西安电子科技大学：《大学物理》课程教学讲义（下）10-10 静电场习题课II

静电场习题课Ⅱ 四、电荷与外电场的相互作用 外电场，E外、U外 受力 电势能 研 点电荷 F=9E外 W=qoU外 究 点电荷系 对 F=∑9，E% W=∑q,U外 象 带电体 F-∫E外dg W=U外dg 注意：E外、U外是外电场的场强和电势 不包括研究对象自身产生的电场和电势 例：两块导体板的 -0 相互作用力 解： F=Q= 280 26S +++ - A B 例：电偶极子在均匀外电场中受力、力矩、电势能 P=gl,q F 解：受力：F=F+F=gE-gE=0 为矩：M=E号in0+E号sin6=Flsn0 =gElsin0=PEsin0 M=PxE 电势能：W=W+W=-qU.+qU,=-q(U.-U,) =-gElcos0=-PEcos0=-P.E 讨论(1)P∥E E F=0,M=0 稳定平衡 W=-PE (2)P1E F=0,M=PE W=0 (3)PI-E) 不稳定平衡 F=0,M=0 W=PE 1

1 静电场习题课 II 四、电荷与外电场的相互作用 外电场， E外 、 U外 受力 电势能 点电荷 F q E外    0 W  q0U外 点电荷系   iE i F q 外     iU i W q 外 带电体  F  E外dq    W  U外dq 注意： E外 、 是外电场的场强和电势  U外 不包括研究对象自身产生的电场和电势 例：两块导体板的 Q  Q 相互作用力 S 解： S Q F Q 0 2 2 0 2    A B 例：电偶极子在均匀外电场中受力、力矩、电势能 P ql ，    q F  E  O F  q 解：受力： F  F  F =    qE  qE  0   力矩：  sin = 2 sin 2 l F l M  F   F lsin = qElsin = PEsin M P E      电势能： ( ) W  W W  qU  qU  q U U =  qEl cos =  PEcos = P E     讨论（1） P E   // E  F  0 ， 稳定平衡  M  0  P  W  PE （2） P E    P  F  0 ，  M  PE W  0 （3） P//( E) 不稳定平衡    F  0 ，  M  0  P  W  PE 研 究 对 象

例：均匀带电球体的静电能 解：p=0(兮R) rR rR 32π284 W-Swdv-f"wdv+5wdv 2PIR o2 4580 8πER .302 20π6R 例：求：均匀带电直线段在均匀带电球面电场中的电势能 1 x dx 解：dg=d 均匀带电球面在x处的电势U=, 4π8ox dm=Ud☑=9adhr 4π8ox r21 dx=AnEo w=∫dw=了4x 201n2 2

2 例：均匀带电球体的静电能 Q R 解： ) 3 4 /( 3   Q R        r R r Q r r R E 2 0 0 4 3            r R r Q r r R w rE 4 0 2 2 2 0 2 2 0 32 18 2 1             R R W wdV wdV wdV 0 = r dr r Q r r dr R R 2 0 4 0 2 2 2 2 0 2 4 32 4 18          = R Q R 0 2 5 0 2 45 8 2      = R Q 0 2 20 3  例：求：均匀带电直线段在均匀带电球面电场中的电势能 Q  O l l x dx x R 解：dq  dx 均匀带电球面在 x 处的电势 x Q U 4 0   dW  Udq = dx x Q   4 0    W dW ln 2 4 4 0 2 0     Q dx x l Q l  

例：空气平板电容器， 电容为C，与电压 为U的电源相连 求：两板间距由d→nd 过程中，外力作的功 解：方法1：功能原理 A电源+A外力=△W A电源=U△Q=UA(CU)=UP△C AW-ACU')-UAC 4=Aw-么e=UaC-UAC=aC Ac=C-c=-C1-马 n 4=-c=ca-月0 方法Ⅲ： C(x)=50S (x)=C(x)=5SU 非期} a(x)=O(x) E=(x)_a(x) 260S F吸引=EQ(x)= Q2()_6SU2 28S2x2 =F外 280 4=jr-0--=cv0-0 例：接上题，断开电源后， 求：两板间距由d→nd 过程中，外力作的功 解：方法：功能原理 1: A外力=4m=Q 2C-2C 是-是-是a-c-n 2C 方法Ⅲ：F酸引=Q(26S)=F外（不变) A-JFdk-Fx(nd-d-Osd(n-D 26S cU"-D>0 3

3 例：空气平板电容器， C 电容为C ，与电压 为U 的电源相连 d 求：两板间距由d  nd 过程中，外力作的功 nd 解：方法 I：功能原理 U A电源  A外力  W A  UQ  U CU  U C 2 电源 ( ) W   CU  U C 2 2 2 1 ) 2 1 ( A外力  W  A电源  U C U C   U C 2 2 2 2 1 2 1 ) 1 (1 n C C n C C      外力 （ ）>0 n A U C U C 1 1 2 1 2 1 2 2      方法 II： x x S C x 0 ( )   x SU Q x C x U 0 ( ) ( )    d S Q x x ( )  ( )  ，S x Q x E 0 2 0 ( ) 2 ( )      吸引 F外 x SU S Q x F  EQ x    2 2 0 0 2 2 2 ( ) ( )   A F dx = >0   外 ) 1 (1 2 1 ) 1 1 ( 2 1 2 2 2 2 0 2 0 n CU d nd dx SU x nd SU d        例：接上题，断开电源后， 求：两板间距由d  nd 过程中，外力作的功 d 解：方法 I：功能原理 C Q C Q A W 2 2 2 2   外力    = ( 1) >0 2 1 ( 1) 2 2 2 2 2 2 2   n   CU n  C Q C Q n C Q 方法 II： F吸引  Q 2 /(2 0S)  F外 （不变） A F dx = =   外 F外（nd  d） ( 1) 2 0 2 d n  S Q  = ( 1) = >0 2 2 n  C Q ( 1) 2 1 2 CU n  nd U nd

例：平板电容器，U不变，将一厚d、8,的介质板插入电容器 ☑红卡 求：（1)电场能量变化(2)电源的功（3)电场对介质板作的功 解： (1)AW-A(CU-)=UAC-U(C-C) -UC(5-D-35S( 2(-) (2)4电=UAQ=U△(CU)=U2AC=SU (6-) (3)A电场=-△W?X A电源=△W+A电场 4电场=A地薄-△m=16nSU 26-)>0 例：接上题，断开电源后，再插入介质板 求：(1)电场能量变化(3)电场对介质板作的功 S 解：①)Aw=g-g-g-g-g-) 2C'2C。2ε，C。2C02C,6, -cw0--a-马0 、 (3)4%=-Am=}>U0-马)0 2d 例：平板电容器，板面为正方形，边长a,板间距d,带电±Q 把一厚d、s,的介质板插入电容器x a 求：介质板受电场作用力的大小和方向

4 例：平板电容器，U 不变，将一厚d 、 r 的介质板插入电容器 S r  d U 求：（1）电场能量变化（2）电源的功（3）电场对介质板作的功 解：（1）W   CU  U C = 2 2 2 1 ) 2 1 ( ( ) 2 1 0 0 2 U  rC  C = ( 1)= 2 1 0 2 U C  r  ( 1) 2 1 2 0 r  d SU   （2） A  UQ  U CU  U C = 2 电源 ( ) ( 1) 2 0 r  d SU   （3） A电场  W ？ A电源  W  A电场 A电场  A电源  W = ( 1) >0 2 1 2 0 r  d SU   例：接上题，断开电源后，再插入介质板 求：（1）电场能量变化（3）电场对介质板作的功 S r  d 解：（1） = = 0 2 2 2 2C Q C Q W     0 2 0 2 2 2C Q C Q r   1) 1 ( 2 0 2  C r Q  = )= 0 1 (1 2 1 0 2 r U d S    例：平板电容器，板面为正方形，边长a ，板间距d ，带电 Q 把一厚d 、 r 的介质板插入电容器 x Q r  d  Q 求：介质板受电场作用力的大小和方向 a a x

解： dx dA=Fdx=-dW Fs、 $’psQ dw 2C C(x)=5oE,aoa(a-x) d d -2(e,x+a-x)=0[a+(6,-l d d W= o'd 28ada+(6,-1)x Fs、dw Qd(s,-1) dx 2sala+(s-1)x] 若电容器与电压为U的电源保持连接，再做本题。 dA电源=dW+dA电场 dA电源=Ud0=Ud(CU)=U2dC dw=dcU)=dc d4电场=Fd UdC=-U'dC+Fdx 2 Fdx=U'dc 2 2 例：三个同轴导体圆柱面ABC,半径分别为R4、R、R B带电，AC接地 A B 求：B内外表面上电荷线密度1/2=？ 5

5 解： r  F  x dx dA  Fdx  dW ， dx dW F   C Q W 2 2  d a a x d ax C x r ( ) ( ) 0 0       = ( ) = 0 x a x d a  r    [ ( 1) ] 0 a x d a   r   2 [ ( 1) ] 0 2 a a x Q d W  r     = dx dW F   2 0 2 2 [ ( 1) ] ( 1) a a x Q d r r       若电容器与电压为U 的电源保持连接，再做本题。 dA电源  dW  dA电场 dA UdQ Ud CU U dC 2 电源   ( )  dW d CU U dC 2 2 2 1 ) 2 1  (  dA电场  Fdx U dC  U dC  Fdx 2 2 2 1 Fdx U dC 2 2 1  ( 1) 2 1 2 1 2 2 0   r  d a U dx dC F U   例：三个同轴导体圆柱面 ABC，半径分别为 RA 、 RB 、 RC B 带电，AC 接地 1 2 RA RB A，B C RC 求：B 内外表面上电荷线密度1 /2 =？ a