勾股定理的逆定理 www0-100 com cn 华人教育有限公司
勾股定理的逆定理
学习目标 1.理解并掌握勾股定理的逆定理; 2.利用勾股定理的逆定理判定一个 三角形是否直角三角形 www0-100 com cn 华人教育有限公司
1．理解并掌握勾股定理的逆定理； 2．利用勾股定理的逆定理判定一个 三角形是否直角三角形． 一、学习目标
重点难点 本节的重点是:勾股定理的逆定理 本节的难点是:用勾股定理的逆定理判 断一个三角形是否直角 三角形 在中考中,很多问题常常要证明两条直 线互相垂直,当题中给出线段的长度要证明 它们互相垂直时,往往用到勾股定理的逆定 理通过计算得到证明 www0-100 com cn 华人教育有限公司
本节的重点是：勾股定理的逆定理． 本节的难点是：用勾股定理的逆定理判 断一个三角形是否直角 三角形． 在中考中，很多问题常常要证明两条直 线互相垂直，当题中给出线段的长度要证明 它们互相垂直时，往往用到勾股定理的逆定 理通过计算得到证明． 二、重点难点
三、引入 一般地说,在平面几何中,经常是利 用直线间的位置关系,角的数量关系而判 定直角的;而勾股定理的逆定理则是通过 边的计算判定直角的.三角形的三边长a b、c有关系a2+b2=c2,则这个三角形是 直角三角形;如果a2+b2≠c2,则这个三 角形不是直角三角形 www0-100 com cn 华人教育有限公司
三 、引入 一般地说，在平面几何中，经常是利 用直线间的位置关系，角的数量关系而判 定直角的；而勾股定理的逆定理则是通过 边的计算判定直角的. 三角形的三边长a、 b、c有关系a 2＋b 2＝c 2，则这个三角形是 直角三角形；如果a 2＋b 2 ≠c 2，则这个三 角形不是直角三角形
四、新课 例1试判断:三边长分别为2n2+2n,2n+1 2m2+2n+1(n>0)的三角形是否直角三角形 【分析】先找到最大边,再验证三边是否符 合勾股定理的逆定理. 【解】∵2m2+2n+1>2n2+2n, 2n2+2n+1>2n+1, 2n2+2n+1为三角形中的最大边 又(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1, (2n+1)2+(2n2+2n)2=4n4+8n3+8m2+4n+1, (2mn2+2n+1)2=(2n+1)2+(2n2+2m2 根据勾股定理的逆定理可知, 此三角形为直角三角形 www0-100 com cn 华人教育有限公司
例1 试判断：三边长分别为2n 2＋2n，2n＋1， 2n 2＋2n＋1(n＞ 0)的三角形是否直角三角形. 四 、新课 【分析】先找到最大边，再验证三边是否符 合勾股定理的逆定理. 【解】∵ 2n 2＋2n＋1＞2n 2＋2n， 2n 2＋2n＋1＞ 2n＋1， ∴ 2n 2＋2n＋1为三角形中的最大边. 又 (2n 2＋2n＋1)2＝4 n 4＋8n 3＋8n 2＋4n＋1， (2n＋1)2＋(2n 2＋2n) 2＝4n 4＋8n 3＋8n 2＋4n＋1， ∴ (2n 2＋2n＋1)2＝(2n＋1)2＋(2n 2＋2n) 2 . 根据勾股定理的逆定理可知， 此三角形为直角三角形
四、新课 例2已知△ABC中,AC=2/6,BC=22, AB=42, 求AB上的高CD的长 【分析】如果我们不能发现三边间的数量关系,求 解就是十分困难的事.但是如果发现三边的关系, 应用勾股定理的逆定理问题就迎刃而解了 www0-100 com cn 华人教育有限公司
例2 已知△ABC中，AC＝2 ，BC＝2 ， AB＝4 ， 求AB上的高CD的长. 6 2 2 【分析】如果我们不能发现三边间的数量关系，求 解就是十分困难的事．但是如果发现三边的关系， 应用勾股定理的逆定理问题就迎刃而解了。 四 、新课
四、新课 例2已知△ABC中,AC=2/6,BC=22, AB=42, 求AB上的高CD的长 【解】由f(2√6)2+(2√2)2=24+8=32=(42)2 所以△ABC是以∠C为直角的三角形.于是 AB·CD=,BCC, CD 2√6×2√2 www0-100 com cn 华人教育有限公司
例2 已知△ABC中，AC＝2 ，BC＝2 ， AB＝4 ， 求AB上的高CD的长. 6 2 2 四 、新课 【解】由于 所以△ABC是以∠C为直角的三角形．于是 AB·CD＝ BC·AC， (2 6) (2 2) 24 8 32 (4 2) , 2 2 2 + = + = = 1 2 CD = = 2 6 2 2 4 2 6 1 2
四、新课 例3已知:如图,四边形ABCD中 ∠B=90°,AB=4,BC=3, AD=13,CD=12 求:四边形ABCD的面积 【分析】所给四边形是不规则图形,无A4B 面积公式,需转化为规则图形计算.又知 ∠ABC=90°,且四条边长已知,不妨连 结AC,构成两个三角形,分别求面积 www0-100 com cn 华人教育有限公司
例3 已知：如图，四边形ABCD中， ∠B＝90° ，AB＝4，BC＝3， AD＝13，CD＝12. 求：四边形ABCD的面积. 【分析】所给四边形是不规则图形，无 面积公式，需转化为规则图形计算.又知 ∠ABC＝90° ，且四条边长已知，不妨连 结AC，构成两个三角形，分别求面积. 四 、新课 3 4 12 13 A B C D
例3已知:如图,四边形ABCD中, ∠B=90°,AB=4,BC=3 四、新课 AD=13,CD=12 求:四边形ABCD的面积 【解】连结AC.在△ABC中,∠B=90°, AB=4,BC=3, AC=VAB+BC2=5 在△ACD中,AC=5,CD=12,AD=13 AC2+CD2=25+144=169, A 4 B AD2=132=169, AC2+CD2=AD2 △ACD是直角三角形 △ABC AB Bc ×3×4=6, ∠△ACD AC·CD=×5×12=30 四边形BECD=S△ABC+S △ACD 36 www0-100 com cn 华人教育有限公司
例3 已知：如图，四边形ABCD中， ∠B＝90°，AB＝4，BC＝3， AD＝13，CD＝12. 求：四边形ABCD的面积. 四 、新课 3 4 12 13 A B C D ∴ S四边形ABCD ＝S△ABC＋S△ACD ＝36. 【解】连结AC．在△ABC中，∠B＝90° ， AB＝4，BC＝3， ∴ AC＝ ＝5. 在△ACD中，AC＝5，CD＝12，AD＝13 ∵ AC2＋CD2＝25＋144＝169， AD2＝132＝169， ∴ AC2＋CD2＝AD2 . ∴ △ACD是直角三角形. ∴ S△ABC ＝ AB·BC＝ ×3×4＝6， S△ACD ＝ AC·CD＝ ×5×12＝30. AB BC 2 2 + 1 2 1 2 1 2 1 2
四、新课 例4已知:如图,正方形ABCD中,F为DC 中点,E为BC上一点,且EC=BC 求证:∠EFA=90° D 【证明】设正方形ABCD的边长为4a, WJEC=a, be=3a, CF=DF=2a 在Rt△ABE中,由勾股定理得 AE2=AB2+BE2=(4a)2+(3a)2=25a2.B E 在Rt△ADF中,由勾股定理得 AF2=AD2+DF2=(4a2+(2a)2=20a 在Rt△ECF中,由勾股定理得 EF2=EC2+CF2=a2+(2a)2=5a2 AF2+EF2=AE2 ∴由勾股定理的逆定理可知,∠EFA=90 www0-100 com cn 华人教育有隈公司
四 、新课 例4 已知：如图，正方形ABCD中， F为DC 中点，E为BC上一点，且EC＝ BC. 求证：∠EFA＝90°. 4 1 F D E C A B 【证明】设正方形ABCD的边长为4a， 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在Rt△ABE中，由勾股定理得 AE 2＝AB 2＋BE 2＝(4a) 2＋(3a) 2＝25a 2 . 在Rt△ADF中，由勾股定理得 AF 2＝AD2＋DF 2＝(4a) 2＋(2a) 2＝20a 2 . 在Rt△ECF中，由勾股定理得 EF 2＝EC 2＋CF 2＝a 2＋(2a) 2＝5a 2 . ∴ AF 2＋EF 2＝AE 2 . ∴由勾股定理的逆定理可知，∠EFA＝90°