5.1.1相交线 教学目标:1.理解对顶角和邻补角的概念,能在图形中辨认. 2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程 3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角,培养学生的识图能力 重点:在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角. 难点:在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角 教学反思 教学过程 创设情境,引入课题 先请同学观察本章的章前图,然后引导学生观察,并回答问题 学生活动:口答哪些道路是交错的,哪些道路是平行的. 教师导入:图中的道路是有宽度的,是有限长的,而且也不是完全直的,当我们把 它们看成直线时,这些直线有些是相交线,有些是平行线.相交线、平行线都有许 多重要性质,并且在生产和生活中有广泛应用.所以研究这些问题对今后的工作和 学习都是有用的,也将为后面的学习做些准备.我们先研究直线相交的问题,引入 本节课题 二、探究新知,讲授新课 第1页共149页
第1页共149页 5.1.1 相交线 教学目标：1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认． 2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程． 3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力． 重点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角． 难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角． 教学反思 教学过程 一、创设情境，引入课题 先请同学观察本章的章前图，然后引导学生观察，并回答问题． 学生活动：口答哪些道路是交错的，哪些道路是平行的． 教师导入：图中的道路是有宽度的，是有限长的，而且也不是完全直的，当我们把 它们看成直线时，这些直线有些是相交线，有些是平行线．相交线、平行线都有许 多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用．所以研究这些问题对今后的工作和 学习都是有用的，也将为后面的学习做些准备．我们先研究直线相交的问题，引入 本节课题． 二、探究新知，讲授新课
1.对顶角和邻补角的概念 学生活动:观察上图,同桌讨论,教师统一学生观点并板书 【板书】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的,它们有一个公共顶点0,没有公 共边,像这样的两个角叫做对顶角 学生活动:让学生找一找上图中还有没有对顶角,如果有,是哪两个角? 学生口答:∠2和∠4再也是对顶角. 紧扣对顶角定义强调以下两点: (1)辨认对顶角的要领:一看是不是两条直线相交所成的角,对顶角与相交线 是唇齿相依,哪里有相交直线,哪里就有对顶角,反过来,哪里有对顶角,哪里就 有相交线;二看是不是有公共顶点;三看是不是没有公共边.符合这三个条件时, 才能确定这两个角是对顶角,只具备一个或两个条件都不行 (2)对顶角是成对存在的,它们互为对顶角,如∠1是∠3的对顶角,同时, ∠3是∠1的对顶角,也常说∠1和∠3是对顶角 2.对顶角的性质 提出问题:我们在图形中能准确地辨认对顶角,那么对顶角有什么性质呢? 学生活动:学生以小组为单位展开讨论,选代表发言,井口答为什么 【板书】∵∠1与∠2互补,∠3与∠2互补(邻补角定义), 第2页共149页
第2页共149页 1．对顶角和邻补角的概念 学生活动：观察上图，同桌讨论，教师统一学生观点并板书． 【板书】∠1 与∠3 是直线 AB、CD 相交得到的，它们有一个公共顶点 O，没有公 共边，像这样的两个角叫做对顶角． 学生活动：让学生找一找上图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？ 学生口答：∠2 和∠4 再也是对顶角． 紧扣对顶角定义强调以下两点： （1）辨认对顶角的要领：一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线 是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就 有相交线；二看是不是有公共顶点；三看是不是没有公共边．符合这三个条件时， 才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行． （2）对顶角是成对存在的，它们互为对顶角，如∠1 是∠3 的对顶角，同时， ∠3 是∠1 的对顶角，也常说∠1 和∠3 是对顶角． 2．对顶角的性质 提出问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？ 学生活动：学生以小组为单位展开讨论，选代表发言，井口答为什么． 【板书】∵∠1 与∠2 互补，∠3 与∠2 互补（邻补角定义）
∴∠1=∠3(同角的补角相等) 注意:∠1与∠2互补不是给出的已知条件,而是分析图形得到的;所以括号内 不填已知,而填邻补角定义 或写成:∵∠1=180°-∠2,∠3=180 2(邻补角定义), ∴∠1=∠3(等量代换) 学生活动:例题比较简单,教师不做任何提示,让学生在练习本上独立完成解 题过程,请一个学生板演。 解:∠3=∠1=40°(对顶角相等) ∠2=180°-40°=140°(邻补角定义) ∠4=∠2=140°(对顶角相等). 三、范例学习 3 学生活动:让学生把例题中∠1=40°这个条件换成其他条件,而结论不变,自编几 道题 变式1:把∠1=40°变为∠2-∠1=40 变式2:把∠1=40°变为∠2是∠1的3倍 变式3:把∠1=40°变为∠1:∠2=2:9 四、课堂小结 学生活动:表格中的结论均由学生自己口答填出. 第3页共149页
第3页共149页 ∴∠l＝∠3（同角的补角相等）． 注意：∠l 与∠2 互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内 不填已知，而填邻补角定义． 或写成：∵∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2（邻补角定义）， ∴∠1＝∠3（等量代换）． 学生活动：例题比较简单，教师不做任何提示，让学生在练习本上独立完成解 题过程，请一个学生板演。 解：∠3＝∠1＝40°（对顶角相等）． ∠2＝180°－40°＝140°（邻补角定义）． ∠4＝∠2＝140°（对顶角相等）． 三、范例学习 学生活动：让学生把例题中∠1＝40°这个条件换成其他条件，而结论不变，自编几 道题． 变式 1：把∠l＝40°变为∠2－∠1＝40° 变式 2：把∠1＝40°变为∠2 是∠l 的 3 倍 变式 3：把∠1＝40°变为∠1：∠2＝2：9 四、课堂小结 学生活动：表格中的结论均由学生自己口答填出．
角的名称 特征 性质相同点 不同点 ①两条直线相交面成 对顶角没有公共边 的角 对顶角都是两直线 对顶角 而邻补角有一条公 ②有一个公共顶点相等相交而成的 共边:两条直线相 ③没有公共边 角,都有 交时,一个有的对 ①两条直线相交面成 公共顶点,它 顶角有一个,而 的角 邻补角们都是成对 邻补角 个角的邻补角有两 ②有一个公共顶点互补出现 个 ③有一条公共边 五、布置作业:课本P3练习 第4页共149页
第4页共149页 五、布置作业：课本 P3 练习 角的名称 特征 性质 相同点 不同点 对顶角 ①两条直线相交面成 的角 ②有一个公共顶点 ③没有公共边 对顶角 相等 都是两直线 相交而成的 角，都有一个 公共顶点，它 们都是成对 出现。 对顶角没有公共边 而邻补角有一条公 共边；两条直线相 交时，一个有的对 顶角有一个，而一 个角的邻补角有两 个。 邻补角 ①两条直线相交面成 的角 ②有一个公共顶点 ③有一条公共边 邻补角 互补
5.1.2垂线(第一课时) 教学目标:1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念, 用几何语言准确表达能力 2.了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线,并且 只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线 重点两条直线互相垂直的概念、性质和画法 教学反思 教学过程 创设问题情境 1.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边,方格纸的横线和竖线……,思考 这些给大家什么印象? 在学生回答之后,教师指出:“垂直”两个字对大家并不陌生,但是垂直的意义,垂线 有什么性质,我们不一定都了解,这可是我们要学习的内容 第5页共149页
第5页共149页 5.1.2 垂线(第一课时) 教学目标：1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念, 用几何语言准确表达能力. 2.了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线,并且 只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 重点两条直线互相垂直的概念、性质和画法. 教学反思 教学过程 一、创设问题情境 1.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边,方格纸的横线和竖线……,思考 这些给大家什么印象? 在学生回答之后,教师指出:“垂直”两个字对大家并不陌生,但是垂直的意义,垂线 有什么性质,我们不一定都了解,这可是我们要学习的内容
2.学生观察课本P3图5.1-4思考:固定木条a,转动木条,当b的位置变化时,a、b所 成的角a是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a、b所成的四 个角有什么特殊关系? 教师在组织学生交流中,应学生明白:当b的位置变化时,角a从锐角变为钝角,其中 ∠a是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠a是直角时,它的邻补角,对顶角都是 直角,即a、b所成的四个角都是直角,都相等 3.师生共同给出垂直定义 师生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系:“互相垂直”指两条直线的位置 关系;“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。如果说两条直线“互相垂 直”时,其中一条必定是另一条的“垂线”,如果一条直线是另一条直线的“垂 线”,则它们必定“互相垂直” 4.垂直的表示法 垂直用符号“⊥”来表示,结合课本图5.1-5说明“直线AB垂直于直线CD,垂足 为0”,则记为AB⊥CD,垂足为0,并在图中任意一个角处作上直角记号,如图. 5.简单应用 (1)学生观察课本P6图5.1-6中的一些互相垂直的线条,并再举出生活中其他实例 (2)判断以下两条直线是否垂直 ①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角 ②两条直线相交所成的四个角相等 ③两条直线相交,有一组邻补角相等 ④两条直线相交,对顶角互补 二、画图实践探究垂线的性质 第6页共149页
第6页共149页 2.学生观察课本 P3 图 5.1-4 思考:固定木条 a,转动木条,当 b 的位置变化时,a、b 所 成的角 a 是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a、b 所成的四 个角有什么特殊关系? 教师在组织学生交流中,应学生明白:当 b 的位置变化时,角 a 从锐角变为钝角,其中 ∠a 是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠a 是直角时,它的邻补角,对顶角都是 直角,即 a、b 所成的四个角都是直角,都相等. 3.师生共同给出垂直定义. 师生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的位置 关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。如果说两条直线“互相垂 直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”，如果一条直线是另一条直线的“垂 线”，则它们必定“互相垂直”。 4.垂直的表示法. 垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图 5.1－5 说明“直线 AB 垂直于直线 CD，垂足 为 O”，则记为 AB⊥CD,垂足为 O，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图. 5.简单应用 (1)学生观察课本 P6 图 5.1-6 中的一些互相垂直的线条,并再举出生活中其他实例. (2)判断以下两条直线是否垂直: ①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角; ②两条直线相交所成的四个角相等; ③两条直线相交,有一组邻补角相等; ④两条直线相交,对顶角互补. 二、画图实践,探究垂线的性质
1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线 (1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.待学生上黑板画出L 的垂线后,教师追问学生:还能画出L的垂线吗?能画几条?通过师生交流,使学生明确 直线L的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.教师再问:怎样才能确定直线L的 垂线位置?在学生道出:在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,并且动手画出图形. 教师板书学生的结论:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (2)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么 结论? 教师板书学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书 垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2.变式训练,巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图: (1)过点P画射线MN的垂线,Q为垂足; (2)过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点 (3)过点P画线段AB的垂线,交线AB延长线于Q点 学生画完图后,教师归结:画一条射线或线段的垂线,就是画它们所在直线的垂线 、课堂小结 本节学习了互相垂直、垂线等概念,还学习了过一点画已知直线的垂线的画法,并得 出垂线一条性质,你能说出相关的内容吗? 四、布置作业:课本练习,3,4,5,9. 第7页共149页
第7页共149页 1.学生用三角尺或量角器画已知直线 L 的垂线. (1)已知直线 L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L 的垂线.待学生上黑板画出 L 的垂线后,教师追问学生:还能画出 L 的垂线吗?能画几条?通过师生交流,使学生明确 直线 L 的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.教师再问:怎样才能确定直线 L 的 垂线位置?在学生道出:在直线 L 上取一点 A,过点 A 画 L 的垂线,并且动手画出图形. 教师板书学生的结论:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (2)经过直线 L 外一点 B 画直线 L 的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么 结论? 教师板书学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书: 垂线性质 1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2.变式训练,巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图: (1)过点 P 画射线 MN 的垂线,Q 为垂足; (2)过点 P 画射线 BN 的垂线,交射线 BN 反向延长线于 Q 点; (3)过点 P 画线段 AB 的垂线,交线 AB 延长线于 Q 点. 学生画完图后,教师归结:画一条射线或线段的垂线,就是画它们所在直线的垂线. 三、课堂小结 本节学习了互相垂直、垂线等概念,还学习了过一点画已知直线的垂线的画法,并得 出垂线一条性质,你能说出相关的内容吗? 四、布置作业：课本练习, 3,4,5,9
5.1.2垂线(第二课时) 教学目标:1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观 念,用几何语言准确表达能力。2.了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会 点到直线的距离的意义,并会度量点到直线的距离 教学重点:“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用 教学难点:对点到直线的距离的概念的理解 教学反思 教学过程 创设问题情境 教师展示课本图5.1-8,提出问题:要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道 最短? 学生看图、思考. 2.教师以问题串形式,启发学生思考 (1)问题1,上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗? 学生说出:两点间线段最短. (2)问题2,如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是P,那么另一个端点的位置呢? 把江河看成直线L,那么原问题就是怎么的数学问题 问题2使学生能用数学眼光思考:在连接直线L外一点P与直线L上各点的线段中, 哪一条最短? 第8页共149页
第8页共149页 5.1.2 垂线(第二课时) 教学目标：1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动，进一步发展空间观 念，用几何语言准确表达能力。2.了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会 点到直线的距离的意义,并会度量点到直线的距离. 教学重点:“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用. 教学难点:对点到直线的距离的概念的理解. 教学反思 教学过程 一、创设问题情境 1.教师展示课本图 5.1-8,提出问题:要把河中的水引到农田 P 处,如何挖渠能使渠道 最短? 学生看图、思考. 2.教师以问题串形式,启发学生思考. (1)问题 1,上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗? 学生说出:两点间线段最短. (2)问题2,如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是P,那么另一个端点的位置呢? 把江河看成直线 L,那么原问题就是怎么的数学问题. 问题 2 使学生能用数学眼光思考:在连接直线 L 外一点 P 与直线 L 上各点的线段中, 哪一条最短?
3.教师演示教具,给学生直观的感受 教具如图:在硬纸板上固定木条L,L外一点P,转动的木条a一端固定在点P. 使木条L与a相交,左右摆动木条a,L与a的交点A随之变化,线段PA长度也随之变 化.PA最短时,a与L的位置关系如何?用三角尺检验 4.学生画图操作,得出结论. (1)画出直线L,L外一点P; 2)过P点出PO⊥L,垂足为0 (3)点A,A,A…在L上,连接PA、PA2、PA… (4)用叠合法或度量法比较PO、PA、PA、PA3……长短 5.师生交流,得出垂线的另一条性质 教师板书:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短 简单说成:垂线段最短 关于垂线段教师可让学生思考: (1)垂线段与垂线的区别联系 (2)垂线段与线段的区别与联系 、点到直线的距离 1.师生根据两点间的距离的意义给出点到直线的距离命名. 结合课本图形(图5.1-9),深入认识垂线段PO:PO⊥L,∠POA=90°,0为垂足,垂线段 PO的长度比其他线段PA1、PA……中是最短的 按照两点间的距离给点到直线的距离命名,教师板书 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离 第9页共149页
第9页共149页 3.教师演示教具,给学生直观的感受. 教具如图:在硬纸板上固定木条 L,L 外一点 P,转动的木条 a 一端固定在点 P. 使木条 L 与 a 相交,左右摆动木条 a,L 与 a 的交点 A 随之变化,线段 PA 长度也随之变 化.PA 最短时,a 与 L 的位置关系如何?用三角尺检验. 4.学生画图操作,得出结论. (1)画出直线 L,L 外一点 P; (2)过 P 点出 PO⊥L,垂足为 O; (3)点 A1,A2,A3……在 L 上,连接 PA、PA2、PA3……; (4)用叠合法或度量法比较 PO、PA1、PA2、PA3……长短. 5.师生交流,得出垂线的另一条性质. 教师板书:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 简单说成:垂线段最短. 关于垂线段教师可让学生思考: (1)垂线段与垂线的区别联系. (2)垂线段与线段的区别与联系. 二、点到直线的距离 1.师生根据两点间的距离的意义给出点到直线的距离命名. 结合课本图形(图 5.1-9),深入认识垂线段 PO:PO⊥L,∠POA=90°,O 为垂足,垂线段 PO 的长度比其他线段 PA1、PA2……中是最短的. 按照两点间的距离给点到直线的距离命名,教师板书: 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
在图5.1-9中,PO的长度是点P到直线L的距离,其余结论PA、PA2……长度都不是点 P到L的距离 2、练习课本P6练习 三、课堂小结:通过这节课,我们主要学习了什么呢? 四、布置作业:课本P9.6,P10.10,11,12,P11观察与猜想 第10页共149页
第10页共149页 在图 5.1-9 中,PO 的长度是点 P 到直线 L 的距离,其余结论 PA、PA2……长度都不是点 P 到 L 的距离. 2、练习课本 P6 练习 三、课堂小结：通过这节课，我们主要学习了什么呢？ 四、布置作业：课本 P9.6,P10.10,11,12,P11 观察与猜想