第十二章全等三角形 121全等三角形 122三角形全等的判定 专题一三角形全等的判定 1.如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB 的平分线DF交BC于点F 求证:△ABE≌△CDF 2.如图,在△ABC中,D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线 上的点,CF∥BE.请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF(不再添加其他线段,不再标注或 使用其他字母),并给出证明 (1)你添加的条件是 (2)证明: 3.如图,△ABC中,点D在BC上,点E在AB上,BD=BE,要使△ADB≌△CEB,还 需添加一个条件 (1)给出下列四个条件 ①AD=CE ②AE=CD ③∠BAC=∠BCA ④∠ADB=∠CEB; 请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件,并给出证明 (2)在(1)中所给出的条件中,能使△ADB≌△CEB的还有哪些?直接在题后横线上 写出满足题意的条件序号
1 第十二章 全等三角形 12.1 全等三角形 12.2 三角形全等的判定 专题一 三角形全等的判定 1．如图，BD 是平行四边形 ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线 BE 交 AD 于点 E，∠CDB 的平分线 DF 交 BC 于点 F． 求证：△ABE≌△CDF． 2．如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的点（不与 B，C 重合），F，E 分别是 AD 及其延长线 上的点，CF∥BE. 请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或 使用其他字母)，并给出证明． （1）你添加的条件是：__________； （2）证明： 3．如图，△ABC 中，点 D 在 BC 上，点 E 在 AB 上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还 需添加一个条件． （1）给出下列四个条件： ①AD=CE； ②AE=CD； ③∠BAC=∠BCA； ④∠ADB=∠CEB； 请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB 的条件，并给出证明； （2）在（1）中所给出的条件中，能使△ADB≌△CEB 的还有哪些？直接在题后横线上 写出满足题意的条件序号．__________________．
专题二全等三角形的判定与性质 4.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长 度为( B √6 √3D 5.【2013襄阳】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,将△ADC绕点A顺时针 旋转,使AC与AB重合,点D落在点E处,AE的延长线交CB的延长线于点M,EB的延 长线交AD的延长线于点N 求证:AM=AN 6.【2012泸州】如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上一点,以CD为边作等边三角形 CDE,使点E、A在直线DC的同侧,连接AE.求证:AE∥BC
2 专题二 全等三角形的判定与性质 4．如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC=4，H 是高 AD 和 BE 的交点，则线段 BH 的长 度为（ ） A． 6 B．4 C． 2 3 D．5 5．【2013·襄阳】如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，将△ADC 绕点 A 顺时针 旋转，使 AC 与 AB 重合，点 D 落在点 E 处，AE 的延长线交 CB 的延长线于点 M，EB 的延 长线交 AD 的延长线于点 N. 求证：AM＝AN. N M E B D C A 6．【2012·泸州】如图，△ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上一点，以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点 E、A 在直线 DC 的同侧，连接 AE．求证：AE∥BC．
专题三全等三角形在实际生活中的应用 7.如图,有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平 方向的长度DF相等,则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是() C.120° D.150° 8.有一座小山,现要在小山A、B的两端开一条隧道,施工队要知道A、B两端的距离 于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连 接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长,就是A、B两端的距离,你 能说说其中的道理吗? 9.已知如图,要测量水池的宽AB,可过点A作直线AC⊥AB,再由点C观测,在BA延 长线上找一点B,使∠ACB=∠ACB,这时只要量出AB的长,就知道AB的长,对吗?为 什么?
3 专题三 全等三角形在实际生活中的应用 7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平 方向的长度 DF 相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC 与∠DFE 的度数和是（ ） A．60° B．90° C．120° D．150° 8．有一座小山，现要在小山 A、B 的两端开一条隧道，施工队要知道 A、B 两端的距离， 于是先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD=CA，连 接 BC 并延长到 E，使 CE=CB，连接 DE，那么量出 DE 的长，就是 A、B 两端的距离，你 能说说其中的道理吗？ 9．已知如图，要测量水池的宽 AB，可过点 A 作直线 AC⊥AB，再由点 C 观测，在 BA 延 长线上找一点 B′，使∠ACB′=∠ACB，这时只要量出 AB′的长，就知道 AB 的长，对吗？为 什么？
状元笔记 【知识要点】 1.全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2.全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等 3.三角形全等的判定方法 (1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或"SSS”) (2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS") (3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或"ASA") (4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或"AAS") 4.直角三角形全等的判定方法 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或"HL") 【温馨提示】 1.两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等,只有角分别相等不能证明两个三角形 全等 2.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 3."HL"定理指的是斜边和一条直角边分别相等,而不是斜边和直角分别相等 【方法技巧】 1.应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角,其规 律主要有以下几点 (1)以对应顶点为顶点的角是对应角 (2)对应顶点所对应的边是对应边 (3)公共边(角)是对应边(角 (4)对顶角是对应角 (5)最大边(角)是对应边(角),最小边(角)是对应边(角 全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定,如若△ABC≌△DEF, 说明A与D,B与E,C与F是对应点,则∠ABC与∠DEF是对应角,边AC与边DF 是对应边 2.判定两个三角形全等的解题思路 已知两边找夹角 SAS 找另一边——SSS 边为角的对边一一找任一角——AAS 已知一边一角 找夹角的另一边——SAS 边为角的邻边找夹边的另一角一ASA 找边的对角一AAS 已知两角找夹边 -ASA 找任一边一—AAS
4 状元笔记 【知识要点】 1．全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 3．三角形全等的判定方法 (1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)． (2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)． (3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)． (4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)． 4．直角三角形全等的判定方法 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)． 【温馨提示】 1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形 全等． 2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 3．“HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等． 【方法技巧】 1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规 律主要有以下几点： （1）以对应顶点为顶点的角是对应角； （2）对应顶点所对应的边是对应边； （3）公共边（角）是对应边（角）； （4）对顶角是对应角； （5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）． 全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC≌△DEF， 说明 A 与 D，B 与 E， C 与 F 是对应点，则∠ABC 与∠DEF 是对应角，边 AC 与边 DF 是对应边． 2．判定两个三角形全等的解题思路： SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角—— 已知两边 找另一边—— 边为角的对边——找任一角—— 找夹角的另一边—— 已知一边一角 边为角的邻边 找夹边的另一角—— 找边的对角—— 找夹边—— 已知两角 找任一边——
参考答案: 1.证明:平行四边形ABCD中,AB=CD,∠A=∠C,AB∥CD ∠ABD=∠CDB ∠ABE=1∠ABD.∠CDF=1 2<CDB.∴∠ABE=∠CDF 在△ABE与△CDF中, ∠A=∠C ∠ABE=∠CDF △ABE≌△CDF 2.解:(1)BD=DC(或点D是线段BC的中点),FD=ED,CF=BE中任选一个即可 (2)以BD=DC为例进行证明 ∥BE, ∠FCD=∠EBD ∠FDC=∠EDB △BDE≌△CDF 3.解:(1)添加条件②,③,④中任一个即可,以添加②为例说明 证明:∵AE=CD,BE=BD, ∴AB=CB 又∠ABD=∠CBE,BE=BD ∴△ADB≌△CEB (2)③④ 4.B解析:∵∠ABC=45°,AD⊥BC,∴AD=BD,∠ADC=∠BDH, ∠AHE=∠BHD=∠C.∴△ADC≌△BDH.∴BH=AC=4.故选B 5.证明:如图所示 4 √5 △AEB由△ADC旋转而得 △AEB≌△ADC ∠3=∠1.∠6=∠C AB=AC,AD⊥BC ∠2=∠1.∠7=∠C ∠3=∠2.∠6=∠7
5 参考答案: 1．证明：平行四边形 ABCD 中，AB=CD，∠A=∠C，AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB． ∵∠ABE= 2 1 ∠ABD，∠CDF= 2 1 ∠CDB，∴∠ABE=∠CDF． 在△ABE 与△CDF 中， = = = ABE CDF AB CD A C ∴△ABE≌△CDF． 2．解：（1） BD = DC (或点 D 是线段 BC 的中点)， FD = ED，CF = BE 中任选一个即可﹒ （2）以 BD = DC 为例进行证明： ∵CF∥BE， ∴∠FCD﹦∠EBD． 又∵ BD = DC ，∠FDC=∠EDB， ∴△BDE≌△CDF． 3．解：（1）添加条件②，③，④中任一个即可，以添加②为例说明． 证明：∵AE=CD，BE=BD， ∴AB=CB． 又∠ABD=∠CBE，BE=BD， ∴△ADB≌△CEB． （2）③④． 4．B 解析：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，∴AD=BD，∠ADC=∠BDH， ∠AHE=∠BHD=∠C．∴△ADC≌△BDH．∴BH=AC=4．故选 B． 5．证明：如图所示， 7 6 5 4 3 2 1 N M E B D C A ∵△AEB 由△ADC 旋转而得， ∴△AEB≌△ADC. ∴∠3＝∠1，∠6＝∠C． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠2＝∠1，∠7＝∠C. ∴∠3＝∠2，∠6＝∠7．
∠4=∠5 ∠ABM=∠ABN 又∵AB=AB, △AMB≌△ANB AMEAN 6.证明:∵△ABC和△EDC是等边三角形, ∴∠BCA=∠DCE=60° ∴∠BCA-∠ACD=∠DCE-∠ACD 即∠BCD=∠ACE 在△DBC和△EAC中 BC=AC.∠BCD=∠ACE.DC=EC ∴△DBC≌△EAC(SAS) ∴∠DBC=∠EAC 又∵∠DBC=∠ACB=60° ∴∠ACB=∠EAC AE∥BC 7.B解析∷∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形,又∵BC=EF,AC=DF, Rt△ABC≌Rt△DEF.∴∠ABC=∠DEF,∵∠DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90° 故选B 8.解:在△ABC和△CED中 AC=CD,∠ACB=∠ECD,EC=BC ∴△ABC≌△CED ∴AB=ED 即量出DE的长,就是A、B两端的距离 9.解:对 理由 ∴AC⊥AB 在△ABC和△ABC中 ∠ACB=∠ACB, AC= AC ∠CAB=∠CAB, ∴△ABC≌△ABC(ASA) AB=AB
6 ∵∠4＝∠5， ∴∠ABM＝∠ABN． 又∵AB＝AB， ∴△AMB≌△ANB． ∴AM＝AN． 6．证明：∵△ABC 和△EDC 是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°． ∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE． 在△DBC 和△EAC 中， BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC， ∴△DBC≌△EAC（SAS）． ∴∠DBC＝∠EAC． 又∵∠DBC＝∠ACB＝60°， ∴∠ACB＝∠EAC． ∴AE∥BC． 7．B 解析：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，又∵BC=EF，AC=DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF．∴∠ABC=∠DEF，∵∠DEF+∠DFE=90°，∴∠ABC+∠DFE=90°． 故选 B． 8．解：在△ABC 和△CED 中， AC=CD，∠ACB=∠ECD，EC=BC， ∴△ABC≌△CED． ∴AB=ED． 即量出 DE 的长，就是 A、B 两端的距离． 9．解：对． 理由： ∵AC⊥AB, ∴∠CAB=∠CAB′=90°. 在△ABC 和△AB′C 中， ACB ACB AC AC CAB CAB = = = ∠ ∠ ′， ， ∠ ∠ ′， ∴△ABC≌△AB′C（ASA）． ∴AB′=AB．
如何学好初中数学经典介绍 浅谈如何学好初中数学 数学是必考科目之一,故从初一开始就要认真地学习数学。那么,怎样才能 学好数学呢,现介绍几种方法以供参考: 、课内重视听讲,课后及时复习。 新知识的接受,数学能力的培养主要在课堂上进行,所以要特点重视课内的 学习效率,寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路,积极展开思维预测 下面的步骤,比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识 和基本技能的学习,课后要及时复习不留疑点。首先要在做各种习题之前将老师 所讲的知识点回忆一遍,正确掌握各类公式的推理过程,庆尽量回忆而不采用不 清楚立即翻书之举。认真独立完成作业,勤于思考,从某种意义上讲,应不造成 不懂即问的学习作风,对于有些题目由于自己的思路不清,一时难以解出,应让 自己冷静下来认真分析题目,尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和 归纳总结,把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络,纳入自己的知识体系 二、适当多做题,养成良好的解题习惯。 要想学好数学,多做题目是难免的,熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始 要从基础题入手,以课本上的习题为准,反复练习打好基础,再找一些课外的习 题,以帮助开拓思路,提髙自己的分析、解决能力,掌握一般的解题规律。对于
7 如何学好初中数学经典介绍 浅谈如何学好初中数学 数学是必考科目之一，故从初一开始就要认真地学习数学。那么，怎样才能 学好数学呢,现介绍几种方法以供参考: 一、课内重视听讲，课后及时复习。 新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的 学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测 下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识 和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。首先要在做各种习题之前将老师 所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，庆尽量回忆而不采用不 清楚立即翻书之举。认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成 不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让 自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和 归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。 二、适当多做题，养成良好的解题习惯。 要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始 要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习 题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于
些易错题,可备有错题集,写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比 较找出自己的错误所在,以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯。让自己 的精力高度集中,使大脑兴奋,思维敏捷,能够进入最佳状态,在考试中能运用 自如。实践证明:越到关键时候,你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平 时解题时随便、粗心、大意等,往往在大考中充分暴露,故在平时养成良好的解 题习惯是非常重要的。 三、调整心态,正确对待考试。 首先,应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上,因 为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目,而对于那些难题及综合性较强的题 目作为调剂,认真思考,尽量让自己理出头绪,做完题后要总结归纳。调整好自 己的心态,使自己在任何时候镇静,思路有条不紊,克服浮躁的情绪。特别是对 自己要有信心,永远鼓励自己,除了自己,谁也不能把我***,要有自己不垮, 谁也不能打垮我的自豪感 在考试前要做好准备,练练常规题,把自己的思路展开,切忌考前去在保证 正确率的前提下提高解题速度。对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分; 对于一些难题,也要尽量拿分,考试中要学会尝试得分,使自己的水平正常甚至 超常发挥。 由此可见,要把数学学好就得找到适合自己的学习方法,了解数学学科的特 点,使自己进入数学的广阔天地中去。 如何提高解数学题的能力 任何学问都包括知识和能力两个方面,在数学方面,能力比具体的知识要重 要的多。当然,我们也不能过分强调能力,而忽视知识的学习,我们应当在学习 一定数量知识的同时,还应该学会一些解决问题的能力 能力是什么,心理学中是这样定义的:能力是指直接影响人的活动效率,使活 动顺利完成的个性心理特征。在数学里,我认为,能力就是解决问题的才智。 怎样才能提高自己的解题能力
8 一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比 较找出自己的错误所在，以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯。让自己 的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用 自如。实践证明:越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平 时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解 题习惯是非常重要的。 三、调整心态，正确对待考试。 首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因 为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题 目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。调整好自 己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。特别是对 自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我****，要有自己不垮， 谁也不能打垮我的自豪感。 在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证 正确率的前提下提高解题速度。对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分; 对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至 超常发挥。 由此可见，要把数学学好就得找到适合自己的学习方法，了解数学学科的特 点，使自己进入数学的广阔天地中去。 如何提高解数学题的能力 任何学问都包括知识和能力两个方面，在数学方面，能力比具体的知识要重 要的多。当然，我们也不能过分强调能力，而忽视知识的学习，我们应当在学习 一定数量知识的同时，还应该学会一些解决问题的能力。 能力是什么,心理学中是这样定义的:能力是指直接影响人的活动效率，使活 动顺利完成的个性心理特征。在数学里，我认为，能力就是解决问题的才智。 一、 怎样才能提高自己的解题能力
首先是模仿。解题是一种本领,就像游泳、滑雪、弹钢琴一样,开始只能靠 模仿才能够学到它 其次是实践。如果你不亲自下水游泳,你就永远也学不会游泳,因此,要想 获得解题能力,就必须要做习题,并且要多做习题。 再次,要提高自己的解题能力,光靠模仿是不够的,你必须要动脑筋。例如, 对于课本的定理的证明,例题的解法、证法能读懂听懂还不够,你必须明白人家 是怎样想出那个解题方法的,为什么要那样解题,有没有其它的解题途径,我认为 这才是最重要的东西。如果你真正领会了人家的解题思路,那么在此基础上你就 有所创新,就能够提髙你的解题能力 学习数学应注意培养什么样的能力 1运算能力 2空间想象能力 3逻辑思维能力。 4将实际问题抽象为数学问题的能力。 5形数结合互相转化的能力。 6观察、实验、比较、猜想、归纳问题的能力。 7研究、探讨问题的能力和创新能力。 提高数学解题能力的关键是什么? 灵活应用数学思想方法是提高解题能力的关键,我们的先辈数学家们,已经 为我们创造出了很多的数学思想方法,我们应该很好地体会它,理解它,并且要 灵活地应用它。对于初中数学主要是以下四类数学思想(所谓思想就是指导我们 实践的理论方法,这里主要指想法或方法):1转化思想。2方程思想。3形数结 合思想。4函数思想。5整体思想6分类讨论思想.7统计思想。只要我们能够 深入地理解上述思想方法,并能灵活地应用到具体的解题实践中,就能极大地提 高你的解题能力。 提高你的分类讨论能力
9 首先是模仿。解题是一种本领，就像游泳、滑雪、弹钢琴一样，开始只能靠 模仿才能够学到它。 其次是实践。如果你不亲自下水游泳，你就永远也学不会游泳，因此，要想 获得解题能力，就必须要做习题，并且要多做习题。 再次，要提高自己的解题能力，光靠模仿是不够的，你必须要动脑筋。例如， 对于课本的定理的证明，例题的解法、证法能读懂听懂还不够，你必须明白人家 是怎样想出那个解题方法的，为什么要那样解题,有没有其它的解题途径,我认为 这才是最重要的东西。如果你真正领会了人家的解题思路，那么在此基础上你就 有所创新，就能够提高你的解题能力。 二、 学习数学应注意培养什么样的能力 1 运算能力。 2 空间想象能力。 3 逻辑思维能力。 4 将实际问题抽象为数学问题的能力。 5 形数结合互相转化的能力。 6 观察、实验、比较、猜想、归纳问题的能力。 7 研究、探讨问题的能力和创新能力。 三、 提高数学解题能力的关键是什么？ 灵活应用数学思想方法是提高解题能力的关键，我们的先辈数学家们，已经 为我们创造出了很多的数学思想方法，我们应该很好地体会它，理解它，并且要 灵活地应用它。对于初中数学主要是以下四类数学思想(所谓思想就是指导我们 实践的理论方法，这里主要指想法或方法):1 转化思想。2 方程思想。3 形数结 合思想。4 函数思想。5.整体思想 6 分类讨论思想.7 统计思想。只要我们能够 深入地理解上述思想方法，并能灵活地应用到具体的解题实践中，就能极大地提 高你的解题能力。 提高你的分类讨论能力
分类讨论是中学数学中一种重要的思想方法,在每年的中考中都会涉及到有 关分类讨论方面的试题,而许多同学在解答过程中经常会出现漏解、讨论不完整 的现象。临近中考,将同学中出现的部分漏解现象进行分析,希望能帮助同学们 提高分类讨论的能力 概念不清,导致漏解 对所学知识概念不清,领会不够深刻,导致答题不完整。 例:已知(a-3)x>6,求ⅹ的取值范围 分析:根据不等式的性质“不等式的两边同乘或同除以不为零的负数,不等号 的方向要改变”,而此题中(a-3)的符号并未确定,所以要分类讨论(a-3)的正负 问题。 例:若y2+(k+2)y+16是完全平方式,求k。 分析:完全平方式中有两种情况:(a?b)2=a2?2ab+b2,而同学们往往容易忽略 k+2=-8这一解。 思维固定,导致漏解 在日常解题过程中,许多同学往往受平时学习中习惯性思维的影响,导致解 题不全面。 例:若等腰三解形腰上的高等于腰长的一半、求底角 分析:据题意,由于等腰三解形既不可能是锐角等腰三解形也可能是钝角等腰 三角形,所以腰上的高可能在三角形内部,也可能在外部。而同学们受习惯思维 影响,大都忽略了高在三角形外的一种可能 例:若直角三角形三条边分别为3、4、c,求c的值。 分析:此题中的c并不一定是代表斜边,也可能是直角边,而有些同学错误地 将其与勾股定理中的c混淆起来,认为c一定是斜边,导致漏解。 例:圆0的半径为5cm,两条互相平行的弦长分别为6cm、8cm,求两条弦之间 的距离。 分析:两条弦在圆中的位置关系可能在圆心的同侧或者在圆心的两侧,因此在
10 分类讨论是中学数学中一种重要的思想方法，在每年的中考中都会涉及到有 关分类讨论方面的试题，而许多同学在解答过程中经常会出现漏解、讨论不完整 的现象。临近中考，将同学中出现的部分漏解现象进行分析，希望能帮助同学们 提高分类讨论的能力。 概念不清，导致漏解 对所学知识概念不清，领会不够深刻，导致答题不完整。 例:已知(a-3)x>6，求 x 的取值范围。 分析:根据不等式的性质“不等式的两边同乘或同除以不为零的负数，不等号 的方向要改变”，而此题中(a-3)的符号并未确定，所以要分类讨论(a-3)的正负 问题。 例:若 y2+(k+2)y+16 是完全平方式，求 k。 分析:完全平方式中有两种情况:(a?b)2=a2?2ab+b2,而同学们往往容易忽略 k+2=-8 这一解。 思维固定，导致漏解 在日常解题过程中，许多同学往往受平时学习中习惯性思维的影响，导致解 题不全面。 例:若等腰三解形腰上的高等于腰长的一半、求底角。 分析:据题意，由于等腰三解形既不可能是锐角等腰三解形也可能是钝角等腰 三角形，所以腰上的高可能在三角形内部，也可能在外部。而同学们受习惯思维 影响，大都忽略了高在三角形外的一种可能。 例:若直角三角形三条边分别为 3、4、c，求 c 的值。 分析:此题中的 c 并不一定是代表斜边，也可能是直角边，而有些同学错误地 将其与勾股定理中的 c 混淆起来，认为 c 一定是斜边，导致漏解。 例:圆 O 的半径为 5cm，两条互相平行的弦长分别为 6cm、8cm，求两条弦之间 的距离。 分析:两条弦在圆中的位置关系可能在圆心的同侧或者在圆心的两侧，因此在