全程设计 第一章 空间向量与立体几何 1.2空间向量在立体几何中的应用 1.2.2 空间中的平面与空间向量
第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量在立体几何中的应用 1.2.2 空间中的平面与空间向量
课标定位素养阐释 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
课标定位素养阐释 课前·基础认知 课堂·重难突破 随堂训练
导航 课标定位素养阐释 1.了解平面的法向量的概念. 2.能够借助直线的方向向量和平面的法向量判断直线和平面 的关系. 3.能利用平面的法向量判定平面与平面的关系. 4.掌握并能应用三垂线定理及逆定理证明空间垂直问题
导航 课标定位素养阐释 1.了解平面的法向量的概念. 2.能够借助直线的方向向量和平面的法向量判断直线和平面 的关系. 3.能利用平面的法向量判定平面与平面的关系. 4.掌握并能应用三垂线定理及逆定理证明空间垂直问题
导航 课前·基础认知 平面的法向量 【问题思考】 1.表示向量n的有向线段所在直线与平面a垂直，这样的n有多 少个？它们之间是什么关系？ 提示：无数个.平行
导航 课前·基础认知 一、平面的法向量 【问题思考】 1.表示向量n的有向线段所在直线与平面α垂直,这样的n有多 少个?它们之间是什么关系? 提示:无数个.平行
导航 2.填空：(1)平面的法向量 如果a是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表 示n的有向线段所在的直线与平面a,则称n为平面a的一 个法向量.此时，也称n与平面a垂直，记作
导航 2.填空:(1)平面的法向量 如果α是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表 示n的有向线段所在的直线与平面α 垂直,则称n为平面α的一 个法向量.此时,也称n与平面α垂直,记作n⊥α
2)平面的法向量的性质 ①如果直线垂直平面a,则直线的任意一个 都是平 面a的一个法向量 ②如果n是平面a的一个法向量，则对任意的实数≠0，空间向 量也是平面α的一个法向量，而且平面a的任意两个法向量 都 ③如果n为平面a的一个法向量，A为平面a上一个已知的点，则 对于平面a上任意一点B,向量AB一定与向量n 即 ,从而可知平面a的位置可由n和A唯一确定
导航 (2)平面的法向量的性质 ①如果直线l垂直平面α,则直线l的任意一个方向向量都是平 面α的一个法向量. ②如果n是平面α的一个法向量,则对任意的实数λ≠0,空间向 量 λn 也是平面α的一个法向量,而且平面α的任意两个法向量 都平行 . ③如果n为平面α的一个法向量,A为平面α上一个已知的点,则 对于平面α上任意一点B,向量 一定与向量n垂直, 即 ·n=0 ,从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 𝑨 𝑩 𝑨 𝑩
导航 3.做一做：在正方体ABCD-A1BCD1中，平面BC1D的法向量可 以是 ;平面BCCB,的法向量可以是 (举 一例即可)， 答案：A1CAB
导航 3.做一做:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面BC1D的法向量可 以是 ;平面BCC1B1的法向量可以是 (举 一例即可). 答案:𝑨 𝟏 𝑪 𝑨 𝑩
导期 二、线面平行、垂直，面面平行、垂直与向量的关系 【问题思考】 1.若直线的方向向量和平面α的法向量平行，测是否一定有 LLa?l的方向向量和a的法向量垂直时，是否一定有lIla? 提示：一定；不一定，可能lca 2.设v1V2分别是平面a,的法向量，若v1Ilv2,则平面a,的位置 关系如何？ 提示：aB或a与B重合
导航 二、线面平行、垂直,面面平行、垂直与向量的关系 【问题思考】 1.若直线l的方向向量和平面α的法向量平行,则是否一定有 l⊥α?l的方向向量和α的法向量垂直时,是否一定有l∥α? 提示:一定;不一定,可能l⊂α. 2.设v1 ,v2分别是平面α,β的法向量,若v1∥v2 ,则平面α,β的位置 关系如何? 提示:α∥β或α与β重合
3.填空：设n是直线的一个方向向量，向量v,u分别是平面 a,的法向量 则有：nlv台 nLv←→ V⊥u←→ vlIu←台 4.做一做：若直线的方向向量a=(1,0,-1),向量v=(-2,0,2), u=3,3,3)分别是平面a,的一个法向量，则1与a的关系 为 ;与的关系为 a与的关系为 答案：ILa Ill或lc阝a⊥f
导航 3.填空:设n是直线l的一个方向向量,向量v,u分别是平面 α,β的法向量. 则有:n∥v⇔ l⊥α ; n⊥v⇔ l∥α或l⊂α ; v⊥u⇔ α⊥β ; v∥u⇔ α∥β或α,β重合. 4.做一做:若直线l的方向向量a=(1,0,-1),向量v=(-2,0,2), u=(3,3,3)分别是平面α,β的一个法向量,则l与α的关系 为 ;l与β的关系为 ;α与β的关系为 . 答案:l⊥α l∥β或l⊂β α⊥β
导航 三、三垂线定理及其逆定理 【问题思考】 1.若空间直线l与平面a的斜线a垂直，则l与a在a内的射影一定 垂直吗？为什么？ 提示：不一定.因为可能不在α内，且lL的情形很多. 2.若直线c平面a,平面a的斜线a在a内的射影为a',且lLa',则1 与是什么关系？ 提示：垂直
导航 三、三垂线定理及其逆定理 【问题思考】 1.若空间直线l与平面α的斜线a垂直,则l与a在α内的射影一定 垂直吗?为什么? 提示:不一定.因为l可能不在α内,且l⊥a的情形很多. 2.若直线l⊂平面α,平面α的斜线a在α内的射影为a',且l⊥a',则l 与a是什么关系? 提示:垂直