免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 3.3垂径定理教学目标 1.使学生理解圆的轴对称性 2.掌握垂径定理 3.学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题 教学重点 垂径定理是圆的轴对称性的重要体现,是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据, 它有着广泛的应用,因此,本节课的教学重点是:垂径定理及其应用 教学难点 垂径定理的推导利用了圆的轴对称性,它是一种运动变换,这种证明方法学生不常用到 与严格的逻辑推理比较,在证明的表述上学生会发生困难,因此垂径定理的推导是本节课的 难点 教学关键 理解圆的轴对称性 教学环节的设计 这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标,它们是 复习提问,创设情境:引入新课,揭示课题:讲解新课,探求新知;应用新知,体验成功 目标训练,及时反馈:总结回顾,反思内化:布置作业,巩固新知 复习提问,创设情境 1.教师演示:将一等腰三角形沿着底边上的高对折,启发学生共同回忆等腰三角形是轴对 称图形,同时复习轴对称图形的概念 2.提出问题:如果以这个等腰三角形的顶点为圆心,腰长为半径作圆,得到的圆是否是轴 对称图形呢?(教师用教具演示,学生自己操作) 二、引入新课,揭示课题 1.在第一个环节的基础上,引导学生归纳得出结论: 圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是对称轴 强调: (1)对称轴是直线,不能说每一条直径都是它的对称轴 (2)圆的对称轴有无数条 判断:任意一条直径都是圆的对称轴( 设计意图:让学生更好的理解圆的轴对称轴新性,为下一环节探究新知作好准备 三、讲解新课,探求新知 先按课本进行合作学习 1.任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD 2.作一条和直径CD的垂线的弦,AB与CD相交于点E 提出问题:把圆沿着直径CD所在的直线对折,你发现哪些点、线段、圆弧重合? 在学生探索的基础上,得出结论:(先介绍弧相等的概念) ①EA=EB;②AC=BC,AD=BD. 理由如下:∵∠OEA=∠OEB=Rt∠,根据圆的轴轴对称性,可得射线EA与EB重合, 点A与点B重合,弧AC和弧BC重合,弧AD和弧BD重合 EA=EB, AC=BC, AD= 思考:你能利用等腰三角形的性质,说明OA平分CD吗?(课内练习1) 注:老教材这个内容放在圆心角、圆周角之后,垂径定理完全可以不用圆的轴对称性来证, 可用等腰三角形的性质来证明,现在只能证前面一个(略) 解压密码联系q119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou小优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 3.3 垂径定理 教学目标 １．使学生理解圆的轴对称性． ２．掌握垂径定理． ３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题． 教学重点 垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据， 它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用． 教学难点 垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到， 与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的 难点． 教学关键 理解圆的轴对称性． 教学环节的设计 这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是： 复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功； 目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知． 一、复习提问，创设情境 1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对 称图形，同时复习轴对称图形的概念； ２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴 对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作） 二、引入新课，揭示课题 1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论： 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴． 强调： （1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴； （2）圆的对称轴有无数条． 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） 设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备． 三、讲解新课，探求新知 先按课本进行合作学习 1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径 CD； 2．作一条和直径 CD 的垂线的弦，AB 与 CD 相交于点 E． 提出问题：把圆沿着直径 CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？ 在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念） ①EA=EB；② AC=B C，AD=BD． 理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线 EA 与 EB 重合， ∴点 A 与点 B 重合，弧 AC 和弧 BC 重合，弧 AD 和弧 BD 重合． ∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD． 思考：你能利用等腰三角形的性质，说明 OA 平分 CD 吗？（课内练习 1） 注：老教材这个内容放在圆心角、圆周角之后，垂径定理完全可以不用圆的轴对称性来证， 可用等腰三角形的性质来证明，现在只能证前面一个（略）． A B C D E O ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A B C D E O ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 然后把此结论归纳成命题的形式 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 垂径定理的几何语言 ∵CD为直径,CD⊥AB(OC⊥AB) 四、应用新知,体验成功 例1已知AB,如图,用直尺和圆规求作这条弧的中点.(先介绍弧中点概念) 作法 1连结AB. 2作AB的垂直平分线CD,交弧AB于点E 点E就是所求弧AB的中点 变式一:求弧AB的四等分点 思路:先将弧AB平分,再用同样方法将弧AE、弧BE平分 (图略) D 有一位同学这样画,错在哪里 1.作AB的垂直平分线CD 2.作AT、BT的垂直平分线EF、GH(图略) 教师强调:等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线 变式二:你能确定弧A的圆心吗? 方法:只要在圆弧上任意取三点,得到三条弦,画其中两条弦的垂直平分线,交点即为圆 弧的圆心 例2一条排水管的截面如图所示,排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,求截面圆心0到 水面的距离00 思路: 先作出圆心0到水面的距离OC,即画OC⊥AB,∴AC=BC=8, 8 在Rt△OCB中,OC=√OB2-BC2=√102-82=6 ∴圆心0到水面的距离OC为6. 例3已知:如图,线段AB与⊙0交于C、D两点,且OA=OB.求证:AC=BD 思路 作OM⊥AB,垂足为M,∴CM=DM ∵OA=OB,∴AM=BM 概念:圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距 小结 1.画弦心距是圆中常见的辅助线 2.半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路,它们之 间的关系:弦长AB=2√r2-d2 注:弦长、半径、弦心距三个量中已知两个,就可以求出第三个 五、目标训练,及时反馈 1.已知⊙0的半径为13,一条弦的AB的弦心距为5,则这条弦的弦长等于 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 然后把此结论归纳成命题的形式： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 垂径定理的几何语言 ∵CD 为直径，CD⊥AB（OC⊥AB） ∴ EA= EB， AC=BC，AD=BD． 四、应用新知，体验成功 例 1 已知 AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念) 作法： ⒈连结 AB. ⒉作 AB 的垂直平分线 CD， 交弧 AB 于点 E. 点 E 就是所求弧 AB 的中点． 变式一： 求弧 AB 的四等分点． 思路：先将弧 AB 平分，再用同样方法将弧 AE、弧 BE 平分． （图略） 有一位同学这样画，错在哪里？ 1．作 AB 的垂直平分线 CD 2．作 AT、BT 的垂直平分线 EF、GH（图略） 教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线． 变式二：你能确定弧 AB 的圆心吗？ 方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆 弧的圆心． 例 2 一条排水管的截面如图所示．排水管的半径 OB=10，水面宽 AB=16，求截面圆心 O 到 水面的距离 OC ． 思路： 先作出圆心 O 到水面的距离 OC，即画 OC⊥AB，∴AC=BC=8， 在 Rt△OCB 中， 10 8 6 2 2 2 2 OC = OB − BC = − = ∴圆心 O 到水面的距离 OC 为 6． 例 3 已知：如图，线段 AB 与⊙O 交于 C、D 两点，且 OA=OB ．求证：AC=BD ． 思路： 作 OM⊥AB，垂足为 M， ∴CM=DM ∵OA=OB ， ∴AM=BM ， ∴AC=BD． 概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距． 小结： 1．画弦心距是圆中常见的辅助线； 2．半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之 间的关系：弦长 2 2 AB = 2 r − d ． 注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个． 五、目标训练,及时反馈 1．已知⊙0 的半径为 13，一条弦的 AB 的弦心距为 5，则这条弦的弦长等于 ． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ O A B C ⌒ ⌒ ⌒
免费下载网址ht:/ jiaoxue5uys 答案:24 2.如图,AB是⊙0的中直径,CD为弦,CD⊥AB于E,则下列结论中不一定成立的是() A.∠COE=∠DOEB.CE=DEC.OE=BE 答案:C 3.过⊙0内一点M的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm,那么OM长为() A 3 B 6cm C. cm D 9cm 答案:A 注:圆内过定点M的弦中,最长的弦是过定点M的直径,最短的弦是过定点M与OM垂直的 弦,此结论最好让学生记住,课本作业题也有类似的题目 4.如图,⊙0的直径为10,弦AB长为8,M是弦AB上的动点,则OM的长的取值范围是() A.3≤0M≤5B.4≤0M≤5C.3<OM<5 D.4<OM<5 答案:A 5.已知⊙O的半径为10,弦AB∥CD,AB=12,CD=16,则AB和CD的距离为 答案:2或24 注:要分两种情况讨论:(1)弦AB、CD在圆心0的两侧:(2)弦AB、①D在圆心0的同侧 6.如图,已知AB、AC为弦,OM⊥AB于点M,ON⊥AC于点N,BC=4,求MN的长 思路:由垂径定理可得M、N分别是AB、AC的中点, 所以MN=BC=2 六、总结回顾,反思内化 师生共同总结: 1.本节课主要内容:(1)圆的轴对称性:(2)垂径定理 2.垂径定理的应用:(1)作图:(2)计算和证明 3.解题的主要方法 (1)画弦心距是圆中常见的辅助线; (2)半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路,它们 之间的关系:弦长AB=2√r2-d 七、布置作业,巩固新知 P75作业题16,第7题选做 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 答案：24 2．如图，AB 是⊙0 的中直径，CD 为弦，CD⊥AB 于 E，则下列结论中不一定成立的是（ ） A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．BD=BC 答案：C 3．过⊙O 内一点 M 的最长弦长为 10cm，最短弦长为 8cm，那么 OM长为（ ） A．3 B．6cm C． cm D．9cm 答案：A 注：圆内过定点 M 的弦中，最长的弦是过定点 M 的直径，最短的弦是过定点 M 与 OM 垂直的 弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目． 4．如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB 长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 的长的取值范围是（ ） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3<OM<5 D．4<OM<5 答案：A 5． 已知⊙O 的半径为 10，弦 AB∥CD，AB=12，CD=16，则 AB 和 CD 的距离为 ． 答案：2 或 24 注：要分两种情况讨论：（1）弦 AB、CD 在圆心 O 的两侧；（2）弦 AB、CD 在圆心 O 的同侧． 6．如图，已知 AB、AC 为弦，OM⊥AB 于点 M， ON⊥AC 于点 N ，BC=4，求 MN 的长． 思路：由垂径定理可得 M、N 分别是 AB、AC 的中点， 所以 MN= 2 1 BC=2． 六、总结回顾，反思内化 师生共同总结： １．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法： （1）画弦心距是圆中常见的辅助线； （2）半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们 之间的关系：弦长 2 2 AB = 2 r − d ． 七、布置作业， 巩固新知 P75 作业题 1~6，第 7 题选做． ⌒ ⌒