21有理数 、背景知识 《有理数》选自浙江版《义务教育课程标准实验教科书·数学·七年级上 册》第一章《从自然数到有理数》中的第二节,这一章是开启整个初中阶段代数 学习的大门。《有理数》是本章的第二节。本节内容让学生在现实的情境中理解 负数的引入确实是实际生活的需要,感受到有理数应用的广泛性,是在小学学习 自然数和分数之后,数的概念的第一次扩充,是自然数和分数到有理数的衔接与 过渡,并且是以后学习数轴、绝对值及有理数运算的基础。 二、教学目标 1、知识目标:理解有理数产生的必然性、合理性;会判断一个数是正数还 是负数,能灵活运用正、负数表示生活中具有相反意义的量:会将有理 数从不同的角度进行分类。 2、过程与方法:利用学生身边熟悉的事物引入负数、学习有理数;运用有 理数表示现实生活问题中的量;让学生经历有理数概念的形成及运用过 程,领会分析、总结的方法。 3、情感与能力目标:通过提供适当的情境资料,吸引学生的注意力,激发 学生的学习兴趣;在合作讨论中学会交流与合作,启迪思维,提高创新 能力;通过实际问题的解决和从不同角度对有理数分类,可提高学生应 用数学能力和培养学生的分类思想。 教学重点、难点 重点:能应用正、负数表示具有相反意义的量和对有理数进行合理的分类。 难点:用有理数表示实际生活中的量 四、教学设计 (一)创设情境探求新知 如图表示某一天我国5个城市的最低气温 哈尔滨-20℃ 北京-10℃ 广州10℃ 上海0° 请同学们合作讨论下列问题: 1、-20℃、一10℃、5℃、0℃、10℃这几个量分别表示什么? 2、你还在哪些地方见到过用带有“一”号的数来表示某一种量,请讲出来 把学生讲出的较恰当的量写到黑板上,再引导学生把与之相对的量分别写在后 边,如:零下20℃一一零上10℃,降低5米一一升高8米,支出100元 收入500元。指出这样的量就是具有相反意义的量,并从以下方面加以理解。 (1)具有相反意义的量是:意义相反,与值无关。 (2)区分“意义相反”与“意义不同”。 反问学生:以上具有相反意义的量能用我们学过的自然数和分数表示出来 吗?
2.1 有理数 一、 背景知识 《有理数》选自浙江版《义务教育课程标准实验教科书·数学·七年级上 册》第一章《从自然数到有理数》中的第二节，这一章是开启整个初中阶段代数 学习的大门。《有理数》是本章的第二节。本节内容让学生在现实的情境中理解 负数的引入确实是实际生活的需要，感受到有理数应用的广泛性，是在小学学习 自然数和分数之后，数的概念的第一次扩充，是自然数和分数到有理数的衔接与 过渡，并且是以后学习数轴、绝对值及有理数运算的基础。 二、 教学目标 1、知识目标：理解有理数产生的必然性、合理性；会判断一个数是正数还 是负数，能灵活运用正、负数表示生活中具有相反意义的量；会将有理 数从不同的角度进行分类。 2、过程与方法：利用学生身边熟悉的事物引入负数、学习有理数；运用有 理数表示现实生活问题中的量；让学生经历有理数概念的形成及运用过 程，领会分析、总结的方法。 3、情感与能力目标：通过提供适当的情境资料，吸引学生的注意力，激发 学生的学习兴趣；在合作讨论中学会交流与合作，启迪思维，提高创新 能力；通过实际问题的解决和从不同角度对有理数分类，可提高学生应 用数学能力和培养学生的分类思想。 三、 教学重点、难点 重点：能应用正、负数表示具有相反意义的量和对有理数进行合理的分类。 难点：用有理数表示实际生活中的量。 四、 教学设计 （一）创设情境 探求新知 如图表示某一天我国 5 个城市的最低气温。 请同学们合作讨论下列问题： 1、 －20℃、－10℃、5℃、0℃、10℃ 这几个量分别表示什么？ 2、 你还在哪些地方见到过用带有“－”号的数来表示某一种量，请讲出来。 把学生讲出的较恰当的量写到黑板上，再引导学生把与之相对的量分别写在后 边，如：零下 20℃——零上 10℃， 降低 5 米——升高 8 米， 支出 100 元—— 收入 500 元。指出这样的量就是具有相反意义的量，并从以下方面加以理解。 （1） 具有相反意义的量是：意义相反，与值无关。 （2） 区分“意义相反”与“意义不同”。 反问学生：以上具有相反意义的量能用我们学过的自然数和分数表示出来 吗？
显然是不能的。为了解决这样的实际问题,我们需要引进一种新的数一一负数。 我们把一种意义的量(如零上)规定为正,用学过的数(零除外)来表示,这样 的数叫做正数,正数前面可以放上正号“+”来表示(常省略不写),;把另一种 与之意义相反的量规定负,用学过的数(零除外)前面放上负号“一”来表示 这样的数叫做负数(负号不能省略)。 如:“+2”读做“正2”、“一3.3”读做“负3.3”等。 这样我们学过的数中又增加了新的数一一负整数和负分数;相应地我们学过的自 然数和分数分别称为正整数和正分数 (二)运用新知体验成功 填空: 1)规定盈利为正,某公司去年亏损了2.5万元,记做 万元,今 年盈利了3.2万元,记做 万元 2)规定海平面以上的海拔高度为正,新疆乌鲁木齐市高于海平面918米, 记做海拔米;吐鲁番盆地最低处低于海平面155米,记做海拔 米 3)汽车在一条南北走向的高速公路上行驶,规定向北行驶的路程为正。汽 车向北行驶75km,记做 km(或 km),汽车向南行驶100km,记做 4)下降-5米记做-5米,则上升10米记做米 5)如果向银行存入50元记为50元,那么-30.50元表示 6)规定增加的百分比为正,增加25%记做 12%表示 利用第3)题说明在表示具有相反意义的量时,把哪一种意义的量规定为正, 是相对的.例如我们可以把向南100米记做+100km,那么向北记做-75km.但习惯 上,人们常把上升、运进、零上、增加、收入等规定为正。 (请同学独立完成,然后同桌同学相互评价。) (三)师生互动,继续探究 (合作学习)读一读这些数0,880,-2000,+123,-233,-2.5,+3.2,+918, 155,+75,-100, +10,25%,-12%,请根据你认定的数的特征进行 2 分类,并说出分类的特征 让学生四人小组合作讨论完成。 估计可能出现的正确结论有: 正数880,+123,+3,2,+918,+75,+10,+25% 负数-2000-233,-2.5,-155-100,-5,-12
显然是不能的。为了解决这样的实际问题，我们需要引进一种新的数——负数。 我们把一种意义的量（如零上）规定为正，用学过的数（零除外）来表示，这样 的数叫做正数，正数前面可以放上正号“＋”来表示（常省略不写），；把另一种 与之意义相反的量规定负，用学过的数（零除外）前面放上负号“－”来表示， 这样的数叫做负数（负号不能省略）。 如：“＋2”读做“正 2”、“－3.3”读做“负 3.3”等。 这样我们学过的数中又增加了新的数——负整数和负分数；相应地我们学过的自 然数和分数分别称为正整数和正分数。 （二）运用新知 体验成功 填空： 1）规定盈利为正，某公司去年亏损了 2.5 万元，记做__________万元，今 年盈利了 3.2 万元，记做__________万元； 2）规定海平面以上的海拔高度为正，新疆乌鲁木齐市高于海平面 918 米， 记做海拔__________米；吐鲁番盆地最低处低于海平面 155 米，记做海拔 __________米； 3）汽车在一条南北走向的高速公路上行驶，规定向北行驶的路程为正。汽 车向北行驶 75km，记做________km（或_______km），汽车向南行驶 100km，记做 ________km； 4）下降 1 5 3 − 米记做 1 5 3 − 米，则上升 1 10 2 米记做__________米； 5）如果向银行存入 50 元记为 50 元，那么-30.50 元表示__________； 6）规定增加的百分比为正，增加 25% 记 做 __________ ， -12% 表 示 __________. 利用第 3）题说明在表示具有相反意义的量时，把哪一种意义的量规定为正， 是相对的.例如我们可以把向南 100 米记做+100km，那么向北记做-75km.但习惯 上，人们常把上升、运进、零上、增加、收入等规定为正。 (请同学独立完成，然后同桌同学相互评价。) （三） 师生互动，继续探究 （合作学习）读一读这些数 0，880，-2000，+123，-233，-2.5，+3.2，+918， -155，+75，-100， 1 5 3 − ， 1 10 2 + ，25%，-12%，请根据你认定的数的特征进行 分类，并说出分类的特征。 让学生四人小组合作讨论完成。 估计可能出现的正确结论有： 1 880, 123, 3.2, 918, 75, 10 , 25%, 2 0 1 2000, 233, 2.5, 155, 100, 5 , 12% 3 + + + + + + − − − − − − − 正数 零 负数 ；
正整数880,+123,+918,+75, 正分数+3.2,+10-,+25% 零0 负整数-2000-233-155,-100, 负分数-25 整数880,+123,+918,+75,0,-2000,-233,-155,-100 分数+32,+10,+25%-2.5,-5,-12% 正整数880.+123.+918+75 零 负整数-2000,-233,-155,-100, 正分数+3.2,+10-,+25% 负分数-25,-5,-12% 对于较为正确的分类,并能说出特征的都将给予肯定,重视个体差异,体 现多元评价的思想,发挥评价的激励作用,保护学生的自尊心,增强学生的自信 心.然后教师给出规范的分类 正整数、零和负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统 称有理数。 正整数 正有理数{正整数 整数零自然数 正分数 有理数 负整数 有理数 零 分数{正分数 负有理数负整数 负分数 负分数 说明:①分类的标准不同,结果也不同;②分类的结果应无遗漏、无重复; ③零是整数,零既不是正数,也不是负数 (四)分层练习,巩固提高 为了使学生实现从掌握知识到运用知识的转化,使知识教育与能力培养结 合起来,设计分层练习。 例下列给出的各数,哪些是正数?哪些是负数?哪些是整数?哪些是分 数?哪些是有理数? ,0.33 5 练习1判断表中各数属于什么数,在相应的空格内打“√ 正整数整数分数「正数负数「有理数
880, 123, 918, 75, 1 3.2, 10 , 25%, 2 0 2000, 233, 155, 100, 1 2.5, 5 , 12% 3 + + + + + + − − − − − − − 正整数 正分数 零 负整数 负分数 880, 123, 918, 75,0 2000, 233, 155, 100, 1 1 3.2, 10 , 25%, 2.5, 5 , 12% 2 3 + + + − − − − + + + − − − 整数 ， 分数 ； 880, 123, 918, 75, 0 2000, 233, 155, 100, 1 3.2, 10 , 25%, 2 1 2.5, 5 , 12% 3 + + + − − − − + + + − − − 正整数 零 负整数 正分数 负分数 对于较为正确的分类，并能说出特征的都将给予肯定，重视个体差异，体 现多元评价的思想，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心，增强学生的自信 心.然后教师给出规范的分类： 正整数、零和负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统 称有理数。 正整数 整数 零 自然数 有理数 负整数 正分数 分数 负分数 正整数 正有理数 正分数 有理数 零 负整数 负有理数 负分数 说明：①分类的标准不同，结果也不同；②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，零既不是正数，也不是负数. （四） 分层练习，巩固提高 为了使学生实现从掌握知识到运用知识的转化，使知识教育与能力培养结 合起来，设计分层练习。 例 下列给出的各数，哪些是正数？哪些是负数？哪些是整数？哪些是分 数？哪些是有理数？ -8.4， 22， 17 + 6 ，0.33， 3 - 5 ， -9. 练习 1 判断表中各数属于什么数，在相应的空格内打“√” . 正整数 整数 分数 正数 负数 有理数
2003 √ √ -4.9 0 -12 探究活动: 练习2如图,两个圈内分别表示所有正数组成的正数集合和所有整数组成 的整数集合.请写出3个分别满足下列条件的数 正数集合 整数集合 1)属于正数集合,但不属于整数集合的数; 2)属于整数集合,但不属于正数集合的数; 3)既属于正数集合,又属于整数集合的数 将它们分别填入图中适当的位置.你能说出这两个圈的重叠部分表示什么 数的集合吗? 通过多角度的练习,并对典型错误进行讨论与矫正,使学生巩固所学内容, 同时完成对新知的迁移。 (五)概括梳理,形成系统 采取师生互动的形式完成。即: 学生谈本节课的收获,教师适当的补充、概括,以本节知识目标的要求进 行把关,确保基础知识的当堂落实。 (六)布置作业 1、课后作业 2、设计题可根据自己的喜好和学有余利的同学完成
2003 √ √ √ √ 4 3 -4.9 0 -12 探究活动： 练习 2 如图，两个圈内分别表示所有正数组成的正数集合和所有整数组成 的整数集合.请写出 3 个分别满足下列条件的数： 正数集合 整数集合 1）属于正数集合，但不属于整数集合的数； 2）属于整数集合，但不属于正数集合的数； 3）既属于正数集合，又属于整数集合的数. 将它们分别填入图中适当的位置.你能说出这两个圈的重叠部分表示什么 数的集合吗？ 通过多角度的练习，并对典型错误进行讨论与矫正，使学生巩固所学内容， 同时完成对新知的迁移。 （五）概括梳理，形成系统 采取师生互动的形式完成。即： 学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目标的要求进 行把关，确保基础知识的当堂落实。 （六）布置作业 1、课后作业 2、设计题可根据自己的喜好和学有余利的同学完成