第二章 导数与微分 在科学问题中，经常需要考察函数的因变量随自变量变化的 快慢程度，如运动物体的运动速度、电流强度等。所有这种问 题，在数学上都要归结为函数的变化速率—导数。本章中 我们将首先通过实际问题引入导数的概念，然后给出导数基本 公式和求导法则，最后简单介绍高阶导数和微分。 §2.1导数的定义 一、两个实例 9:00八12：00 1、变速直线运动的瞬时速率 150km 平均速率：v= v=150=50(km/) △t 3
第二章 导数与微分 §2.1 导数的定义 在科学问题中，经常需要考察函数的因变量随自变量变化的 快慢程度，如运动物体的运动速度、电流强度等。所有这种问 题，在数学上都要归结为函数的变化速率———导数。本章中， 我们将首先通过实际问题引入导数的概念，然后给出导数基本 公式和求导法则，最后简单介绍高阶导数和微分。 1、变速直线运动的瞬时速率 一、两个实例 t s v 平均速率： = 9：00 ~ 12：00 150 km 50 ( / ) 3 150 v = = k m h
物体沿直线运动时，所经过的路程s是运动时间t的函数， 记为：s=s()一一路程函数。现在的任务是：当路程函数s() 己知时，求物体在t=t,这个时刻的运动速率v(t。)一瞬时速率 0 s=s(t) s(to) s(t+△t) to t+△t [to,to+△t] v=A=s。+A)-s) △t △t △S v(to)=lim lim s(to+△t)-s(to) △1→0△t△1→0 △t
已知时，求物体在 这个时刻的运动速率 —瞬时速率 记为： — —路程函数。现在的任务是：当路程函数 物体沿直线运动时，所经过的路程 是运动时间 的函数， ( ) ( ) ( ) 0 0 t t v t s s t s t s t = = o s=s(t) t t t s t s t t + + 0 0 0 0 | | ( ) ( ) t s t t s t ts v + − = = ( ) ( ) 0 0 t s t t s t ts v t t t + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 [ , ] 0 0 t t + t
2、平面曲线的切线斜率 切线 N∠y=fx) (x+△x,+△y) 割线 (x,) ,x0+△x 设平面曲线的方程是：y=f(x), 求其在点M(x,)处的切线斜率k k=imk制=im, Ay N-→M Ax→0△x lim f(x+△x)-f(x) △x
M x y k y f x 求其在点 处的切线斜率 设平面曲线的方程是 ( , ) : ( ), 0 0 = ( , ) 0 0 x y ( , ) 0 0 x + x y + y 0 x M N y = f (x) x + x 0 k k 割 N→M = lim x y x = →0 lim x f x x f x x + − = → ( ) ( ) lim 0 0 0 2、平面曲线的切线斜率 割线 切线
二、导数的概念 1、导数的定义 定义 设函数y=f(x)在点x,的某个邻域内有定义。 x:x0→x △x=x-Xo y:f(xo)→f(x) △y=f(x+△x)-f(xo) 如果极限mAy存在，则称函数在点x处可导， △x→0△x 称极限值为函数y=f(x)在点x,处的导数（微商 df 或变化率)，记为f(x人y1 即f'(xo)=mAy=im f(x,+△x)-f(xo) Ar-0△x △r0 △x
二、导数的概念 0 0 0 ) ( ) | ( ) ( lim : ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x x x x dx dy dx d f f x y y f x x x x y y f x f x y f x x f x x x x x x x y f x x = = = → = → = + − → = − = 或变化率 ，记为 、 、 、 称极限值为函数 在点 处的导数 微商 如果极限 存在，则称函数在点 处可导， 设函数 在点 的某个邻域内有定义。 x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 即 0 定义 1、导数的定义
注 (1)导数是新函数的极限，其结构为： f(xo)=lim f(x+□)-f(x) ▣→0 口 (2)导数定义的另一种形式：f'(x)=im f(x)-f(xo) x->x x-Xo 例1设f(x)=x2-3x+1,求f'(4) 解 f'4)=mf)-f4=m 2-3x+1-5 r-4 x-4 x→4 x-4 =lim(x+1)=5
口 口 口 ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f x f x f x + − = → （2）导数定义的另一种形式： 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − − = → 注 （1）导数是新函数的极限，其结构为： 例1 ( ) 3 1 (4) 2 设 f x = x − x + ，求f 解 4 ( ) (4) (4) lim 4 − − = → x f x f f x 4 3 1 5 lim 2 4 − − + − = → x x x x lim ( 1) 5 4 = + = → x x
2、单侧导数 左导数：f'(xo)=im. y=lim f(x+△x)-f(xo) △x-0△X △r→0 △x lim f(x)-f(x) x→x0 x-Xo 右导数：f(x) f(xo)=Af(xo)=f(xo)=A 3、函数在区间内可导及导（函）数 任意x∈(ab)→f(x)f(x以、八、、少、4 f(x) dxdx dx 注 虽然'(x)与f'(x)都叫做导数，但通过上下文不难将 它们区分出来，二者之间的关系为：f"(x)=f"(x)儿x=
2、单侧导数 ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x x x f x f x x f x x f x x y f x x x x x + → → → − − − = + − = = − − − 右导数： 左导数：f (x0 ) = A f − (x0 ) = f + (x0 ) = A 3、函数在区间内可导及导（函）数 任意x(a,b) → f (x) ( ) f (x) dx d dx dy dx d f f x 、y 、 、 、 注 0 ( ) ( )| ( ) ( ) 0 0 x x f x f x f x f x = = 它们区分出来，二者之间的关系为： 虽然 与 都叫做导数，但通过上下文不难将
4、导数基本公式.P52. (c)}=0(c为常数) (x")'=axa-1 (a")'=a"Ina (e*)'=ex (log.x)'=-1 1 (In x)= xIn a (sin x)'=cosx (cosx)'=-sin x (tanx)'=1 cos2x (cot x)'=- 1 sin2x
4、导数基本公式 x x x x x x x x x x x a x a a a e e x x c c a x x x x 2 2 1 sin 1 (cot ) cos 1 (tan ) (cos ) sin (sin ) cos 1 (ln ) ln 1 (log ) ( ) ln ( ) ( ) ( ) 0 = − = = − = = = = = = = − （ 为常数） .P52
注 (1)常数、幂函数、指数函数、三角函数的导数 仍为同类函数；而对数函数不是； (2)注意三角函数公式前的正负号； (3)有两组公式容易用混： (a")'=axIna [(a")=a"lna (x")'=axa-1 1og。xy=1 (4)(xy=1 ()y= 2 (5)理解公式的本质(sinx)=cosx→(sin口)%=cos口 (sinx)=cosx
注 仍为同类函数；而对数函数不是； (1) 常数、幂函数、指数函数、三角函数的导数 （2）注意三角函数公式前的正负号； = = = = − x a x a a a x x a a a a x x x x ln 1 (log ) ln ( ) ln 3 1 （ ） （ ） （ ）有两组公式容易用混： 2 1 ) 1 ( 2 1 4 1 x x x （ ）（x） = （ x） = = − （5）理解公式的本质 (sin x) x = cos x (sin口) 口 = cos口 x x x (sin ) = cos
(x2)'=2x 1112 (y=(x5y=3x3 33 1 3.x2 (3e2y=[(3e2)Y=(3e2)'n(3e2)=(2+n3)3e2x 三、导数的几何意义 '(x)在几何上表示曲线y=f(x) 切线 在点(x,f(xo》处的切线的斜率。 y=f(x) Xo 切线方程：y-f(x)=f'(xx-x)
( ) 2 x = 2 x ( ) 3 x ( ) 31 = x 3 2 32 1 31 3 1 31 31 x x x = = = − − (3 ) 2 x x e [(3 ) ] 2 = x e x x x e e e 2 2 2 = ( 3 ) ln( 3 ) = ( 2 + ln 3 ) 3 三、导数的几何意义 0 x 切线 在点 处的切线的斜率。 在几何上表示曲线 ( , ( )) ( ) ( ) 0 0 0 x f x f x y = f x ( ) ( )( ) 0 0 0 切线方程：y − f x = f x x − x y = f (x)
例2对于曲线y=x3 (1)求其在点x=2处的切线方程； (2)曲线在哪点的切线与直线y=3x-1平行？ 解 y'=(x3y=3x2 (1)x=2时，y=23=8,切点为(2,8) 切线斜率：y'lx-2=3x21k-2=12 切线方程：y-8=12(x-2) 即： 12x-y-16=0 (2)当切线与直线平行时，k彻=k直 即3x2=3,解得x=±1，此时y=±1 于是，曲线在点(1,1)、(-1，-1)处的切线都与直线平行
例 2 解 （ ）曲线在哪点的切线与直线 平行？ （）求其在点 处的切线方程； 对于曲线 2 3 1 1 2 3 = − = = y x x y x 3 2 y = ( x ) = 3 x 12 16 0 8 12 ( 2 ) | 3 | 12 1 2 , 2 8 2 8 2 2 2 3 − − = − = − = = = = == = x y y x y x x y x x 即： 切线方程： 切线斜率： （ ） 时 ，切点为（ ，） 于是，曲线在点 、 处的切线都与直线平行。 即 ，解得 ，此时 （ ）当切线与直线平行时， 切 直 (1,1) ( 1, 1) 3 3 1 1 2 2 − − = = = = x x y k k .