免费下载网址htt:jiaoxue5u.ys68.com 三角形内角和定理的证明 ★教学目标 知识与技能:三角形的内角和定理的证明 (二)过程与方法: 掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用;初步学会利用辅助线证题 同时培养学生观察、猜想和论证能力 (三)情感态度与价值观 通过一题多解、一题多变,初步体会思维的多向性,引导学生的个性化发展 ★教学重点 三角形内角和定理的证明 ★教学难点 三角形内角和定理的证明方法。 ★教学过程 Ⅰ.设现实情境,引入新课 [师]大家来看这张三角形纸片。三个角分别是A、B、C,现在我们把三个角折叠到 起,大家观察一下这三个角之间的关系。(请**同学来回答) 实验1:先将纸片三角形一角折向其对边,使顶点落在对边上,折线与对边平行,然后把 另外两角相向对折,使其顶点与已折角的顶点相重合(图(2)、(3)),最后得图(4) 所示的结果. C NA M (1) (2) (3) (4) [***]三个角之和为180° 师]很好!请坐。由实验可知:三角形的内角之和正好为一个平角。但观察与实验得到的 结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明。那么怎样证明呢?请同学们再来 看下一个实验。 [师]大家再来看这三张三角形纸片。把它们重合一起,说明这3个三角形是全等三角形。 也就是说这3个三角形对应边相等,对应角也相等 试验2.我们先画一条直线,然后, 我请一位同学上台来帮忙。(请**同学上台) 我们让其中两个三角形底边靠着这条直线,使得它们有两个顶点重合,固定不动。 然后我用第3个三角形∠C朝下,逐渐往下逼近。这时,∠A与∠ACE能重合吗? [生齐声]能重合 [师]为什么能重合呢?请大家思考一下 dMla aim Ⅱ.讲授新课 [师]为了回答这个问题,先看一下课本P237撕纸试验。 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘宝 网址:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝 网址：jiaoxue5u.taobao.com 三角形内角和定理的证明 ★教学目标 知识与技能：三角形的内角和定理的证明.。 （二）过程与方法： 掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用；初步学会利用辅助线证题， 同时培养学生观察、猜想和论证能力。 （三）情感态度与价值观： 通过一题多解、一题多变，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。 ★教学重点 三角形内角和定理的证明。 ★教学难点 三角形内角和定理的证明方法。 ★教学过程 Ⅰ.设现实情境，引入新课 ［师］大家来看这张三角形纸片。三个角分别是 A、B、C，现在我们把三个角折叠到一 起，大家观察一下这三个角之间的关系。（请***同学来回答） 实验 1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行，然后把 另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相重合（图（2）、（3）），最后得图（4） 所示的结果. （1） （2） （3） （4） [***] 三个角之和为180° [师] 很好！请坐。由实验可知：三角形的内角之和正好为一个平角。但观察与实验得到的 结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明。那么怎样证明呢？请同学们再来 看下一个实验。 [师]大家再来看这三张三角形纸片。把它们重合一起，说明这 3 个三角形是全等三角形。 也就是说这 3 个三角形对应边相等，对应角也相等。 试验 2. 我们先画一条直线，然后， 我请一位同学上台来帮忙。(请***同学上台) 我们让其中两个三角形底边靠着这条直线，使得它们有两个顶点重合，固定不动。 然后我用第 3 个三角形∠C 朝下，逐渐往下逼近。这时，∠A 与∠ACE 能重合吗？ ［生齐声］能重合. ［师］为什么能重合呢？请大家思考一下。 Ⅱ.讲授新课 ［师］为了回答这个问题，先看一下课本 P237 撕纸试验
免费下载网址htp:/ jiaoxue5u.ys68com 我们记得,三角形的内角和是180°,我们证明的时候是把三个角撕下来拼在一起。于是 得到三角形三个内角的和等于平角,也就是180°那我们怎么用数学的语言证明呢? 现在大家拿出本子,按步骤:画图→写出已知、求证→分析解题方法→写出证明过程,我 请一位同学上黑板板书。(请**同学上黑板写出整个过程) ***板书] E 已知,如图△ABC 求证:∠A∠B+∠C=180° 证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB则 ∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等) ∠EC=∠B(两直线平行,同位角相等) ∵∠ACB∠ACP+∠ED=180°(1平角=180°) ∵∠肚∠B∠ACP=180°(等量代换) 即:∠A+∠B∠C=180 [师]同学们写得证明过程很好,在证明过程中,我们仅仅添画了一条射线CE,使处于原 三角形中不同位置的三个角,巧妙地拼凑到一起来了为了证明的需要,在原来的图形上 添画的线叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线 我们通过推理的过程,得证了命题:三角形的内角和等于180°是真命题,这时称它为定 理.即:三角形的内角和定理。 [师]大家看P239 小明也在证明三角形的内角和定理,他是这样想的。大家来议一议,他的想法可行吗 在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ∥ BC.(如图6-10)他的想法可行吗? A B (请学生自由上台板书,下面的同学认真看他写的过程) [生**]小明的想法可行。因为 ∵PQ∥BC(已作) ∠PB=∠B(两直线平行,内错角相等) ∠AC=∠C(两直线平行,内错角相等) ∴∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(1平角=180°) ∴∠B∠BAC+∠C=180°(等量代换) [师]做的很好!还有同学有其他方法吗? [生***]也可以这样作辅助线即:作CA的延长线AD,过点A作∠DAE∠C(如下图)。 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘宝 网址:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝 网址：jiaoxue5u.taobao.com 我们记得，三角形的内角和是 180°，我们证明的时候是把三个角撕下来拼在一起。于是 得到三角形三个内角 的和等于平角，也就是 180°那我们怎么用数学的语言证明呢？ 现在大家拿出本子，按步骤：画图→写出已知、求证→分析解题方法→写出证明过程，我 请一位同学上黑板板书。（请***同学上黑板写出整个过程）。 [***板书] 已知，如图△ABC。 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：作 BC 的延长线 CD，过点 C 作射线 CE∥AB.则 ∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等） ∠ECD=∠B（两直线平行，同位角相等） ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（1 平角=180°） ∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换） 即：∠A+∠B+∠C=180°. ［师］同学们写得证明过程很好，在证明过程中，我们仅仅添画了一条射线 CE，使处于原 三角形中不同位置的三个角，巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要，在原来的图形上 添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线。 我们通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于 180°是真命题，这时称它为定 理.即：三角形的内角和定理。 [师]大家看 P239 小明也在证明三角形的内角和定理，他是这样想的。大家来议一议，他的想法可行吗？ 在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到 A 处，他过点 A 作直线 PQ∥ BC.（如图 6-10）他的想法可行吗？ （请学生自由上台板书，下面的同学认真看他写的过程） ［生***］小明的想法可行。因为： ∵PQ∥BC（已作） ∴∠PAB=∠B（两直线平行，内错角相等） ∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等） ∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°（1 平角=180°） ∴∠B+∠BAC+∠C=180°（等量代换） [师] 做的很好！还有同学有其他方法吗？ ［生***］也可以这样作辅助线.即：作 CA 的延长线 AD，过点 A 作∠DAE=∠C（如下图）
免费下载网址htp:/ jiaoxue5u.ys68com A [生**]也可以在三角形的一边上任取一点,然后过这一点分别作另外两边的平行线,这 样也可证出定理 E 即:如上图,在BC上任取一点D,过点D分别作DE∥AB交AC于E,DF∥AC交AB于F ∴四边形AFDE是平行四边形(平行四边形的定义) ∠BD=∠C(两直线平行,同位角相等) ∠ED∠B(两直线平行,同位角相等) ∠ED∠A(平行四边形的对角相等) ∵∠BDF∠ED∠EC=180°(1平角=180°) ∴∠A∠B∠C=180°(等量代换) [师]同学们讨论得很好。接下来我们做练习以巩固三角形内角和定理。 Ⅲ课堂练习 (一)课本随堂练习1、2. 1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结 论。答案:90°60°(请同学们做在本子上,做完,老师板书核对) 如左图,在△ABC中,∠C=90 ∵∠A∠B+∠C180° ∠汁∠B=90 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘宝 网址:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝 网址：jiaoxue5u.taobao.com ［生***］也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线，这 样也可证出定理。 即：如上图，在 BC 上任取一点 D，过点 D 分别作 DE∥AB 交 AC 于 E，DF∥AC 交 AB 于 F。 ∴四边形 AFDE 是平行四边形（平行四边形的定义） ∠BDF=∠C（两直线平行，同位角相等） ∠EDC=∠B（两直线平行，同位角相等） ∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等） ∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°（1 平角=180°） ∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换） ［师］同学们讨论得很好。接下来我们做练习以巩固三角形内角和定理。 Ⅲ.课堂练习 （一）课本随堂练习 1、2. 1.直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结 论。答案：90° 60°（请同学们做在本子上，做完，老师板书核对） . 如左图，在△ABC 中，∠C=90° ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A+∠B=90°
免费下载网址ht:/ jiaoxue5u.ys68com 如左图,△ABC是等边三角形,则:∠A∠ B∠C ∵∠A∠B+∠C=180° ∠A∠B=∠C60° 2.如左图,已知,在△ABC中,DE∥BC,∠A=60°,∠C=70°,求证:∠ADE=50°。(请同 学们做在本子上,做完,老师板书核对) 证明:∵DE∥BC(已知) ∴∠AE=∠C(两直线平行,同位角相等) ∵∠C=70°(已知) ∴∠AED=70°(等量代换) ∠A+∠AED∠ADP=180°(三角形的内角和定理) ∴∠ADP=180°-∠A∠AED(等式的性质) ∴∠A60°(已知) ∴∠ADP=180°-60°-70°=50°(等量代换) 读一读B你能想到什么? △ABC,其中顶点B、C为定点,A为动点,请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三 角形:△ABC、△ABC、△ABC……其内角会产生怎样的变化呢? [边问边答] 点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越近于_0 [师]很好!在三角形中,最大的内角有没有等于或大于180°的? [生**]三角形的最大内角不会大于或等于180° [师]很好!看书:当点A远离BC时,∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行, 这时,∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角。即∠B+∠C→180° 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘宝 网址:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝 网址：jiaoxue5u.taobao.com 如左图，△ABC 是等边三角形，则：∠A=∠ B=∠C. ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C=60° 2.如左图，已知，在△ABC 中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：∠ADE=50°。（请同 学们做在本子上，做完，老师板书核对） 证明：∵DE∥BC（已知） ∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等） ∵∠C=70°（已知） ∴∠AED=70°（等量代换） ∵∠A+∠AED+∠ADE=180°（三角形的内角和定理） ∴∠ADE=180°－∠A－∠AED（等式的性质） ∵∠A=60°（已知） ∴∠AD E=180°－60°－70°=50°（等量代换） 读一读 P240 你能想到什么？ △ABC，其中顶点 B、C 为定点，A 为动点，请同学们考察点 A 变化时所形成的一系列的三 角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢？ ［边问边答］ 点 A 离 BC 越来越近时,∠A 越来越接近 180°,而其他两角越来越近于 0° ［师］很好！在三角形中，最大的内角有没有等于或大于 180°的？ ［生***］三角形的最大内角不会大于或等于 180°。 ［师］很好！看书：当点 A 远离 BC 时，∠A 越来越趋近于 0°,而 AB 与 AC 逐渐趋向平行， 这时，∠B、∠C 逐渐接近为互补的同旁内角。即∠B+∠C→180°
免费下载网址htp:/ jiaoxue5u.ys68com (三)看课本P23-20,然后小结。 Ⅳ.课时小结 这堂课,我们证明了一个很有用的三角形内角和定。证明的基本思想是:运用辅助线将原 三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起,拼成一个平角。辅助线是联系命题的条件 和结论的桥梁,相当重要,今后我们还要学习它 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘宝 网址:jiaoxue5u.taobao.com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝 网址：jiaoxue5u.taobao.com （三）看课本 P237-240，然后小结。 Ⅳ.课时小结 这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定。证明的基本思想是：运用辅助线将原 三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角。辅助线是联系命题的条件 和结论的桥梁，相当重要，今后我们还要学习它