免费下载网址httr:/ jiaoxue5uysl68com 24二次函数的应用(2) ◆目标指引 1.运用二次函数的知识去分析问题、解决问题,并在运用中体会二次函数的实际意义 2.体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题 3.经历把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程,学会运用这种“转化”的数学 思想方法 ◆要点讲解 1.在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程,运用二次函数的相关知识解决简单 的实际问题,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型 2.运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题 ◆学法指导 1.当涉及最值问题时,应运用二次函数的性质选取合适的变量,建立目标函数,再求 该目标函数的最值,求最值时应注意两点:(1)变量的取值范围:(2)求最值时,宜用配 方法 2.有关最大值或最小值的应用题,关键是列出函数解析式,再利用函数最值的知识求 函数值,并根据问题的实际情况作答. ◆例题分析 【例1】如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始,沿着AB向点B以lcms的速度移动:点Q从点B 开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,设P,Q同时出发,问: (1)经过几秒后P,Q的距离最短? B (2)经过几秒后△PBQ的面积最大?最大面积是多少? 【分析】这是一个动点问题,也是一个最值问题,设经过ts,显然AP和BQ的长度分 别为 AP=t, BQ-21(0-6).PQ的距离PQ=√BP2+BQ2=√52-121+36.因此,只需 求出被开方式5t2-12t+36的最小值,就可以求P,Q的最短距离 【解】(1)设经过ts后P,Q的距离最短,则 PQ-VBP+Bg2=V6-02+(2)2=5t2-121+36=-62144 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 ht:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 2.4 二次函数的应用（2） ◆目标指引 1．运用二次函数的知识去分析问题、解决问题，并在运用中体会二次函数的实际意义． 2．体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题． 3．经历把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程，学会运用这种“转化”的数学 思想方法． ◆要点讲解 1．在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程，运用二次函数的相关知识解决简单 的实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 2．运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题． ◆学法指导[来源:Z&xx&k.Com] 1．当涉及最值问题时，应运用二次函数的性质选取合适的变量，建立目标函数，再求 该目标函数的最值，求最值时应注意两点：（1）变量的取值范围；（2）求最值时，宜用配 方法． 2．有关最大值或最小值的应用题，关键是列出函数解析式，再利用函数最值的知识求 函数值，并根据问题的实际情况作答． ◆例题分析 【例 1】如图，在 △ABC 中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm， 点 P 从点 A 开始，沿着 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动；点 Q 从点 B 开始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，设 P，Q 同时出发，问： （1）经过几秒后 P，Q 的距离最短？ （2）经过几秒后△PBQ 的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】这是一个动点问题，也是一个最值问题，设经过 ts，显然 AP 和 BQ 的长度分 别为 AP=t，BQ=2t（0≤t≤6）．PQ 的距离 PQ= 2 2 BP BQ = 2 5t 12t 36 ．因此，只需 求出被开方式 5t2－12t+36 的最小值，就可以求 P，Q 的最短距离． 【解】（1）设经过 ts 后 P，Q 的距离最短，则： ∵PQ= 2 2 BP BQ = 2 2 (6 t) (2t) = 2 5t 12t 36 = 6 2 144 5( ) 5 5 t
免费下载网址httr:/ jiaoxue5uysl68com ∴经过=s后,P,Q的距离最短. (2)设△PBQ的面积为S 则S=BPBQ=(6-t)2t=6t-t=9-(t-3)2 ∴当t3时,S取得最大值,最大值为9 即经过3s后,△PBQ的面积最大,最大面积为9cm2 【注意】对于动点问题,一般采用“以静制动”的方法,抓住某个静止状态,寻找等量关 系.在求最值时,可用配方法或公式法,同时取值时要注意自变量的取值范围 【例2】某高科技发展公司投资1500万元,成功研制出一种市场需求较大的高科技替 代产品,并投入资金500万元进行批量生产.已知生产每件产品的成本为40元,在销售过 程中发现:当销售单价定为100元时,年销售量为20万件:销售单价著增加10元,年销售 量将减少1万件,设销售单价为x(元),年销售量为y(万件),年获利额(年获利额=年销 售额一生产成本一投资)为z(万元) (1)试写出y与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围) (2)试写出z与x之间的函数关系式(不必写出x的取值范围) (3)计算销售单价为160元时的年获利额,并说明:得到同样的年获利额,销售单价 还可以定为多少元?相应的年销量分别为多少万件? (4)公司计划:在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售:第二年的年获 利额不低于1130万元,请你借助函数的大致图象说明,第二年的销售单价x(元)应确定 在什么范围? 【分析】本题以传统的经济活动中的利润、销售决策问题为背景,设计成数学应用题 引导学生主动关心和参与日常生活中的经济活动,把实际问题抽象成数学问题,运用函数性 质和方程知识来解题. 【解】(1)依题意知:当销售单价定为ⅹ元时,年销量减少亠(x-100)万件. 10 (x-100)=--x+3 即y与x之间的函数关系式是y=-10x+30 (2)由题意可得 z=(30 )(x-40)-500-1500=--x2+34x-3200. 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 ht:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com ∴经过 6 5 s 后，P，Q 的距离最短． （2）设△PBQ 的面积为 S， 则 S= 1 2 BP·BQ= 1 2 （6－t）·2t=6t－t2=9－（t－3）2 ∴当 t=3 时，S 取得最大值，最大值为 9． 即经过 3s 后，△PBQ 的面积最大，最大面积为 9cm2． 【注意】对于动点问题，一般采用“以静制动”的方法，抓住某个静止状态，寻找等量关 系．在求最值时，可用配方法或公式法，同时取值时要注意自变量的取值范围．[来源:Z&xx&k.Com] 【例 2】某高科技发展公司投资 1500 万元，成功研制出一种市场需求较大的高科技替 代产品，并投入资金 500 万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为 4 0 元，在销售过 程中发现：当销售单价定为 100 元时，年销售量为 20 万件；销售单价若增加 10 元，年销售 量将减少 1 万件．设销售单价为 x（元），年销售量为 y（万件），年获利额（年获利额=年销 售额－生产成本－投资）为 z（万元）． （1）试写出 y 与 x 之间的函数关系式（不必写出 x 的取值范围）；[来源:Z,xx,k.Com] （2）试写出 z 与 x 之间的函数关系式（不必写出 x 的取值范围）； （3）计算销售单价为 160 元时的年获利额，并说明：得到同样的年获利额，销售单价 还可以定为多少元？相应的年销量分别为多少万件？ （4）公司计划：在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售；第二年的年获 利额不低于 1130 万元，请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价 x（元）应确定 在什么范围？ 【分析】本题以传统的经济活动中的利润、销售决策问题为背景，设计成数学应用题， 引导学生主动关心和参与日常生活中的经济活动，把实际问题抽象成数学问题，运用函数性 质和方程知识来解题． 【解】（1）依题意知：当销售单价定为 x 元时，年销量减少 1 10 （x－100）万件． ∴y=20－ 1 10 （x－100）=－ 1 10 x+30． 即 y 与 x 之间的函数关系式是 y=－ 1 10 x+30． （2）由题意可得： z=（30－ 1 10 x）（x－40）－500－1500=－ 1 10 x 2+34x－3200．
免费下载网址httr:/ jiaoxue5uysl68com 即z与x之间的函数关系式为z=-1x2+34x-300 (3)∵当x=160时 1602+34×160-3200=-32 ∴-320=--x2+34x-3200 即x2-340x+28800=0 由x1+x2= b 得,160+x=340,∴ 即得到同样的年获利额,销售单价还可以定为180元 当x=160时,y10 160+30=14, 当x=180时,=-1080+3012 所以相应的年销售量分别为14万件和12万件 (4)∵z x2+34x-3200= 1 (x-170)2-310 10 当x=170时,z取得最大值为-310 即当销售单价为170元时,年获利额最大,并且到第一年底公司还差310万元就可以 收回全部投资. 第二年的销售单价定为x元时,则年获利额为 z=(30-1x)(x-40)-310=-+x2+34x-1510 当z=1130时,即1130= +34x-1510 解得x=120,x2=220 ∴函数z=--x2+34x-1510的大致图象如图所示 z(万元) L2017020\x元) 由图象可看出: 当120x<20时,z≥130 ∴第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝网 ht:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 即 z 与 x 之间的函数关系式为 z=－ 1 10 x 2+34x－3200． （3）∵当 x=160 时， z=－ 1 10 ×160 2+34×160－3200=－320， ∴－320=－ 1 10 x 2+34x－3200， 即 x 2－340x+28800=0． 由 x1+x2=－ b a 得，160+x=340，∴x=180． 即得到同样的年获利额，销售单价还可以定为 180 元． 当 x=160 时，y=－ 1 10 ×160+30=14， 当 x=180 时，y=－ 1 10 ×180+30=12． 所以相应的年销售量分别为 14 万件和 12 万件． （4）∵z=－ 1 10 x 2+34x－3200=－ 1 10 （x－170）2－310， ∴当 x=170 时，z 取得最大值为－310． 即当销售单价为 1 70 元时，年获利额最大，并且到第一年底公司还差 310 万元就可以 收回全部投资． 第二年的销售单价定为 x 元时，则年获利额为： z′=（30－ 1 10 x）（x－40）－310=－ 1 10 x 2+34x－1510．[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 当 z′= 1 130 时，即 1130=－ 1 10 x 2+34x－1510， 解得 x1=120，x2=220． ∴函数 z′=－ 1 10 x 2+34x－1510 的大致图象如图所示． [来源:学科网 ZXXK] 由图象可看出： 当 120≤x≤220 时，z≥1130． ∴第二年的销售单价应确定在不低于 120 元且不高于 2 20 元的范围内．