第3章 机械能和功 §3.1功质点动能定理 §3.2保守力非保守力耗散力 §3.3质点在保守力场中的势能 §3.4质点系的势能 §3.5功能原理 能量守恒定律
第 3 章 机械能和功 §3.1 功 质点动能定理 §3.2 保守力 非保守力 耗散力 §3.3 质点在保守力场中的势能 §3.4 质点系的势能 §3.5 功能原理 能量守恒定律
§3.2保守力非保守力耗散力 一、力场 一般地，F=F(行，，) 当质点所受的力仅与位置有关时，即 F=F(), 代表质点受力的空间分布，称为力场。 ↓↓↓↓ ↓↓↓↓ 力矢在空间的分布形象反映了力场。 ↓↓↓↓ ↓↓↓
一、力场 vtrFF ),,(r r r r = x y §3.2 保守力 非保守力 耗散力 力矢在空间的分布形象反映了力场。 x y z r r rF )(r r m o 一般地， rFF ),(r r r = 当质点所受的力仅与位置有关时， 即 代表质点受力的空间分布，称为力场
二、几种常见力的功 m 1.重力的功 dA=mg·df ng=-ng欧dF=dxi+dzk 0 dA=-mgk.(dxi+dzk)=-mgdz dz 4=-mg"d==mgz mgz2 重力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与所 经过的路径无关
二、几种常见力的功 1. 重力的功 rgmA r r = ⋅dd kmggm r r −= kzixr r r r += ddd d kzixkmgA )dd( r r r +⋅−= 1 2 2 1 d mgzmgzzmgA z z −=−= ∫ ¾ 重力作功只与质点的起始和终了位置有关， 而与所 经过的路径无关 。 r v d d z dx z r r d θ gm r z 1 z2 a b m O x = − dzmg
2.万有引力的功 设质量为M的质点固定，另一质量为m的质点在M的引 力场中从a点运动到b点。 Mm F=-G A-d r+dr 7.d=rdcosa rdr >万有引力的功仅由物体的始末位置决定，而与路径无关
2. 万有引力的功 设质量为M的质点固定，另一质量为m的质点在M的引 力场中从a点运动到b点。 r r Mm GF r r 3 −= ∫ ⋅−= b a r r rr r Mm GA rr d 3 =⋅ α = dcosdd rrrrrrr r r ) 11( d2 ba r r rr GMm r r GMmA b a −= −−= ∫ dr rr r r + d r r α d ¾ 万有引力的功仅由物体的始末位置决定，而与路径无关。 rb ra a b M m r r F v
3.弹性力的功 0000355 F=-kxi t,J =dexdx kordz A- >弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而 与质点运动的路径无关
3. 弹性力的功 ikxF r r −= ∫ ∫ ⋅−=⋅= 21 d d xx ixikxxFA r r r r 2 2 2 1 2 1 2 1 −= kxkxA ¾ 弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而 与质点运动的路径无关。 x m x2 x1 O a b x F r ∫ −= 21 d xx xkx
4. 回旋力的功 回旋力：F=bre。 e。：为横向单位矢量 A="F.dF="Breo.dr 路径1：圆弧ab ds rde A="prFBrido=prios 路径2：a→O→bA=0(.e。⊥dF) >回旋力做功与路径有关！
a b θ 0 O r 4. 回旋力的功 β θ erF r r = F r F r O θ e r ：为横向单位矢量 ∫ ∫ ⋅=⋅= ba ba rerrFA r r r r d d β θ ∫ = ba rrA r β d 路径1： 圆弧ab →→ bOa A= 0 re )d( r r Q θ ⊥ ¾ 回旋力做功与路径有关！ = = rs dd θ 路径2： 回旋力： θ e r r r d r r d ∫ = = 0 0 0 2 2 d θ rr θβθβ
5.摩擦力的功 F:=-umge a→b A=心F.d=-mge,d ["mguds =-F;Sab >摩擦力做功与路径有关！
5. 摩擦力的功 f t emgF r r −= μ ∫∫ ⋅−=⋅= ba ba remgrFA r r r r d f μ t d → ba a b t e r ¾ 摩擦力做功与路径有关！ Ff r ab b a d −=−= f SFsmg ∫ μ
三、保守力非保守力和耗散力 保守力：作功与路径无关，只与始末位置有关的力。 如：重力，引力，弹性力等。 >保守力沿任何闭合路径作功等于零。 非保守力：作功不仅与始末位置有关，还与路径有关的。 如：摩擦力，回旋力等。 而（一对）摩擦力作功始终是负的，又称为耗散力
三、保守力 非保守力 和耗散力 a c b d 保守力：作功与路径无关，只与始末位置有关的力。 ¾ 保守力沿任何闭合路径作功等于零。 非保守力：作功不仅与始末位置有关，还与路径有关的。 如：重力，引力，弹性力等。 如：摩擦力，回旋力等。 而 (一对 )摩擦力作功始终是 负的，又称为耗散力
判据 fF.d=0 F是保守力。 0 F是非保守力。(<0，则为耗散力) 任意闭 合路衔 有心力： F=f(r)e, 如： M 力F=二G元 静电力户=k99于 有心力一定是保守力
有心力： r erfF r r = )( ¾ 有心力一定是保守力。 判据 如： 引力 r r Mm GF r r 3 −= 静电力 r r qq kF r r 3 21 = 是非保守力。(<0， 则为耗散力 ) 是保守力。 ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = ⋅ ∫ 0 0 drF v v ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = ⋅ ∫ 0 0 drF v v F r F r 任意闭 合路径
[例3-5已知F=2yi+4x2j,C点坐标为(2,1)。求： (1)F的功 a.沿路径OAC b.沿路径OBC C(2,1) c.沿路径OC B (2)F是否为保守力？ 解：④A=∫F.ds=∫(Fdx+F,dy) Aoac=∫(2dr+4x2dy)+∫(2dx+4x2dy)） OA AC =2dx+4xd=16()
解： yFxFsFA )dd(d ∫∫ x +=⋅= y r r ∫ ∫ +++= OA AC OAC yxxyyxxyA )d4d2()d4d2( 2 2 [例3-5] 已知 , C点坐标为(2，1)。 求： (1) 的功 a. 沿路径 OAC b. 沿路径 OBC c. 沿路径 OC jxiyF )J(16d4d2 1 0 2 2 0 =+= ∫∫ yxxy r r r2 += 42 F r F r (2) 是否为保守力? (1) x O A B C(2, 1) y
