全程设计 第十章 复数 *10.3 复数的三角形式及其运算
第十章 复数 *10.3 复数的三角形式及其运算
课标定位素养阐释 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
课标定位素养阐释 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
导航 课标定位素养阐释 1.了解复数的辐角及辐角主值的含义. 2.了解复数的代数形式和三角形式间的关系. 3.掌握复数三角形式的乘、除法运算，了解其几何意义 4.加强直观想象和数学运算能力的培养
导航 课标定位素养阐释 1.了解复数的辐角及辐角主值的含义. 2.了解复数的代数形式和三角形式间的关系. 3.掌握复数三角形式的乘、除法运算,了解其几何意义. 4.加强直观想象和数学运算能力的培养
导航 课前·基础认知 复数的三角形式 【问题思考】 y 1.非零复数a+bi(a,b∈R)与复平面内的点 Z(4,b)一一对应，与平面向量0Z=(a,b)也 Z b 是一一对应的，如图，能否用向量0Z的模r 和以x轴的正半轴为始边，以向量02所在 0 a 射线（射线OZ☑为终边的角0来表示复数z? 若能，如何表示？
导航 课前·基础认知 一、复数的三角形式 【问题思考】 1.非零复数a+bi(a,b∈R)与复平面内的点 Z(a,b)一一对应,与平面向量 =(a,b)也 是一一对应的,如图,能否用向量 的模r 和以x轴的正半轴为始边,以向量 所在 射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z? 若能,如何表示? 𝑶 𝒁 𝑶 𝒁 𝑶 𝒁
导航、 提示：能.因为=rcos0,b=rsin0, 所以a+bi=rcos0+(sin0)i=r(cos0+isin0)
导航 提示:能.因为a=rcos θ,b=rsin θ, 所以a+bi=rcos θ+(rsin θ)i=r(cos θ+isin θ)
2.填空：一般地，如果非零复数z=+bi(a,b∈R)在复平面内对应点 Z(,b),且r为向量0Z的模，0是以x轴正半轴为始边、射线OZ 为终边的一个角，则=z=√a2+b2,z= ,式子的右 边称为非零复数=+bi的三角形式（对应地，a+bi称为复数的代 数形式)，其中的称为z的辐角.在 内的辐角称为z的辐 角主值，记作argz
导航 2.填空:一般地,如果非零复数 z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应点 Z(a,b),且 r 为向量𝑶 𝒁 的模,θ 是以 x 轴正半轴为始边、射线 OZ 为终边的一个角,则 r=|z|= 𝒂𝟐 + 𝒃 𝟐,z= r(cos θ+isin θ) ,式子的右 边称为非零复数 z=a+bi 的三角形式(对应地,a+bi 称为复数的代 数形式),其中的 θ 称为 z 的辐角.在 [0,2π) 内的辐角称为 z 的辐 角主值,记作 arg z
导航 3.一个复数的辐角0与其辐角主值agz是什么关系？ 提示：0=2km+argz(k∈Z. 4.做一做：(1)复数z=1+的辐角主值是；辐角 是 z的三角形式是 (2)复数z=-2的三角形式是 答案：（呀2r+平ke)V2(cos翠+isin罩） (22(cos3z+isin3）
导航 3.一个复数的辐角θ与其辐角主值arg z是什么关系? 提示:θ=2kπ+arg z(k∈Z). 4.做一做:(1)复数z=1+i的辐角主值是 ;辐角 是 ;z的三角形式是 . (2)复数z=-2i的三角形式是 . 答案:(1)𝛑 𝟒 2kπ+ 𝛑 𝟒 (k∈Z) 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝛑 𝟒 + 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝛑 𝟒 (2)2 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝛑 𝟐 + 𝐢𝐬𝐢𝐧 𝟑𝛑 𝟐
导 复数三角形式的乘法 【问题思考】 1.若复数z1=1(cos01+isin01),z2=t2(c0s02+isin02),你能根据复 数的乘法运算计算z1不2，并将结果表示成三角形式吗？ 提示：z1z2=r(cos01+isin01)Xrz(c0s02+isin02) =rr2(cos 0]+isin 01)(cos 02+isin 02) =rirz[(cos 0cos 02-sin 0sin 02)+i(sin 0cos 02+cos 0isin 02)] =r2Icos(01+02)+isin(01+02)l
导航 二、复数三角形式的乘法 【问题思考】 1.若复数z1=r1 (cos θ1+isin θ1 ),z2=r2 (cos θ2+isin θ2 ),你能根据复 数的乘法运算计算z1 z2 ,并将结果表示成三角形式吗? 提示:z1 z2=r1 (cos θ1+isin θ1 )×r2 (cos θ2+isin θ2 ) =r1 r2 (cos θ1+isin θ1 )(cos θ2+isin θ2 ) =r1 r2 [(cos θ1 cos θ2 -sin θ1 sin θ2 )+i(sin θ1 cos θ2+cos θ1 sin θ2 )] =r1 r2 [cos(θ1+θ2 )+isin(θ1+θ2 )]
导航、 2填空： (1)设复数z1=1(cos01+isin01),z2=2(c0s02+isin02) 1132=r1(cos 01+isin 01)Xr2(cos 02+isin 02) 三
导航 2.填空: (1)设复数z1=r1 (cos θ1+isin θ1 ),z2=r2 (cos θ2+isin θ2 ). ①z1 z2=r1 (cos θ1+isin θ1 )×r2 (cos θ2+isin θ2 ) = r1 r2 [cos(θ1+θ2 )+isin(θ1+θ2 )] ;
导 ②两个复数相乘的几何意义：设z12对应的向量分别为 0Z,0Z,将0Z绕原点旋转，再将0Z的模变为原来的倍， 如果所得向量为0Z,则0Z对应的复数即为12，如图所示. y (2)Ir(cos 0+isin 0)]" Z =r"[cos(ne)+isin(ne)](nEN). x
导航 ②两个复数相乘的几何意义:设 z1,z2对应的向量分别为 𝑶𝒁𝟏 , 𝑶𝒁𝟐 ,将𝑶𝒁𝟏 绕原点旋转 θ2 ,再将𝑶𝒁𝟏 的模变为原来的 r2倍, 如果所得向量为𝑶 𝒁 ,则𝑶 𝒁 对应的复数即为 z1z2,如图所示. (2)[r(cos θ+isin θ)]n =r n [cos(nθ)+isin(nθ)](n∈N)