第4章动量和角动量 §4.1动量定理动量守恒定律 §4.2质心质心运动定理 §4.3碰撞问题 §4.4火箭飞行基本原理 §4.5质点的角动量角动量守恒定律 §4.6质点系的角动量
第 4 章 动量和角动量 §4.1 动量定理 动量守恒定律 §4.2 质心 质心运动定理 §4.3 碰撞问题 §4.5 质点的角动量 角动量守恒定律 §4.4 火箭飞行基本原理 §4.6 质点系的角动量
§4.5质点的角动量角动量守恒定律 一、角动量（动量矩） 由于动量p=m币 不能描述转动问题。 引入质点相对于参考点0 ∑元=0，∑-2mw 的角动量： i≡F×p=f×md 大小：L=rmy sin0
一、角动量（动量矩） vmrprL r r r r r ×=×≡ 大小： = rmvL sin θ L r r r vm r θ O §4.5 质点的角动量 角动量守恒定律 引入质点相对于参考点 O 的角动量： ∑ = ,0 i p i r vmpr r 由于动量 = 不能描述转动问题。 O m mr r v r v r rmvL i i ∑ = 2 r
i≡F×p=产×m时 分量式： L ymv:-zmvy Ly zmVx -xmv: L.=xmvy-ymvx Lx,L,L.即质点相对于三个坐标轴的角动量
分量式： z y x y x z x z y ymvxmvL xmvzmvL zmvymvL −= −= = − ,, LLL zyx 即质点相对于三个坐标轴的角动量。 vmrprL r r r r r ×=×≡
二、质点角动量定理 由F= d(mi) dt →F×P=产xd(m di =0 dI d(下×m) d(m)d拉 Xmv dt dt dt =Tx d(mv) =元× dt M 合力对参考点O的力矩： M=产×京 d M=Fd=Frsin0
t vm F d )(d r r = t vm rFr d )(d r r r r ×=×⇒ 合力对参考点O的力矩： 二、质点角动量定理 = = FrFdM sinθ vm t r t vm r t vmr t L r r r r r r r Q ×+×= × = d d d )(d d )(d d d 由 t vm r d )(d r r ×= Fr r r = × =0 F r r r θ d M r M Fr O r r r = ×
M= dt 质点的角动量定理：质点对某固定参考点的角动量的变 化率等于质点所受合力对同一参考点的力矩。 >角动量定理是描述质点转动的动力学方程 Mdt dL (微分形式) Ndr=d=I- (积分形式) ∫Mdt称合力矩在。→1时间内的角冲量或冲量矩
质点的角动量定理：质点对某固定参考点的角动量的变 化率等于质点所受合力对同一参考点的力矩。 t L M d d r r = LtM r r = dd ∫ ∫ −== tt LL LLLtM0 0 dd 0 r r r r r r ¾ 角动量定理是描述质点转动的动力学方程 (微分形式) (积分形式) ∫ tt tM0 d r 称合力矩在 时间内的 0 → tt 角冲量或冲量矩
三、质点角动量守恒定律 M- d dt 若M=0,则 E-0,i=乙，恒矢 各分量具有独立性： Mx=0时，Lx=C1 My=0时，Ly=C2 M,=0时，L=C3
三、质点角动量守恒定律 各分量具有独立性： t L M d d r r = 0 0 d d LL t L rr r M = 0 ， ， == r 若 则 (恒矢量 ) M x = 0 时， x = CL 1 M y = 0 时， y = CL 2 M z = 0 时， z = CL 3
>在中心力场中，相对于力心的角动量守 dr L=mvrsina=m rsina dt dr dS =2m dt dt >开普勒第二定律— 面积定律 ds Lo (常量) dt 2m
= mvrL sinα ¾ 开普勒第二定律——面积定律 ¾ 在中心力场中，相对于力心的角动量守恒 m α L r rv rr d r r m L t S 2d d 0 = (常量) sinα d d r t r m r = t rr m d sind 2 1 2 α r = t S m d d = 2
[例4-12】发射宇宙飞船去考察一质量为m1、半径为R的行 星，当飞船静止于距行星中心4R处时，以速度'发射 一 质量为m(m,远小于飞船质量)的仪器，要使仪器恰好掠着 行星的表面着陆，8角应是多少？着陆滑行初速度y多大？ 解：有心力场中，运用角 动量守恒和(m1,m2)系 统机械能守恒定律： 6 mzvoro sine m,vR To=4R 1 2_Gm,%2=1 Gm m 2 R 6=4R 3Gm v-vo(1+ Gm) 2RVo 2RVo
002 sin θ = 2vRmrvm 4Rr0 = R mGm vm r mGm vm 2 21 2 0 2 21 02 2 1 2 1 −=− 2 1 2 0 1 ) 2 3 1( 4 1 sin Rv Gm θ +=⇒ 2 1 2 0 1 0 ) 2 3 1( Rv Gm vv += 解： θ 0 v r v r R o m 2 4Rr m 1 0 = [ 例4-12] 发射宇宙飞船去考察一质量为 m 1、半径为 R 的行 星，当飞船静止于距行星中心 4R 处时，以速度 发射一 质量为 m2 ( m 2远小于飞船质量 )的仪器, 要使仪器恰好掠着 行星的表面着陆， θ 角应是多少? 着陆滑行初速度 v 多大 ? 0 v r 有心力场中, 运用角 动量守恒和 ( m 1 , m 2 ) 系 统机械能守恒定律：
[例4-131将一质点沿一个半径为r的光滑半球形碗的内面 水平地投射，碗保持静止，如图，设'是质点恰好能达到 碗口所需的初速率.(1)试说明质点为什么能到达碗口？(2) 求，与的关系。(，是质点的初始角位置) 解：(1)当Ncos0>mg时，质点将 向上加速，向碗口运动。 (2)M≠0质点的角动量不守恒。 但M=O,则L,为常量，且系统的机械能守恒。 g mvorsine mvr 2gr 号m-mgrcos,=)m cos0 END
[例4-13] 将一质点沿一个半径为 r 的光滑半球形碗的内面 水平地投射, 碗保持静止, 如图, 设 v0 是质点恰好能达到 碗口所需的初速率. (1) 试说明质点为什么能到达碗口? (2) 求 v0 与 θ0 的关系。 (θ0 是质点的初始角位置) 解：(1) 当 Ncos θ > mg 时，质点将 向上加速，向碗口运动。 但 Mz=0，则 Lz为常量，且系统的机械能守恒。 (2) M ≠ 0 r 质点的角动量不守恒。 rmv = mvr 00 sinθ 2 0 2 0 2 1 cos 2 1 − mgrmv θ = mv 0 0 cos 2 θ gr v =⇒ θ z N r gm r 0 v r END
