全程设计 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量基本定理
第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量基本定理
课标定位素养阐释 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
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导航 课标定位素养阐释 1.了解共面向量定理和空间向量基本定理 2.能够证明共面问题 3.能够用给出的基底表示有关向量 4.加强直观想象和数学运算能力的培养
导航 课标定位素养阐释 1.了解共面向量定理和空间向量基本定理. 2.能够证明共面问题. 3.能够用给出的基底表示有关向量. 4.加强直观想象和数学运算能力的培养
导航 课前·基础认知 一、共面向量定理 【问题思考】 1空间任何两个向量一定共面吗？三个向量呢？ 提示：一定；不一定
导航 课前·基础认知 一、共面向量定理 【问题思考】 1.空间任何两个向量一定共面吗?三个向量呢? 提示:一定;不一定
导航 2.填空：(1)共面向量定理 如果两个向量a,b不共线，则向量a,b,c共面的充要条件是，存在 唯一的实数对化，y),使c= (2)四点共面的判断方法 如果A,B,C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存 在唯一的实数对(x,y),使AP=
导航 2.填空:(1)共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是,存在 唯一的实数对(x,y),使c= xa+yb . (2)四点共面的判断方法 如果A,B,C三点不共线,则点P在平面ABC内的充要条件是,存 在唯一的实数对(x,y),使 𝑨 𝑷 = x𝑨 𝑩 +y𝑨 𝑪
3.做一做：在下列条件中，使点M与点A,B,C一定共面的是( A.0M=30A-20B-0C B.OM+0A+0B+OC-0 C.MA+MB+MC-0 D.0M=0B-0A+30C 解析：对于选项C,.MA+MB+MC=O, .MA=-MB-MC,.点M与点A,B,C必共面. 答案：C
导航 3.做一做:在下列条件中,使点M与点A,B,C一定共面的是( ) A.𝑶 𝑴 =3𝑶 𝑨 -2𝑶 𝑩 − 𝑶 𝑪 B.𝑶 𝑴 + 𝑶 𝑨 + 𝑶 𝑩 + 𝑶 𝑪 =0 C.𝑴 𝑨 + 𝑴 𝑩 + 𝑴 𝑪 =0 D.𝑶 𝑴 = 𝟏 𝟒 𝑶 𝑩 − 𝑶 𝑨 + 𝟏 𝟐 𝑶 𝑪 解析:对于选项 C,∵𝑴 𝑨 + 𝑴 𝑩 + 𝑴 𝑪 =0, ∴𝑴 𝑨 =-𝑴 𝑩 − 𝑴 𝑪 ,∴点 M 与点 A,B,C 必共面. 答案:C
导 二、空间向量基本定理 【问题思考】 1.我们知道给定平面上两个不共线的向量a,b,则平面中的任 何向量都可以用a,b表示，且表示形式是唯一的.要能表示空间 中的任一向量，至少应给出几个向量？给出的向量应满足什么 条件？ 提示：三个；不共面
导航 二、空间向量基本定理 【问题思考】 1.我们知道给定平面上两个不共线的向量a,b,则平面中的任 何向量都可以用a,b表示,且表示形式是唯一的.要能表示空间 中的任一向量,至少应给出几个向量?给出的向量应满足什么 条件? 提示:三个;不共面
2.填空：(1)空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a,b,c ,那么对空间中的任意一个向 量p,存在唯一的有序实数组(ky,z),使得p=xa+yb+zc (2)对定理的说明 ①空间向量基本定理中，p用a,b,c表示的表达式p=xayb+c唯一. 特别地，当a,b,c不共面时，可知xa+yb+zc=0台 ②表达式xa+yb+zc一般称为向量a,b,c的线性组合或线性表达式 ③空间中 的三个向量a,b,c组成空间向量的一组基底，记为 {a,b,c以.此时，a,b,c都称为基向量；如果p=xa+yb+zc,则称 为p在基底{a,b,c下的分解式
导航 2.填空:(1)空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a,b,c 不共面 ,那么对空间中的任意一个向 量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc. (2)对定理的说明 ①空间向量基本定理中,p用a,b,c表示的表达式p=xa+yb+zc唯一. 特别地,当a,b,c不共面时,可知xa+yb+zc=0⇔ x=y=z=0 . ②表达式xa+yb+zc一般称为向量a,b,c的线性组合或线性表达式. ③空间中不共面的三个向量a,b,c组成空间向量的一组基底,记为 {a,b,c}.此时,a,b,c都称为基向量;如果p=xa+yb+zc,则称xa+yb+zc 为p在基底{a,b,c}下的分解式
导 3.做一做：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设AA=a,AB=b,AD=c 若E为A1D1的中点，则CE用a,b,c可表示为 解析：C正=CD1+D1E=CD+2D1A=BA1-Ad= AA-A正-2Ad=a-b2 答案a-b-2c
导航 3.做一做:在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,设𝑨𝑨𝟏 =a,𝑨 𝑩 =b,𝑨 𝑫 =c, 若 E 为 A1D1的中点,则𝑪 𝑬 用 a,b,c 可表示为__________. 解析:𝑪 𝑬 = 𝑪𝑫𝟏 + 𝑫 𝟏 𝑬 = 𝑪𝑫𝟏 + 𝟏 𝟐 𝑫𝟏 𝑨𝟏 = 𝑩𝑨𝟏 − 𝟏 𝟐 𝑨 𝑫 = 𝑨𝑨𝟏 − 𝑨 𝑩 − 𝟏 𝟐 𝑨 𝑫 =a-b- 𝟏 𝟐 c. 答案:a-b- 𝟏 𝟐 c
【思考辨析】 判断正误（正确的画“√，错误的画“×） ()任意给平面a上的两个向量a,b,则平面a上的任何向量m均可用 a,b表示.( (2)若A正=AC+AD,则A,B,C,D四点共面.( (3)任意一组不共线的向量a,b,c都可以构成空间的一个基底 (④)同一个基底表示同一向量的方式唯一.() (⑤)空间中的基底是唯一的.( (⑥)已知{a,b,c是空间向量的一组基底，若p=x1a+yb+z1c,且 p=x2a十y2b+z2C,则必有x1=X2y1y2,31=乙2(
【思考辨析】 导航 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)任意给平面α上的两个向量a,b,则平面α上的任何向量m均可用 a,b表示.( × ) (3)任意一组不共线的向量a,b,c都可以构成空间的一个基底. ( × ) (4)同一个基底表示同一向量的方式唯一.( √ ) (5)空间中的基底是唯一的.( × ) (6)已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,若p=x1a+y1b+z1 c,且 p=x2a+y2b+z2 c,则必有x1=x2 ,y1=y2 ,z1=z2 .( √ ) (2)若𝑨 𝑩 = 𝟏 𝟓 𝑨 𝑪 + 𝟏 𝟓 𝑨 𝑫 ,则 A,B,C,D 四点共面.( √ )