量子化学 ·第二章简单量子力学体系 ·2.1多元函数的微分与微分方程 ·2.2自由粒子 ·2.3势阱中的粒子 ·2.4谐振子
量 子 化 学 • 第二章 简单量子力学体系 • 2. 1 多元函数的微分与微分方程 • 2. 2 自由粒子 • 2. 3 势阱中的粒子 • 2.4 谐振子
2.1多元函数的微分与微分方程 (1)微分 一元函数：y=f)=f(x)k,f'()=(四 dx 微分的运算法则： d(u±vy=du±dyd(uvy=udv+vdu, diTo(x)]=fTo(x)]dp(x)=f'To(x)]p'x)dx
2.1多元函数的微分与微分方程 微分的运算法则： d (u v) = du dv, d (uv) = udv + vdu, df[(x)] = f’[(x)]d(x) = f’[(x)] ’(x)dx y = f (x) dy = f '(x)dx, dx df x f x ( ) '( ) = （1）微分 一元函数：
例1：设y=x2sinx,求dy dy =x2 d(sinx)+sinx dx2 dy x2 cosx dx +2x sinx dx
例1： 设 y = x 2 sinx, 求 dy dy = x 2 d(sinx) + sinx dx2 dy = x 2 cosx dx +2x sinx dx
二元函数 =f(x,y),d=f (x,y)dx+f (x,y)dy f.(x.y) 0z 器 其中d:全微分，f化，小：偏微商 例2：求函数z=xy+y2的全微分 dz 2xydx +(x2+2y)dy
二元函数 其中 dz: 全微分，f x ‘(x,y): 偏微商. 例2：求函数 z = x 2y + y 2 的全微分. dz = 2xydx + (x2 +2y)dy. z = f (x, y), dz f x y dx f x y dy x y ( , ) ( , ) ' ' = + ( , ) , ' x z f x y x = y z f x y y ( , ) =
微分方程 ☒无法显示该图片。 f(x,y,y',y",,yn))=0 线性微分方程 An(x)y(n)+A-(x)y(n-1)+...+A(x)y=g(x) 当g(x)=0,为奇次方程。二阶奇次方程 y"+P(x)y'+Q(x)y =0 (2.1)
微分方程 线性微分方程 An (x) y (n) + An-1 (x) y (n-1) + … +A0 (x) y = g(x) 当 g(x) = 0, 为奇次方程。二阶奇次方程 y + P(x)y + Q(x)y = 0 (2.1) ( , , ' , " ,..., ) 0 ( ) = n f x y y y y
定理：如果y和y2是方程(2.1)的两个独立解，则 它们的线性组合 y=c1y1+c2y2 (2.2) 也是方程的解. 常系数二阶奇次方程(The linear homogenerous second-order differential equation with constant coefficients) y”+py'+qy=0 (2.3)
定理：如果y1和y2是方程(2.1)的两个独立解，则 它们的线性组合 y = c1 y1 + c2 y2 (2.2) 也是方程的解. 常系数二 阶奇次方程 (The linear homogenerous second-order differential equation with constant coefficients) y + p y + q y = 0 (2.3)
辅助方程(auxiliary equation) 设(2.3)式的解为y=esx,[Why?]代入上式有： s2e+pse+gesx=0 s2+ps+q=0 (2.4) (2.4)为辅助方程(auxiliary equation).解二次方程 (2.4),即可得(2.3)式的一般解： y=ces+cex (2.5)
设（2.3）式的解为 y = e sx,[Why?] 代入上式有： （2.4） (2.4)为辅助方程（auxiliary equation）.解二次方程 (2.4)，即可得（2.3）式的一般解： (2.5) 0 2 + + = sx sx sx s e pse qe 0 2 s + ps + q = s x s x y c e c e 1 2 = 1 + 2 辅助方程（auxiliary equation）
2.2自由粒子 质量为m的粒子在无场(V=0)一维空间中 运动服从定态Schroedinger方程 h'd'w(x)-E,w(x) (2.6) 2m dx2 解辅助方程 2+2m-0有 w=w,=Aexp(62m6,x2.7)
2.2 自由粒子 ( ) ( ) 2 2 2 2 E x dx d x m x − = 质量为m的粒子在无场（V = 0）一维空间中 运动服从定态Schroedinger方程 （2.6） 0 2 2 2 + = mEx 解辅助方程 s 有 exp( 2 ) 1 mE x h i = = A x (2.7)
式中A是积分常数，√2mE,必须是实数（当x=±∝，使 y满足“有限”条件)。由解(2.7)式可得： (①E必须是正数，既0→的任何值，即自由粒子 的能谱是连续的而不是分立的。 (的粒子在x轴上任何位置出现的几率相等，即， p=W*W=A4体=常数x的位置完全不确定
式中A是积分常数， 必须是实数（当x=, 使 满足“有限”条件）。由解(2.7)式可得： 2mEx (i) Ex 必须是正数，既 0→ 的任何值，即自由粒子 的能谱是连续的而不是分立的。 (ii) 粒子在x轴上任何位置出现的几率相等， 即， = * = AA* = 常数 x的位置完全不确定
2.3势阱中的粒子 1一维无限势阱 V(x)于∞ V(x)F∞ Ⅱ V(x)=0 Ⅲ x-0 X=l
2.3 势阱中的粒子 1 一维无限势阱
