全等三角形的判定 知识点复习 ①“边角边”定理:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 图形分析 △∠ 在△ABC和△DEF中 AB= DE 书写格式 ∠B=∠E BC=EF △ABC≌△DEF(SAS) ②“角边角”定理:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA) 图形分析: 在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E 书写格式: BC= EF ∠C=∠F △ABC≌△DEF(ASA) ③“角角边”定理:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS) 图形分析 B 在△ABC和△DEF中 书写格式: ∠B=∠E ∠C=∠F BC= EF △ABC≌△DEF(AS) WORD格式可编辑版
... WORD 格式可编辑版 全等三角形的判定 一、知识点复习 ①“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS） 图形分析： 书写格式： 在△ABC 和△DEF 中 = = = BC EF B E AB DE ∴△ABC≌△DEF（SAS） ②“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA) 图形分析： 书写格式： 在△ABC 和△DEF 中 = = = C F BC EF B E ∴△ABC≌△DEF(ASA) ③“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS） 图形分析： 书写格式： 在△ABC 和△DEF 中 = = = BC EF C F B E ∴△ABC≌△DEF(AAS)
④“边边边”定理:三边对应相等的两个三角形全等。(SSS 图形分析: A C 在△ABC和△DEF中 书写格式 AB= DE BC= EF △ABC≌△DEF(AAS) ⑤“斜边、直角边”定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(H) 图形分析: 在△ABC和△DEF中 书写格式: AB= DE AC= DF △ABC≌△DEF(HL 个三角形共有三条边与三个角,你是否想到这样一问题了:除了上述四种识别法,还有其他的三角形全 等识别法吗?比如说“SSA”、“AAA”能成为判定两个三角形全等的条件吗? 两个三角形中对「两个三角形是否全等 反例 应相等的元素 SSA A WORD格式可编辑版
... WORD 格式可编辑版 ④“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等。（SSS） 图形分析： 书写格式： 在△ABC 和△DEF 中 = = = BC EF AC DF AB DE ∴△ABC≌△DEF(AAS) ⑤“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL） 图形分析： 书写格式： 在△ABC 和△DEF 中 = = AC DF AB DE ∴△ABC≌△DEF（HL） 一个三角形共有三条边与三个角，你是否想到这样一问题了：除了上述四种识别法，还有其他的三角形全 等识别法吗？比如说“SSA”、“AAA”能成为判定两个三角形全等的条件吗？ 两个三角形中对 应相等的元素 两个三角形是否全等 反例 SSA AAA
常考典型例题分析 第一部分:基础巩固 1.下列条件,不能使两个三角形全等的是() A.两边一角对应相等B.两角一边对应相等C.直角边和一个锐角对应相等D.三边对应相等 2.如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于0点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能 判定△ABE≌△ACD() A.∠B=∠C B. AD=AE C. BD=CE D. BE=CD 3.下列各图中a、b、c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是() 甲 乙 内 A.甲和乙 B.乙和丙C.甲和丙 只有丙 4.如图,E,B,F,C四点在一条直线上,EB=CF,∠A=∠D,再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是() A. AB=DE B.DF∥AC C.∠E=∠ABCD.AB∥DE 5.如图,已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是() B A.∠A=∠DB.AB=DCC.∠ACB=∠DBCD.AC=BD 6.如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M, N重合,过角尺顶点C的射线0C便是∠AOB的平分线OC,作法用得的三角形全等的判定方法是() C A. SAS B. SSS C. ASA WORD格式可编辑版
... WORD 格式可编辑版 二、常考典型例题分析 第一部分：基础巩固 1.下列条件，不能使两个三角形全等的是（ ） A．两边一角对应相等 B．两角一边对应相等 C．直角边和一个锐角对应相等 D．三边对应相等 2.如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE 相交于 O 点，已知 AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能 判定△ABE≌△ACD（ ） A.∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD 3.下列各图中 a、b、c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是（ ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 4.如图，E，B，F，C 四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF 的是（ ） A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE 5.如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB 的是（ ） A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD 6.如图，∠AOB 是一个任意角，在边 OA，OB 上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M， N 重合，过角尺顶点 C 的射线 OC 便是∠AOB 的平分线 OC，作法用得的三角形全等的判定方法是（ ） A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
第二部分:考点讲解 考点1:利用“SAs”判定两个三角形全等 1.如图,A、D、F、B在同一直线上,AD=BF,AE=BC,且AE∥BC.求证:△AEF≌△BCD B 2.如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:△ABD≌△ACE 考点2:利用“SAs”的判定方法解与全等三角形性质有关的综合问题 3.已知:如图,A、F、C、D四点在一直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE,求证:∠CBF=∠FEC 考点3:利用“SAS”判定三角形全等解决实际问题 4.有一座小山,现要在小山A、B的两端开一条隧道,施工队要知道A、B两端的距离,于是先在平地上取 个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE, 那么量出DE的长,就是A、B的距离,你能说说其中的道理吗? WORD格式可编辑版
... WORD 格式可编辑版 第二部分：考点讲解 考点 1：利用“SAS”判定两个三角形全等 1.如图，A、D、F、B 在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且 AE∥BC．求证：△AEF≌△BCD． 2.如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：△ABD≌△ACE． 考点 2：利用“SAS”的判定方法解与全等三角形性质有关的综合问题 3.已知：如图，A、F、C、D 四点在一直线上，AF=CD，AB∥DE，且 AB=DE，求证： CBF = FEC 考点 3:利用“SAS”判定三角形全等解决实际问题 4.有一座小山，现要在小山 A、B 的两端开一条隧道，施工队要知道 A、B 两端的距离，于是先在平地上取 一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD=CA，连接 BC 并延长到 E，使 CE=CB，连接 DE， 那么量出 DE 的长，就是 A、B 的距离，你能说说其中的道理吗?
考点4:利用“ASA”判定两个三角形全等 5.如图,已知AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2,求证:△AEC≌△ADE 6.如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点0.求证:△AEC≌△BED B E 考点6:利用“ASA”与全等三角形的性质解决问题 7.如图,已知EC=AC,∠BCE=∠DCA,∠A=∠E;求证:BC=DC 考点7:利用“SSS”证明两个三角形全等 8.如图,A、D、B、E四点顺次在同一条直线上,AC=DF,BC=EF,AD=BE,求证:△ABC≌△EDF WORD格式可编辑版
... WORD 格式可编辑版 考点 4：利用“ASA”判定两个三角形全等 5. 如图，已知 AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：△AEC≌△ADE． 6.如图，∠A=∠B，AE=BE，点 D 在 AC 边上，∠1=∠2，AE 和 BD 相交于点 O． 求证：△AEC≌△BED； 考点 6：利用“ASA”与全等三角形的性质解决问题: 7.如图，已知 EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC 考点 7：利用“SSS”证明两个三角形全等 8.如图，A、D、B、E 四点顺次在同一条直线上，AC=DF，BC=EF，AD=BE，求证：△ABC≌△EDF．
考点8:利用全等三角形证明线段(或角)相等 9.如图,AE=DF,AC=DB,CE=BF.求证:∠A=∠D. 考点9:利用“AAS”证明两个三角形全等 10.如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,求证:△ABD≌△ACE. 考点10:利用“AAS”与全等三角形的性质求证边相等 11.(2017秋·娄星区期末)已知:如图所示,△ABC中,∠ABC=45°,高A与高BD交于点M,BE=4,EM=3 (1)求证:BM=AC (2)求△ABC的面积 考点11:利用“H”证明两三角形全等 12.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,且DE=DF。求证:∠B=∠C WORD格式可编辑版
... WORD 格式可编辑版 考点 8：利用全等三角形证明线段（或角）相等 9.如图，AE=DF，AC=DB，CE=BF．求证：∠A=∠D． 考点 9：利用“AAS”证明两个三角形全等 10.如图，在△ABC 中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，求证：△ABD≌△ACE. 考点 10：利用“AAS”与全等三角形的性质求证边相等 11.（2017 秋•娄星区期末）已知：如图所示，△ABC 中，∠ABC=45°，高 AE 与高 BD 交于点 M，BE=4，EM=3． （1）求证：BM=AC； （2）求△ABC 的面积． 考点 11：利用“HL”证明两三角形全等 12.如图，在△ABC 中，D 是 BC 边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F，且 DE=DF。求证：∠B=∠C
13.已知:BE⊥CD,BE=DE,BC=DA,求证:①△BEC≌△DEA ②DF⊥BC 第三部分:能力提升 难点1:运用分析法进行几何推理 14.如图所示,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点E,F,且BE=CF,求证:AD是 △ABC的角平分线 15.如图,已知 RtAABC≌R△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB 求证:CF=EF B E WORD格式可编辑版
... WORD 格式可编辑版 13.已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：①△BEC≌△DEA； ②DF⊥BC 第三部分：能力提升 难点 1：运用分析法进行几何推理 14.如图所示，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点 E，F，且 BE=CF，求证：AD 是 △ABC 的角平分线． 15.如图，已知 RtABC ≌ RtADE , ABC = ADE = 90 , BC 与 DE 相交于点 F ，连接 CD, EB . 求证： CF = EF
难点2:利用三角形全等探索线段或角之间的关系 15.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB:②DE=AD+BE (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD一BE (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系, 并加以证明 B B D 图1 图 WORD格式可编辑版
... WORD 格式可编辑版 难点 2：利用三角形全等探索线段或角之间的关系 15.在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 AD⊥MN 于 D， BE⊥MN 于 E． （1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE； （2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证：DE=AD－BE； （3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE，AD，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系， 并加以证明．
第四部分:课后作业 选择题 1.如图,将两根钢条AA′、BB′的中点0连在一起,使AA′、BB′能绕着点0自由转动,就做成了一个 测量工具,由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是() A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS 2.如图,已知CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,CD、BE交于点0,且A0平分∠BAC,则图中的全等三角形 共有( A.1对 B.2对 对 D.4对 3.如图,点A在DE上,AC=CE,∠1=∠2=∠3,则DE的长等于() 4.如图,点B、F、C、E在一条直线上,AC=DF,BF=CE,那么添加下列一个条件后,仍无法判断△ABC≌△ DEF的是() A.∠A=∠D=90°B.∠BCA=∠EFD C.∠B=∠ED.AB=DE 如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,若AD=3,BE=1,则DE=() D.4 WORD格式可编辑版
... WORD 格式可编辑版 第四部分：课后作业 一．选择题 1. 如图，将两根钢条 AA′、BB′的中点 O 连在一起，使 AA′、BB′能绕着点 O 自由转动，就做成了一个 测量工具，由三角形全等可知 A′B′的长等于内槽宽 AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（ ） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 2. 如图，已知 CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，CD、BE 交于点 O，且 AO 平分∠BAC，则图中的全等三角形 共有（ ） A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 3.如图，点 A 在 DE 上，AC=CE，∠1=∠2=∠3，则 DE 的长等于（ ） A．DC B．BC C．AB D．AE+AC 4.如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，AC=DF，BF=CE，那么添加下列一个条件后，仍无法判断△ABC≌△ DEF 的是（ ） A．∠A=∠D=90° B．∠BCA=∠EFD C．∠B=∠E D．AB=DE 5.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，若 AD=3，BE=1，则 DE=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
6.(2017秋·蓬溪县期末)如图,OA=OB,∠A=∠B,有下列3个结论 ①△AOD≌△BOC,②△ACE≌△BDE ③点E在∠0的平分线上,其中正确的结论是( A A.只有① 只有②C.只有①②D.有①②③ 二.填空题 7.(2017秋怀柔区期末)如图,AB=AC,点D,E分别在AB,AC上,CD,BE交于点F,只添加一个条件使 △ABE≌△ACD,添加的条件是: 8.(2017秋平邑县期末)如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,则∠3= 9.(2017秋·浠水县期末)如图,点D在BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD.若∠ AFD=145°,则∠EDF= 10.(2017秋·上杭县期中)如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK 若∠MKN=44°,则∠P的度数为 WORD格式可编辑版
... WORD 格式可编辑版 6.（2017 秋•蓬溪县期末）如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列 3 个结论： ①△AOD≌△BOC， ②△ACE≌△BDE， ③点 E 在∠O 的平分线上，其中正确的结论是（ ） A．只有① B．只有② C．只有①② D．有①②③ 二．填空题 7.（2017 秋•怀柔区期末）如图，AB=AC，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CD，BE 交于点 F，只添加一个条件使 △ABE≌△ACD，添加的条件是： 。 8.（2017 秋•平邑县期末）如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3= ． 9.（2017 秋•浠水县期末）如图，点 D 在 BC 上，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 交 AC 于点 F，BD=CF，BE=CD．若∠ AFD=145°，则∠EDF= 。 10.（2017 秋•上杭县期中）如图，在△PAB 中，PA=PB，M，N，K 分别是 PA，PB，AB 上的点，且 AM=BK，BN=AK， 若∠MKN=44°，则∠P 的度数为