第2节简谐振动动力学 一、弹簧振子 k m, F=-kx w x较小时，F=-kx=ma=m -x x+kx=0, k>0 m m 频率或周期仅由振动系统决定，与初条件无关 固有频率，固有周期 例：竖直悬挂的弹簧振子，静止 /o 形变6，讨论小球的运动。 解：kδ，=ng 重力 弹力F=-k(6+x) d"x mg-k(δt+x)=ma=m d mg d2x k +二x=0, dt2 m -,0 8 思考题：仅用一把直尺如何测量弹簧振子的固有频率？ 二、单摆(1，m) 逆时针为正 -mgsin 0-ma-mlf =mld d0+8sim0-0, d27 0较小时，sin0≈0(ad) 日=日cos(ot+p),角速度2= de =-00 sin(ot+) dt 注意：角位移0与位相Φ的区别 初角位移日。与初位相0的区别 振动角速度Ω与圆频率0的区别
1 第 2 节 简谐振动动力学 一、弹簧振子 k m， F = −kx O x x x 较小时， 2 2 dt d x F = −kx = ma = m 0 2 2 + x = m k dt d x ， 0 m k m k = ， k m T 2 2 = = 频率或周期仅由振动系统决定，与初条件无关 固有频率，固有周期 例：竖直悬挂的弹簧振子，静止 0 l k 形变 st ，讨论小球的运动。 解： k st = mg 重力 弹力 F k( x) = − st + 2 2 ( ) dt d x mg − k st + x = ma = m mg 0 2 2 + x = m k dt d x ， m k = st g m k = ， st g = ， g T st 2 2 = = 思考题：仅用一把直尺如何测量弹簧振子的固有频率？ 二、单摆（ l，m ） O 逆时针为正 − mg = mat sin = 2 2 dt d ml ml = ， l T sin 2 2 l g dt d + =0， m 较小时， sin （ rad ） l g dt d + 2 2 =0， l g = ， g l T 2 2 = = ， mg = cos(t +) m ，角速度 sin( ) = = − t + dt d m 注意：角位移 与位相 的区别 初角位移 0 与初位相 的区别 振动角速度 与圆频率 的区别 st x F O x
三、复摆 取逆时针为正 重力矩M=-mghsin0 -mghsin =IB1d dt2 mg d20,mgh in0=0,0较小时，sin0≈0(rad) d21 d0+mg0-0,o= mgh d 1、简谐报动0+Gr=0,C0 2、0=√C,T=2r10=2π1NC 四、简谐振动的能量 弹簧振子，x=Acos(ot+p),V=-@Asin(ot+p) Er-kx=kd cos'(o+) 2 2 =号m2-mo4sna+p-+p） E=E+E-7k4 注意：(1)、E、E频率是振动频率的2倍，机械能守恒 (2)、振动能量EcA (3)、瓦，=E,=fsm(a+ph =片却-cos2am+o恤-f E,-5,d-f a-,-5 （4)、E=E+E2=5mV2+5kx2=)k+kx2=5k4 2 A=√x2+21o2=Vx+1o2 (5)、能量时间曲线 E x=Acosot E:-Tk cos'ot 2 E-7k4'sin ot 1 E=E,+B,-2f T2
2 三、复摆 O m 取逆时针为正 重力矩 M = −mghsin 2 2 sin dt d mgh I I − = = mg sin 0 2 2 + = I mgh dt d ， 较小时， sin （ rad ） I mgh dt d + 2 2 =0， I mgh = ， mgh I T 2 2 = = 1、简谐振动 0 2 2 + Cx = dt d x ，C 0 2、 = C ，T = 2 / = 2 / C 四、简谐振动的能量 弹簧振子， x = Acos(t +) ，V = −Asin(t +) cos ( ) 2 1 2 1 2 2 2 EP = k x = kA t + sin ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 Ek = mV = m A t + = sin ( ) 2 1 2 2 kA t + 2 2 1 E = Ek + EP = kA 注意：（1）、 Ek 、 EP 频率是振动频率的 2 倍，机械能守恒 （2）、振动能量 2 E A （3）、 k A t dt T E dt T E T T k k = = + 0 2 2 0 sin ( ) 2 1 1 1 k A t dt T T = − + 0 2 [1 cos 2( )] 2 1 2 1 1 = 2 4 1 kA E dt T E T P = P 0 1 = 2 4 1 kA Ek = EP = E 2 1 （4）、 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 k x k A V E E E mV k x k = k + P = + = + = 2 2 2 A = x +V / = 2 2 0 2 0 x +V / （5）、能量时间曲线 E EP Ek E x = Acost E kA t P 2 2 cos 2 1 = Ek = kA t 2 2 sin 2 1 2 2 1 E = Ek + EP = kA h C T/2， T t
例：立方木块1=0.25m Pwood =800kgm3 把木块压入水中后放手 求：木块的运动方程 解：mg=1 bPwaterg b 1Pwoodg=12bpwalerg'(Pwater =1000kgm) b=Pmod1=0.2(m),a=1-b=0.05(m) Pwater d2x mg-12(x+b)pwaleg =m dt2 mg-PxP8-EbpPdi d2x +P8x=0,+8x=0,0=-02 8=,9.8 dip.odl=0’di2tbx 7(radls) A=a=0.05(m),p=0,x=0.05c0s7t(m) 2
3 例：立方木块 l = 0.25 m F 3 800 − wood = kgm a 把木块压入水中后放手 l C O x 求：木块的运动方程 b 解： mg l b water g 2 = mg b l wood g l b water g 3 2 = ，（ 3 1000 − water = kgm ） b l 0.2(m) water wood = = ， a = l − b = 0.05(m) x 2 2 2 ( ) dt d x mg − l x + b water g = m 2 2 2 2 3 dt d x mg l x g l b g l − water − water = wood 0 2 2 + x = l g dt d x wood water ， 0 2 2 + x = b g dt d x ， 7( / ) 0.2 9.8 rad s b g = = = A = a = 0.05(m) ， = 0 ， x = 0.05cos 7t(m) C