一阶线性微分方程 +P(xy=(x) dx 其通解：y=CeJe+ee产∫e(xye必k 当电路参数是线性元件时，P(x和Q(x)都是常数，假设为A1, A2,则： y=Cec+erE∫o(sye =Ae+e∫A,e4 =e加+e“ed4 Ae Ax+ Aee=Ae 齐次方程的解仅包含指数项
P(x)y Q(x) dx dy + = ( ) ( ) ( ) ( ) y Ce e Q x e dx P x dx P x dx P x dx + = − − P(x) Q(x) ( ) ( ) ( ) ( ) Ae e A e dx y Ce e Q x e dx A x A x A x P x d x P x d x P x d x 1 1 1 2 − − − − = + + = 一阶线性微分方程： 其通解： 当电路参数是线性元件时， 和 都是常数，假设为A1， A2，则： 齐次方程的解仅包含指数项。 ( ) 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 A A e e Ae A A Ae e d A x A A Ae e A x A x A x A x A x A x A x = + = + = + − − − − −
6.2一阶电路的零输入响应 零输入响应 换路后外加激励为零，仅由动态无件初 始储能所产生的电压和电流。 1.RC电路的零输入响应 已知4c(0-)=Uo -ur+uc =0 duc+uc =0 dt UR w-0 则 uc Aer Ae RC
6.2 一阶电路的零输入响应 换路后外加激励为零，仅由动态元件初 始储能所产生的电压和电流。 1. RC电路的零输入响应 已知 uC (0－)=U0 0 (0 ) 0 d d u U u t u RC C C C = + = + t RC e 1 A − = pt C 则 u = Ae − + = 0 uR uC t u i C C d d = − uR= Ri 零输入响应 i K(t=0) + – uR C + – uC R
代入初始值uc(0)=uc(0一)=Uo A=U0 t W。=Uec t≥0 t i 二 uc RC t≥0 R R i=c0-ce(←0e 或 dt
代入初始值 uC (0+ )=uC(0－)=U0 A=U0 0 0 0 = = = − − e I e t R U R u i RC t RC t C 0 = 0 − u U e t RC t c t RC uc Ae 1 − = RC t RC t C e R U RC CU e t u i C − − = − = − − = 0 0 ) 1 ( d d 或
从以上各式可以得出： ue=U,ect≥0 Uo R (1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； 连续 跃变 函数 (2)响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关； 令=RC,称x为一阶电路的时间常数 []=[Rc]=欧法=欧
t U0 uC 0 I0 t i 0 令 =RC , 称为一阶电路的时间常数 秒 伏 安 秒 欧 伏 库 欧 法 欧 = = = RC = = （1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； 从以上各式可以得出： 连续 函数 跃变 （2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关； 0 = 0 − u U e t RC t c RC t e R U i − = 0
时间常数的大小反映了电路过渡过程时间的长短 x大→过渡过程时间长 x大 x小→过渡过程时间短 x小N t 2t 3x Uo Ue-i Uoe-2 U0.368U0 0.135U0.05U0 0.007U 电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。 工程上认为，经过3x-5x,过渡过程结束
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = R C 大 → 过渡过程时间长 小 → 过渡过程时间短 U0 t uc 0 小 大 工程上认为, 经过 3－5, 过渡过程结束。 ：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。 U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t 0 2 3 5 t c u U e0 − = U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5
(3)能量关系 电容不断释放能量被电阻吸收， 直到全部消耗完毕 设uc(0)=Uo 电容放出能量： 1-2 电阻吸收（消耗） 能量： W=R-eR咖 21 2t R R
（3）能量关系 W i Rdt R = 0 2 电容不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕. 设uC (0+ )=U0 电容放出能量： 2 0 2 1 CU 电阻吸收（消耗）能量： e Rdt R U RC t 2 0 0 ( ) − = 2 0 2 1 = CU uC R + － C e dt R U RC 2t 0 2 0 − = − = − 0 2 2 0 )| 2 ( RC t e RC R U
例 已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭 合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。 解 这是一个求一阶RC零输 入响应问题，有： 32 u.=Ue Rc t≥0 代入U,=24VT=RC=5×4=20s 等效电路 t>0 4。=24e20/ t≥0 i,=4c/4=6e20A 分流得：4-子=北546==2克1
例 已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭 合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。 解 这是一个求一阶RC零输 入响应问题，有： i3 K 3 + uC 2 6 5F － i2 i1 + uC 4 5F － i1 t >0 等效电路 0 = 0 − u U e t RC t c U 24V RC 5 4 20 s 代入 0 = = = = 24 0 20 = − u e V t t c 分流得： i u e A t C 20 1 4 6 − = = i i e A t 20 2 1 4 3 2 − = = i i e A t 20 3 1 2 3 1 − = =
2.RL电路的零输入响应 z(0*)=iz(0)= R K0) 3L di +Ri=0t≥0 dt t>0 R i(t)=Ae L3 代入初始值i0=1。 A=i0*)尸10 R 得i(t)=Ie”=Iez t≥0
2. RL电路的零输入响应 代入初始值 i(0+ )= I0 A= i(0+ )= I0 0 1 (0 ) (0 ) I R R U i i S L L = + = = + − 0 0 d d + Ri = t t i L i K(t=0) US L + – uL R1 R t L R i t Ae − ( ) = ( ) 0 = 0 = 0 − i t I e I e t t L R 得 p t t >0 i L + – uL R
i(t)=Ie LIR t20一u,)=L=-R1,e t 从以上式子可以得出： (1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； ↑元 连续 函数 跃变 (2)响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与LR有关；
L R t L L RI e dt di u t L / 0 ( ) − ( ) / 0 = = − = 0 − i t I e t L R t L -RI0 uL t t I0 iL 0 从以上式子可以得出： 连续 函数 跃变 （1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； （2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；
令x=LR,称为一阶RL电路时间常数 1=会1=豪-1实胶=安欧1= 亨 韦 伏.秒 t=L/R 时间常数x的大小反映了电路过波过程时间的长短 x大→过渡过程时间长 ?小过渡过程时间短
令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [秒] 安 欧 伏 秒 安 欧 韦 欧 亨 = = = = = R L 大 → 过渡过程时间长 小 → 过渡过程时间短 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = L/R