微积分初步辅导二 一一导数与微分部分 典型例题 例1求下列函数的导数或微分： 1设y=x23+3+bg1x-5,求y x-2 (2设y= ,求y 没y=,求骨 1+cosx 分析这三个函数都是由基本初等通数经过四则运算得到的初等通数，求导或求放分 时，需要用到导数基本公式和导数的四运算法测对开1洗用数的加法法测，再用号数 基本公式：对于2)，可以先用导数除法法刚，再用基本公式：但注意到2)中函数的特点， 先将函数进行整理，y■ -2 一一x-2x行，则可用号数的加法法测求导.得到函数的导】 数后再环以山，得到函数的微分：对于3)用导数除法法则，再用基本公式 解()y-(x23+3+kg:x-5列 -(xY+(3y+g,x-(3y =3x2+3h3+1-0 xh3 -3x2+3h3+1 xhn3 2图为y-2.2x 3 于是
1 微积分初步辅导二 ——导数与微分部分 典 型 例 题 例 1 求下列函数的导数或微分： (1)设 3 3 3 y = x + 3 + log x − 3 x ，求 y . (2)设 3 2 2 x x y − = ，求 dy (3)设 x x y 1 cos sin + = ，求 ) 3 ( y . 分析 这三个函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的初等函数，求导或求微分 时，需要用到导数基本公式和导数的四则运算法则.对于(1)先用导数的加法法则，再用导数 基本公式；对于(2)，可以先用导数除法法则，再用基本公式；但注意到(2)中函数的特点， 先将函数进行整理， 3 2 3 1 3 2 2 2 − = − − = x x x x y ，则可用导数的加法法则求导，得到函数的导 数后再乘以 dx ，得到函数的微分；对于(3)用导数除法法则，再用基本公式. 解 (1) ( 3 log 3) 3 3 3 y = x + + x − x = ( ) (3 ) (log ) ( 3) 3 3 3 x + + x − x = 0 ln 3 1 3 3 ln 3 2 + + − x x x = ln 3 1 3 3 ln 3 2 x x x + + (2)因为 3 2 3 1 3 2 2 2 − = − − = x x x x y 所以 3 5 3 2 3 2 3 1 3 4 3 1 ( ) 2( ) − − − y = x − x = x + x ， 于是 y y x x x )dx 3 4 3 1 d d ( 3 5 3 2 − − = = +
(3因为y'=S+c0sx)-snl+cos (1+c0sx)月 =cosx(l+cosx)-sin x(-sn x)cosx+cosx+sinx (1+c0sx) (1+cosx) 1 1+cosx 所以得+o 在运用导数的四则运算法则应注意： ①在求导或求微分运算中，一般是先用法则，再用基本公式： ②把根式VxP写成幂次x?的形式，这样便于使用公式且减少出错： ③解愿时应先观察函数，看看能否对函数进行变形域化简，在运算中尽可能的避免使 用号数的除法法剧州1中假小愿，将=二变形为y-二子。于-2x子后两求 导数，这种解法比直接用除法法测求解要简便且不易出错 ④导数的乘法和除法法则与极限相应的法则不同，运算也相对复杂得多，计算时要细 例2求下列函数的导数或微分： 山)设y=e,求 2)设y-Mx-+x2),求《5) )设y=+}”,*y 分析采用复合函数求导法则，所设的中问变量应是基本初等函数或基本初等函数的四 则运算求导时，依照通的复合层次由最外层起，向内一层层地时中间变量求导，直至对 自变量求导为止 解()设y=e°，“=sm,三二，利用复合通数球号法测，有 y=eX(smg(=e'cos-字) 代回还原得 2
2 (3)因为 2 (1 cos ) (sin ) (1 cos ) sin (1 cos ) x x x x x y + + − + = = 2 2 2 2 (1 cos ) cos cos sin (1 cos ) cos (1 cos ) sin ( sin ) x x x x x x x x x + + + = + + − − = 1 cos x 1 + 所以 ) 3 ( y = = + = 3 1 cos 1 x x 3 2 2 1 1 1 = + 在运用导数的四则运算法则应注意： ① 在求导或求微分运算中，一般是先用法则，再用基本公式； ② 把根式 q p x 写成幂次 q p x 的形式，这样便于使用公式且减少出错； ③ 解题时应先观察函数，看看能否对函数进行变形或化简，在运算中尽可能的避免使 用导数的除法法则. 如例 1 中的(2)小题，将 3 2 2 x x y − = 变形为 3 2 3 1 3 2 2 2 − = − − = x x x x y 后再求 导数，这种解法比直接用除法法则求解要简便且不易出错. ④导数的乘法和除法法则与极限相应的法则不同，运算也相对复杂得多，计算时要细 心. 例 2 求下列函数的导数或微分： (1) 设 x y 1 sin = e ，求 dy . (2) 设 ln( 1 ) 2 y = x − + x ，求 y ( 3). (3) 设 10 2 ) 1 ( + = x x y ，求 y . 分析 采用复合函数求导法则，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四 则运算.求导时，依照函数的复合层次由最外层起，向内一层层地对中间变量求导，直至对 自变量求导为止. 解 (1)设 x y u v v u 1 = e , = sin , = ，利用复合函数求导法则，有 ) 1 ) e cos ( 1 (e ) (sin ) ( 2 x v x y v u u v x u = = − 代回还原得
dy=yur =ecos 在基本掌据复合函数求号法测后，也可以不马出中问变量，如下解法： i) 2)设y=h山，=x-√，v=x2+1,利用复合函数求导法则，有 y=(hxy-(vy(x2+1y】 11 0-22到 代回还原得 x-x+1 1 1 5)=-5本- 或着 =(x-V+l) x-+ 1- x-2+12W2+1 (x2+1m
3 ) 1 ( 1 e cos 2 1 sin x x y x = − dy = y dx x x x x )d 1 ( 1 e cos 2 1 sin = − 在基本掌握复合函数求导法则后，也可以不写出中间变量，如下解法： ) 1 ( 1 ) e cos 1 e (sin 1 sin 1 sin = = x x x y x x ) 1 ( 1 e cos 2 1 sin x x x = − dy = y dx x x x x )d 1 ( 1 e cos 2 1 sin = − (2)设 ln , , 1 2 y = u u = x − v v = x + ，利用复合函数求导法则，有 (ln ) [( ) ( ) ( 1) ] 2 u x v x y = u x − v x + 2 ) 2 1 (1 1 x u v = − 代回还原得 ) 1 (1 1 1 2 2 + − − + = x x x x y 1 1 2 + = − x 2 1 3 1 1 ( 3) = − + y = − 或着 ( 1) 1 1 2 2 − + − + = x x x x y ( 1) ] 2 1 1 [1 1 1 2 2 2 + + − − + = x x x x ] 2 1 2 [1 1 1 2 2 + − − + = x x x x 1 1 2 + = − x
(6设y一“.4一工，？一x2+1,利用复合通数求号法却和导的四运算法测有， y=(uX点=(wg-)=10w-2 2 代回还原得 器 或着 4i0 例3求下列方程所确定的隐函数的导数y'或微分少： (1)x2+y+y=0,求dy: (2)e”+yhx=c0s2r,求y' 分析隐居数的特点是：因变量y与自变量x的对应关系是隐藏在方程中的因此，在 求号数时，不要忘记y是x的通数，在对y的函数求号后切记再乘以y对x的导数y 依购函数求号数的步骤求导 解(1州方法川由导数得到微分 方程两边对自变量x求导，觇y为中问变量，有 2x+2y+(0y+)=0 即 (x+2yy'=-Uy+2x) 整理方程，解出y,得 4
4 2 1 3 1 1 ( 3) = − + y = − (3)设 , , 1 10 2 = = v = x + v x y u u ，利用复合函数求导法则和导数的四则运算法则有， 2 9 2 10 10 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 10 v v x x u v x v xv u v x y u x u u − = − = = 代回还原得 2 11 9 2 2 2 2 2 9 2 ( 1) 10 (1 ) ( 1) 1 2 ) 1 10( + − = + + − + = x x x x x x x x y 或着 2 2 2 9 2 2 9 2 ( 1) 1 2 ) 1 ) 10( 1 ) ( 1 10( + + − + = + + = x x x x x x x x x x y 2 11 9 2 2 2 2 2 9 2 ( 1) 10 (1 ) ( 1) 1 2 ) 1 10( + − = + + − + = x x x x x x x x 例 3 求下列方程所确定的隐函数的导数 y 或微分 dy ： (1) 0 2 2 x + y + xy = ，求 dy ； (2) y x x xy e + ln = cos 2 ，求 y . 分析 隐函数的特点是：因变量 y 与自变量 x 的对应关系是隐藏在方程中的.因此，在 求导数时，不要忘记 y 是 x 的函数，在对 y 的函数求导后切记再乘以 y 对 x 的导数 y . 依隐函数求导数的步骤求导. 解(1)[方法 1] 由导数得到微分. 方程两边对自变量 x 求导，视 y 为中间变量，有 2x + 2yy + ( y + xy ) = 0 即 (x + 2y) y = −( y + 2x) 整理方程，解出 y ，得
=-+2x x+2y 山=y=-y+2dk x+2y [方法引方程两边对变量求微分，这时变量y和x的地位是相同的，即不再将y看作x 的通数 dx2+y2+功=0 2d唐+2少+d+dy=0 (x+2y)dy =-(y+2x)dx dy--y+2I dx x+2y (2方程两边对自变量x求导，视y为中问变量，有 e心+)+y'nx+上-2s知2x 于是 (e”+nxy=-2sa2x-二-e 整理方程解出y',得 2sin 2x++)e" y=- 2xsn 2x+y+yxe x'e+xhx 例4求由线x2+y+y3=4在点M(2,-2)的切线方程 分析如果函数y=八x)可导，函数曲线在点x。处的切线方程为 y-%=f(xx-) 因此求曲线在某点处的切线方程，必须知道两点：①曲线在点x,处的导数(x,);②切点 (xa-a） 此题中，切点M(2,-2)已知，只需对怕函数方程求号数，求出'(x。). 解方程两边对x求导，得 5
5 x y y x y 2 2 + + = − dy = x x y y x y x d 2 2 d + + = − [方法 2] 方程两边对变量求微分，这时变量 y 和 x 的地位是相同的，即不再将 y 看作 x 的函数. d( ) 0 2 2 x + y + xy = 2xdx + 2ydy + ydx + xdy = 0 (x + 2y)dy = −( y + 2x)dx dy = x x y y x d 2 2 + + − (2)方程两边对自变量 x 求导，视 y 为中间变量，有 x x y y xy y x xy e ( + ) + ln + = −2sin 2 于是 xy xy y x y (xe + ln x) y = −2sin 2x − − e 整理方程解出 y ，得 x x x x x y yx x x y x y x y xy xy xy xy e ln 2 sin 2 e e ln 2sin 2 e 2 + + + = − + + + = − . 例 4 求由曲线 4 2 2 x + xy+ y = 在点 M (2,−2) 的切线方程. 分析 如果函数 y = f (x) 可导，函数曲线在点 0 x 处的切线方程为 ( )( ) 0 0 0 y − y = f x x − x 因此求曲线在某点处的切线方程，必须知道两点：①曲线在点 0 x 处的导数 ( ) 0 f x ；②切点 ( , ) 0 0 x y . 此题中，切点 M (2,−2) 已知，只需对隐函数方程求导数，求出 ( ) 0 f x . 解 方程两边对 x 求导，得
2x+y+'+2y=0 解出y,得y= 2x+y x+2y =- 于是，在点M(2.-2)的切赋方程为 y-(-2)=-1x(x-2) 即 y=x-4 请注意：求曲线的切歧方程是导数概念的一个重要应用，一般地，在题目中只给出切线 方程的两个要点中的一个，另一个是要根解已知条件求出来的两则，如果已知条件中只给 了切点的横坐标x。,那么纵坐标可以通过%■f(,)得到 例5求函数y=√xnx的二阶导数 分析函数的二阶导数为函数一阶导数的导数（如果仍然可导） 解因为y-,hx+G上. hx+) 2√x x√x2 所以少=-】xnx+0+,=-了 2x x
6 2x + y + xy + 2yy = 0 解出 y ，得 = + + = − x y x y y 2 2 1 2 2 = − =− = y y x 于是，在点 M (2,−2) 的切线方程为 y − (−2) = −1 (x − 2) 即 y = x − 4 请注意：求曲线的切线方程是导数概念的一个重要应用，一般地，在题目中只给出切线 方程的两个要点中的一个，另一个是要根据已知条件求出来的.再则，如果已知条件中只给 了切点的横坐标 0 x ，那么纵坐标 0 y 可以通过 ( ) 0 0 y = f x 得到. 例 5 求函数 y = x ln x 的二阶导数. 分析 函数的二阶导数为函数一阶导数的导数.(如果仍然可导). 解 因为 ln 1) 2 1 ( 1 1 ln 2 1 = + = x + x x x x x y 所以 x x x x y x x ln 4 1 1 2 1 ln 1) 2 1 ( 2 1 2 3 2 3 − − = − + + = −