第5章刚体力学基出 §5.1刚体运动的描述 §5.2刚体的定轴转动定理 §5.3刚体的转动惯量 §5.4刚体定轴转动的角动量守恒定律 §5.5刚体定轴转动的功能原理 §5.6回转仪进动 §5.7刚体的平面运动
第 5 章 刚体力学基础 §5.1 刚体运动的描述 §5.2 刚体的定轴转动定理 §5.3 刚体的转动惯量 §5.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律 §5.5 刚体定轴转动的功能原理 §5.6 回转仪 进动 §5.7 刚体的平面运动
§5.3刚体的转动惯量 一、刚体的转动惯量及其计算 定义： J=∑Am,r 单位(SI):kgm2 1.刚体由分立的质点组成时：J=∑m, 2.刚体为质量连续体时： J=∫r2dm >转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体的形 状、大小、质量分布以及转轴的位置有关
定义： ∑Δ≡ i iirmJ 2 1. 刚体由分立的质点组成时： = ∑ i iirmJ 2 ∫ = dmrJ 2 2. 刚体为质量连续体时： 单位( SI )： 2 ⋅mkg ¾ 转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体的形 状、大小、质量分布以及转轴的位置有关。 一、刚体的转动惯量及其计算 §5.3 刚体的转动惯量
[例5-4求均质细棒(m,)的转动惯量： ()转轴通过中心与棒垂直， J=Jridm (2)转轴通过棒的一端与棒垂直。 m 解：(1)dm=- m dx dm J=∫x2dm dx dx= -ml2 1 dm 2J=「 dx >可见，转动惯量因转轴位置而变，故必须指明 是关于某轴的转动惯量
[ 例5-4] 求均质细棒( m ， l ) 的转动惯量： (1) 转轴通过中心与棒垂直， (2) 转轴通过棒的一端与棒垂直。 解： x l m m = dd ∫ = dmxJ 2 2 2 12 1 d 2 2 mlxx l l m l = = ∫− ∫ = = l mlxx l m J 0 2 2 3 1 d (1) ∫ = dmrJ 2 (2) ¾ 可见，转动惯量因转轴位置而变，故必须指明 是关于某轴的转动惯量 。 O x O dx x d m dx d m
[例5-5求质量m半径R的(1)均质圆环，(2)均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。 解： m ()圆环：dm= Rd0 2元R dm J=∫rdm "(Rsin)m Rde 2元R mR- 2元 2 sin20de=mR2 2
[例5-5] 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。 解： dθ 2π d R R m m = ∫ = dmrJ 2 ∫ = ⋅ 2π 0 2 d 2π θ )sin( R θ Rm R 2 2 1 = mR (1) 圆环： dsin θθ 2π 2π 0 2 2 ∫ = mR θ dm
(2)圆盘：dm= 02p J-SdJ-JSpidm dm 1 mR2 >可见，转动惯量与刚体的质量分布有关
2 4 1 = mR o ρ dm (2) 圆盘： 2π dρρ π d 2 Rm m = ∫∫ JJ == dm 21 d 2 ρ ¾ 可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。 ∫ = R Rm 0 2 2 2π d 2 π 1 ρρρ
二、平行轴定理 刚体对任一转轴的转动惯量J等于对通过质心的平行 转轴的转动惯量J、加上刚体质量乘以两平行转轴 间距离d的平方。 J=J+md2 证明： J=∑Amr。2=∑Am,%·君 =∑Am,(-d医-d) ∑Am+md2-2d(∑AmA=J+md mr=0
刚体对任一转轴的转动惯量 J 等于对通过质心的平行 转轴的转动惯量 Jc加上刚体质量 m 乘以两平行转轴 间距离 d 的平方。 2 c += mdJJ ∑Δ= ′ ∑Δ= ′ ⋅ ′ 2 ioioi i ioi rrmrmJ r r ∑ ( ) ( −⋅−Δ= ) i ii i drdrm r r r r c c ∑ ∑Δ⋅−+Δ= i ii i ii rmdmdrm c 2 2 c 2 r r 证明： rm c = 0 r 二、平行轴定理 c o Jc J d io r ′ i c r Δ mi 2 c += mdJ
[例5-6]计算挂钟摆锤对O轴的转动惯量。 解： J=J+J2 m J1=m,12 m,R J,Je+md-mR+ma(l+RY -mmw+R
[例5-6] 计算挂钟摆锤对O轴的转动惯量。 m l 1 O m R2 ( )2 2 2 2 2 1 21 31 +++= RlmRmlmJ 21 = + JJJ 2 1 1 3 1 = lmJ 2 c2 += mdJJ 解： ( )2 2 2 2 21 ++= RlmRm
[例5-7]设一薄板，已知对板面内两垂直轴的转动惯量分 别为J、J,计算板对z轴的转动惯量J, 解：J.=∑△m月 =∑Am,x+y） =J+J. 称垂直轴定理（适用于薄板）。 如圆盘(m、R)对过圆心的垂直轴的转动惯量： 1 +mR牛-mRh 4 2
[例5-7] 设一薄板，已知对板面内两垂直轴的转动惯量分 别为Jx、Jy，计算板对z 轴的转动惯量Jz。 O x y ∑Δ= z i z iirmJ 2 xy JJ 解： = + 称垂直轴定理 (适用于薄板)。 如圆盘(m、R)对过圆心的垂直轴的转动惯量： yx = + JJJ yi xi r ri Δmi ∑ ( +Δ= ) i iii yxm 22 2 2 2 2 1 4 1 4 1 =+= mRmRmR
[例5-8]质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一 根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。求(1)由 静止开始1秒钟后，物体下降的距离。(2)绳子的张力。 解： mg -T=ma a TR = MR2.. 2 R mg 8×10 a= (ms2)=5ms2 m+M/2 8+8 r2-x5x灯'm)=25n mg T= ×16x5(N)=40N
[例5-8] 质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一 根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为 m 的物体。求(1)由 静止开始1秒钟后，物体下降的距离。(2)绳子的张力。 解： mg −T = ma R a MRTR ⋅= 2 2 1 2 2 sm5)sm( 88 108 2 − − ⋅=⋅ +× = + = Mm mg a m5.2m)(15 21 21 2 2 ath =××== N40N)(516 21 T =××= M m T r gm r
[例5-]一质量为m，长为1的均质细杆，转轴在0点， 距A端3。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动， 求(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置时的角 速度和角加速度。 解：J=J.+md2 mg -mP (1) =0 Mmgl/6 3g 方向：⑧ J 21
[例5-9] 一质量为m ，长为 l 的均质细杆，转轴在O点， 距A端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动， 求(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置时的角 速度和角加速度。 解： 2 c += mdJJ 2 2 2 9 1 12 6 1 ml l mmlJ ⎟ = ⎠⎞ ⎜⎝⎛ += (1) ω0 = 0 l g ml mgl J M 2 3 9 6 2 α === 方向： ⊗ c O A B gm r