时，x=Acos(o1+p),简谐振动 振动颜率=强迫力的频率 h A'= V(@-o2)2+4B2o2 80'= 2Bo 0-02 4

4 0 2 2 + + x = m k dt dx dt m d x  令 0 k / m = ：固有频率，  / m = 2 ，   0 ：阻尼因子 2 0 2 2 0 2 + + x = dt dx dt d x   ——阻尼振动微分方程 1、小阻尼（欠阻尼）  0 x cos( ) 0    = + − x A e t t t A A e − = 0 2 2  = 0 −  ， t A A e − = 0  O t  0 0 0 2 2 0 2 2 2 T  = T − = =        ，振动能量  ，准周期运动 2、过阻尼和临界阻尼 x 过阻尼  0 临 过 t x c e ( ) 1 2 0 2 − +  − = t c e ( ) 2 2 0 2 − −  − + 临界阻尼  =0 ， t x c c t e − = ( + ) 1 2 二、受迫振动 周期性外力：强迫力，受迫振动 弹簧振子，弹力 F = −kx ，阻力 f = −V 周期性外力 H cos(t) ， ：外力频率， H ：外力的幅度 cos( ) 2 2 k x V H t dt d x ma = m = − − +  cos( ) 2 2 t m H x m k dt dx dt m d x   + + =  令   = 2 m ， =0 m k ， h m H = 2 cos( ) 2 2 0 2 x h t dt dx dt d x +  + =  ——受迫振动微分方程 cos( ) 0    = + − x A e t t + Acos(t +) 2 2  = 0 −  t 较大时， x = Acos(t +) ，简谐振动 振动频率=强迫力的频率 x 2 2 2 2 2 (0 − ) + 4   = h A 2 2 0 2     −   tg  = − t t

三、共振 dA' =0→0'=V06-2B2时 在周期性外力 do' 作用下，振幅 h 达到极大值的 2BV0i-B 现象称为共振 0'=√o-2B2：共振条件 B→0，共振条件o'→0,0'=00，'→0 外力对系统输入能量，系统因阻尼而损耗能量，稳定状态下， 在一个周期内，外力的功和阻力的功恰好相抵消，这正是系统 维持等幅振动的原因 当B→0，o'→0。时，外力和速度总是同方向，外力对系统 总是作正功，系统能量个（B→0)，振幅个，形成共振 例：取质点向右运动通过A时开始 计时（t=0),经过2s后，质 点第一次通过B点，再经过2s 第二次通过B点，已知质点 通过AB两点时速率相同，AB=10cm 求：(1)振动方程(2)Ψ=？ 解：(1)Y=Ψ，平衡位置在AB 中点，A>5cm △tAo=△toB=ls BC x △tBc=AtcB=ls △M4D=△tDA=ls,T=8s △MA=△14o,p=5π/4，A=5V2cm ()52o 4)em 2）r55.(✉+.1=0，pm 例：均质细杆(1，m),弹簧k 求：振动周期 解：重力mg向下 0较小时，弹力F=klsin0向右 取顺时针为正 mg 3mr dg M--mgsin 0-klsin 0.Icos=I=m 0较小时，sin0≈0，cos0≈1 d20,3mg+60=0 2ml 5

5 三、共振 A = 0   d dA  2 2  = 0 − 2 时 2 2 0 max 2  −   = h A 2 2  = 0 − 2 ：共振条件   → 0 ，共振条件  →0  ， =0  ， A → 外力对系统输入能量，系统因阻尼而损耗能量，稳定状态下， 在一个周期内，外力的功和阻力的功恰好相抵消，这正是系统 维持等幅振动的原因 当  → 0， →0  时，外力和速度总是同方向，外力对系统 总是作正功，系统能量  （  → 0 ），振幅  ，形成共振 例：取质点向右运动通过 A 时开始 计时（ t = 0 ），经过 2s 后，质 点第一次通过 B 点，再经过 2s A B x 第二次通过 B 点，已知质点 通过 AB 两点时速率相同，AB=10cm 求：（1）振动方程（2） VA =？ 解：（1） VA = VB ，平衡位置在 AB 中点， A  5cm  t t s  AO =  OB =1 D A O B C x t t s  BC =  CB =1 t t s  AD =  DA =1 ，T = 8s  DA AO t = t ， = 5 / 4， A = 5 2cm x t t )cm 4 5 4 ( ) 5 2 cos(  = + （2） ) 4 5 4 )sin( 4 5 2 (    V =  − t + ， t = 0， VA = cm / s 4 5 O 例：均质细杆（ l，m ），弹簧 k 求：振动周期 l 解：重力 mg 向下 k F  较小时，弹力 F = klsin 向右 取顺时针为正 mg 2 2 2 3 1 sin sin cos 2 dt d k l l I ml l M mg  = −  −    =  =  较小时， sin  ，cos 1 0 2 3 6 2 2 = + +   ml mg kl dt d  在周期性外力 作用下，振幅 达到极大值的 现象称为共振

3mg +6kl T 2元-2r 2ml 0= 2ml 0 3mg +6kl 例：将一根弹簧（k)从中间一分为二，每一部分K'=? 串联 k kz k+k2 并联 ·-w k 例：电梯匀加速a上升 求：弹簧振子系统的T 解：以电梯为参考系，惯性力ma m ↑a 静止形变6t,mg+ma=kδ F 重力mg,惯性力ma 弹力F=-k(⑥，+x) ma mg d'x mg+ma-k(δ+x)=m dr d'x k kx=0,0=\m ”与电梯的加速度无关 6

6 ml mg kl 2 3 + 6  = ， mg kl ml T 3 6 2 2 2 + = =    例：将一根弹簧（ k ）从中间一分为二，每一部分 k = ? 串联 1 k 2 k 1 2 1 2 k k k k k + = 1 k 1 k 2 k 并联 1 2 k = k + k 2 k 例：电梯匀加速 a 上升 求：弹簧振子系统的 T 解：以电梯为参考系，惯性力 ma m O a 静止形变  st ， st mg + ma = k F 重力 mg ，惯性力 ma x 弹力 F k( x) = −  st + ma mg 2 2 ( ) dt d x mg + ma − k  st + x = m x 0 2 2 + x = m k dt d x ， m k  = k m T    2 2 = = 与电梯的加速度无关