专题12一次函数及其应用 r解读考点 名师点晴 1.一次函数 会判断一个函数是否为一次函数 次函 数与正2正比例函数 知道正比例函数是特殊的一次函数 比例函 数 次函数的图象 知道一次函数的图象是一条直线 次函数的性质 会准确判断k的正负、函数增减性和图象经过的象限 一次函数与一元一次方程、二 次方程组、一元一次不等式会用数形结合思想解决此类问题 次函划(组)的联系 的应用 次函数图象的应用 能根据图象信息,解决相应的实际问题。 次函数的综合应用 能解决与方程(组)的相关实际问题。 r2年中考 【2015年题组】 1.(2015宿迁)在平面直角坐标系中,若直线y=kx+b过第一、三、四象限,则直线 v= bx+k 不经过的象限是() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】C 【解析】 试题分析:由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限,∴k>0,b<0,∴直线 y=bx+k经过第一、二、四象限,∴直线y=bx+k不经过第三象限,故选C 考点:一次函数图象与系数的关系 2.(2015桂林)如图,直线y=kx+b与y轴交于点(0,3)、与x轴交于点(a,0),当a 满足-3≤a<0时,k的取值范围是()
专题 12 一次函数及其应用 ☞解读考点 知 识 点 名师点晴 一次函 数与正 比例函 数 1.一次函数 会判断一个函数是否为一次函数。 2.正比例函数 知道正比例函数是特殊的一次函数。 3.一次函数的图象 知道一次函数的图象是一条直线。 4.一次函数的性质 会准确判断 k 的正负、函数增减性和图象经过的象限。 一次函数 的应用 5.一次函数与一元一次方程、二元 一次方程组、一元一次不等式 （组）的联系 会用数形结合思想解决此类问题。 6.一次函数图象的应用 能根据图象信息，解决相应的实际问题。 7.一次函数的综合应用 能解决与方程（组）的相关实际问题。 ☞2 年中考 【2015 年题组】 1．（2015 宿迁）在平面直角坐标系中，若直线 y = kx + b 经过第一、三、四象限，则直线 y = bx + k 不经过的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C． 【解析】 试题分析：由一次函数 y = kx + b 的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴直线 y = bx + k 经过第一、二、四象限，∴直线 y = bx + k 不经过第三象限，故选 C． 考点：一次函数图象与系数的关系． 2．（2015 桂林）如图，直线 y kx b = + 与 y 轴交于点（0，3）、与 x 轴交于点（a，0），当 a 满足 − 3 0 a 时，k 的取值范围是（ ）
A.-1≤k<0B.1≤k≤3C.k≥1D.k≥3 【答案】C 【解析】 试题分析:把点(0,3)(a,0)代入y=k+b,得=3.则a_3.:-3≤a<0,…-3≤-1<0 解得:≥1.故选C 考点:1.一次函数与一元一次不等式:2.综合题 3.(2015贺州)已知k<0<k,则函数x和y=k2x-1的图象大致是( B 【答案】C 【解析】 试题分析:∵<0<k,b=-1<0,:直线过一、三、四象限:双曲线位于二 选C 考点:1.反比例函数的图象:2.一次函数的图象 4.(2015南通)在20km越野赛中,甲乙两选手的行程y(单位:km)随时间x(单位:h) 变化的图象如图所示,根据图中提供的信息,有下列说法:①两人相遇前,甲的速度小于乙 的速度:②出发后1小时,两人行程均为10km:③出发后15小时,甲的行程比乙多3km: ④甲比乙先到达终点.其中正确的有() 005
A． − 1 0 k B．1 3 k C． k 1 D．k 3 【答案】C． 考点：1．一次函数与一元一次不等式；2．综合题． 3．（2015 贺州）已知 1 2 k k 0 ，则函数 1 k y x = 和 2 y k x = −1 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】 试题分析：∵ 1 2 k k 0 ，b=﹣1＜0，∴直线过一、三、四象限；双曲线位于二、四象限．故 选 C． 考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象． 4．（2015 南通）在 20km 越野赛中，甲乙两选手的行程 y（单位：km）随时间 x（单位：h） 变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙 的速度；②出发后 1 小时，两人行程均为 10km；③出发后 1.5 小时，甲的行程比乙多 3km； ④甲比乙先到达终点．其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】 试题分析:由图可得,甲的速度=10A,乙的速度出发到15,1=8÷05=16,0.5到1,速度为:(10 8)÷(1-0.5)=4,故①错误; 由图可得,两人在1小时时相遇,行程均为10,故②正确; 出发15小时之后,甲的路程为15千米,乙的路程为12千米,甲的行程比乙多3,故③正确; 甲比乙先到达终点,故④正确.正确的有三个,故选C 考点:一次函数的应用 5.(2015连云港)如图是本地区一种产品30天的销售图象,图①是产品日销售量y(单位 件)与时间t(单位;天)的函数关系,图②是一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t (单位:天)的函数关系,已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润,下列结论错 误的是() y(件 z(元外 2430t天)O 2030t(天) A.第24天的销售量为200件 B.第10天销售一件产品的利润是15 兀 C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等D.第30天的日销售利润是750元 【答案】C
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C． 考点：一次函数的应用． 5．（2015 连云港）如图是本地区一种产品 30 天的销售图象，图①是产品日销售量 y（单位： 件）与时间 t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润 z（单位：元）与时间 t （单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错 误的是（ ） A．第 24 天的销售量为 200 件 B．第 10 天销售一件产品的利润是 15 元 C．第 12 天与第 30 天这两天的日销售利润相等 D．第 30 天的日销售利润是 750 元 【答案】C．
【解析】 试题分析:A.根据图①可得第24天的销售量为200件,故正确 B.设当0≤1≤20,一件产品的销售种润闰z(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系为z=k-b,把(0, 25),(20,5)代入得: 20k+b=5 解得: ∴=-x-25,当x=10时,=-10-25=15,故正确 C.当0≤≤4时,设产品日销售量y(单位:件)与时间t(单位;天)的函数关系为y=m-,把(0,100), (24,200)代入得: 解:m=25 t+100,当r=12时,y=150,2=-12-25=13, 24m+n=200 第12天的日销售利润为;150×13=1950(元),第30天的日销售利润为;150×5=750(元),750=1950, 故C错误; D.第30天的日销售利润为;150×5=750(元),故正确 故选C 考点: 次函数的应用:2.综合题 6.(2015德阳)如图,在一次函数y=-x+6的图象上取一点P,作PA⊥x轴于点A,PB ⊥y轴于点B,且矩形PBOA的面积为5,则在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有 B 1个 B.2个 3个D.4个 【答案】C 解析】 试题分析:①当0<x<6时,设点P(x,-x-6),矩形PBOA的面积为5,∴x(-x-6)=5,化简x2-6x+5=0, 解得x=1,x2=5,∴P1(1,5),P2(5,1),②当x0时,设点P(x,-x-6),∴矩形PBO4的面积 为5,∴-x(-x-6)=,化简x2-6x-5=0,解得x=3-√4,x2=3+√14(舍去),∴P(3-√14, 3+√14),∴在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有3个.故选C 考点:1.一次函数图象上点的坐标特征:2.分类讨论
考点：1．一次函数的应用；2．综合题． 6．（2015 德阳）如图，在一次函数 y x = − + 6 的图象上取一点 P，作 PA⊥x 轴于点 A，PB ⊥y 轴于点 B，且矩形 PBOA 的面积为 5，则在 x 轴的上方满足上述条件的点 P 的个数共有 （ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C． 考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论．
1+m-n(m≥n) 8.(2015德阳)已知m=x+1,n==x+2,若规定1-m+n(m0B.y=60-0.12x,x>0C.y=0.12x,0x≤500D.y=60-0.12 【答案】D. 【解析 试题分析:因为油箱容量为60L的汽车,加满汽油后行驶了100Km时,油箱中的汽油大 约消耗了5,可得:5×60÷-1001L/km,60=0.2=500(km),所以y与x之间的函数解 析式和自变量取值范围是:y=60-0.12x,(0≤x≤500),故选D 考点:根据实际问题列一次函数关系式 10.(2015河池)我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为整圆”.如图, 直线1:y=kx+4√3与x轴、y轴分别交于A、B,∠OAB=30°,点P在x轴上,⊙P与1 相切,当P在线段OA上运动时,使得⊙P成为整圆的点P个数是() 【答案】A
8．（2015 德阳）已知 m x = +1， n x = − + 2 ，若规定 1 ( ) 1 ( ) m n m n y m n m n + − = − + ，则 y 的最小 值为（ ） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 【答案】B． 【解析】 试 题 分析 ：因 为 m x = +1 ， n x = − + 2 ， 当 x x + − + 1 2 时 ， 可 得： x 0.5 ， 则 y x x x = + + + − = 1 1 2 2 ，则 y 的最小值为 1； 当 x x + − + 1 2 时，可得： x 0.5 ，则 y x x x = − − − + = − + 1 1 2 2 2 ，则 y＜1，故选 B． 考点：1．一次函数的性质；2．分段函数；3．新定义；4．分类讨论；5．最值问题． 9．（2015 广安）某油箱容量为 60 L 的汽车，加满汽油后行驶了 100 Km 时，油箱中的汽油 大约消耗了 1 5 ，如果加满汽油后汽车行驶的路程为 x Km，邮箱中剩油量为 y L，则 y 与 x 之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ） A．y=0.12x，x＞0 B．y=60﹣0.12x，x＞0 C．y=0.12x，0≤x≤500 D．y=60﹣0.12x， 0≤x≤500 【答案】D． 【解析】 试题分析：因为油箱容量为 60 L 的汽车，加满汽油后行驶了 100 Km 时，油箱中的汽油大 约消耗了 1 5 ，可得： 1 5 ×60÷100=0.12L/km，60÷0.12=500（km），所以 y 与 x 之间的函数解 析式和自变量取值范围是：y=60﹣0.12x，（0≤x≤500），故选 D． 考点：根据实际问题列一次函数关系式． 10．（2015 河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图， 直线 l： y kx = + 4 3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B，∠OAB=30°，点 P 在 x 轴上，⊙P 与 l 相切，当 P 在线段 OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点 P 个数是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A．
【解析】 试题分析:∵直线1:y=kx+45与x轴、y轴分别交于A、B,∴B(0,45),∴OB=4,在R△ 40B中,∠OAB=30°,:,O4=√30B=√×43=12,∵⊙P与相切,设切点为M,连接P,则PM⊥ AB,∴PMPA,设P(x,0),∴,P4=12-x,∴⊙P的半径PM=P4=6--x,∵x为整数,PM为整数, ∴x可以取0,2,4,6,8,10,共6个数,∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6.故选A Ax 考点:1.切线的性质;2.一次函数图象上点的坐标特征;3.新定义;4.动点型:5.综 合题 11.(2015广元)如图,把RI△ABC放在直角坐标系内,其中∠CAB=90°,BC=5.点A 的坐标分别为(1,0)、(4,0).将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x-6 上时,线段BC扫过的面积为() A.4B.8 【答案】C
考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．新定义；4．动点型；5．综 合题． 11．（2015 广元）如图，把 RI△ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°， BC=5．点 A、 B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿 x 轴向右平移，当点 C 落在直线 y x = − 2 6 上时，线段 BC 扫过的面积为（ ） A．4 B．8 C．16 D．8 2 【答案】C．
【解析】 试题分析:∵点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0),,AB=3,BC=5,∵∠CAB=90°,∴AC=4,∴点C 的坐标为(1,4),当点C落在直线y=2x-6上时,∴令1=4,得到4=2x-6,解得x=5,∴平移的距离为5 1=4,∴线段BC扫过的面积为4×4=16,故选C OJ/ B B 考点:1.一次函数综合题:2.一次函数图象上点的坐标特征:3.平行四边形的性质:4.平 移的性质 12.(2015泸州)若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则 次函数y=kx+b的大致图象可能是() B 【答案】B 【解析】 试题分析:∵x2-2x+b+1=0有两个不相等的实数根,∴△=4-4(kb+1)>0,解得 kb0,b>0,即kb>0,故A不正确 B.k>0,b0,故C不正确 D.k>0,b=0,即kb=0,故D不正确 故选B 考点:1.根的判别式:2.一次函数的图象 13.(2015鄂州)甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中,甲、乙两
考点：1．一次函数综合题；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．平行四边形的性质；4．平 移的性质． 12．（2015 泸州）若关于 x 的一元二次方程 2 x x kb − + + = 2 1 0 有两个不相等的实数根，则 一次函数 y kx b = + 的大致图象可能是（ ） A ． B ． C ． D． 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵ 2 x x kb − + + = 2 1 0 有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（kb+1）＞0，解得 kb＜0， A．k＞0，b＞0，即 kb＞0，故 A 不正确； B．k＞0，b＜0，即 kb＜0，故 B 正确； C．k＜0，b＜0，即 kb＞0，故 C 不正确； D．k＞0，b=0，即 kb=0，故 D 不正确； 故选 B． 考点：1．根的判别式；2．一次函数的图象． 13．（2015 鄂州）甲、乙两车从 A 城出发匀速行驶至 B 城．在整个行驶过程中，甲、乙两
车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示,则下 列结论 ①A,B两城相距300千米 ②乙车比甲车晚出发1小时,却早到1小时 ③乙车出发后25小时追上甲车; 515 ④当甲、乙两车相距50千米时,t=4或 4 其中正确的结论有() 300 甲 1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】 试题分析:由图象可知A、B两城市之间的距离为300,甲行驶的时间为5小时,而乙是在甲出发1小时 后出发的,且用时3小时,即比甲早到1小时,∴①②都正确; 设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y=,把(5,300代入可求得k=60,∴y==60,设乙车离开A n=100 城的距离y与t的关系式为y==m+n,把(1,0)和(4,300)代入可得 解得: 4n+n=300 n=-100 ∴y=1001-100,令y=y可得:60=100-100,解得=2.5,即甲、乙两直线的交点横坐标为=25,此时 乙出发时间为1.5小时,即乙车出发1.5小时后追上甲车,∴③不正确; 令|=-y2|=50,可得1(60-100+100150,0即10040150,当100-40=50时,可解得=2,当100 -40=-50时,可解得产二, 当60=50时,=二,此时乙还没出发, 6 宗上可知当t的值为二或二或二时时,两车相距50千米,∴④错误; 综上可知正确的有①②共三个,故选B 考点:一次函数的应用 14.(2015随州)甲骑摩托车从A地去B地,乙开汽车从B地去A地,同时出发,匀速行 驶,各自到达终点后停止,设甲、乙两人间距离为s(单位:千米),甲行驶的时间为t(单 位:小时),s与t之间的函数关系如图所示,有下列结论:
车离开 A 城的距离 y（千米）与甲车行驶的时间 t（小时）之间的函数关系如图所示．则下 列结论： ①A，B 两城相距 300 千米； ②乙车比甲车晚出发 1 小时，却早到 1 小时； ③乙车出发后 2.5 小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距 50 千米时，t= 5 4 或 15 4 ． 其中正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B． 考点：一次函数的应用． 14．（2015 随州）甲骑摩托车从 A 地去 B 地，乙开汽车从 B 地去 A 地，同时出发，匀速行 驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为 s（单位：千米），甲行驶的时间为 t（单 位：小时），s 与 t 之间的函数关系如图所示，有下列结论：
①出发1小时时,甲、乙在途中相遇: ②出发1.5小时时,乙比甲多行驶了60千米 ③出发3小时时,甲、乙同时到达终点 ④甲的速度是乙速度的一半. 其中,正确结论的个数是( A5(千米 t(小时) 【答案】B 【解析】 试题分析:由图象可得:出发1小时,甲、乙在途中相遇,故①正确 甲骑摩托车的速度为:120÷3=40(千米/小时),设乙开汽车的速度为a千米/时,则 40+a,解得:a=80,∴乙开汽车的速度为80千米/小时,∴甲的速度是乙速度的一半, 故④正确 ∴出发1.5小时,乙比甲多行驶了:1.5×(80-40)=60(千米),故②正确 乙到达终点所用的时间为1.5小时,甲得到终点所用的时间为3小时,故③错误; 正确的有3个,故选B 考点:一次函数的应用 15.(2015北京市)一家游泳馆的游泳收费标准为30元次,若购买会员年卡,可享受如下 优惠: 会员年卡类型办卡费用(元)每次游泳收费(元) A类 25 B类 C类 400 例如,购买A类会员年卡,一年内游泳20次,消费50+25×20=550元,若一年内在该游泳 馆游泳的次数介于45~55次之间,则最省钱的方式为() A.购买A类会员年卡B.购买B类会员年卡 C.购买C类会员年卡D.不购买会员年卡 【答案】C
①出发 1 小时时，甲、乙在途中相遇； ②出发 1.5 小时时，乙比甲多行驶了 60 千米； ③出发 3 小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙速度的一半． 其中，正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B． 【解析】 试题分析：由图象可得：出发 1 小时，甲、乙在途中相遇，故①正确； 甲骑摩托车的速度为：120÷3=40（千米/小时），设乙开汽车的速度为 a 千米/小时，则 120 1 40 a = + ，解得：a=80，∴乙开汽车的速度为 80 千米/小时，∴甲的速度是乙速度的一半， 故④正确； ∴出发 1.5 小时，乙比甲多行驶了：1.5×（80﹣40）=60（千米），故②正确； 乙到达终点所用的时间为 1.5 小时，甲得到终点所用的时间为 3 小时，故③错误； ∴正确的有 3 个，故选 B． 考点：一次函数的应用． 15．（2015 北京市）一家游泳馆的游泳收费标准为 30 元/次，若购买会员年卡，可享受如下 优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） A 类 50 25 B 类 200 20 C 类 400 15 例如，购买 A 类会员年卡，一年内游泳 20 次，消费 50+25×20=550 元，若一年内在该游泳 馆游泳的次数介于 45～55 次之间，则最省钱的方式为（ ） A．购买 A 类会员年卡 B．购买 B 类会员年卡 C．购买 C 类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C．
【解析】 试題分析:设一年內在该游泳馆游泳的次数为x次,消费的钱数为y元,根据题意得:y=50-25x,=200-20x, =400-15x,当455≤50时,1175:1300;1100951200;10759c51150由此可见,C类会员年卡消费 最低,所以最省钱的方式为购买C类会员年卡.故选C 考点:一次函数的应用 16.(2015甘南州)如图,直线y=k+b经过A(2,1),B(-1,-2)两点,则不等式 x>k+b>-2 的解集为( A.x-1 C.x2 【答案】D. 【解析】 2k+b=1 试题分析:把A(2,1),B(-1,-2)两点的坐标代入y=kx+b,得:(-k+b= 解得:(b=-1 x>x-1>-2 解不等式组:2 得:-1<x<2.故选D 考点:1.一次函数与一元一次不等式;2.数形结合 17.(2015南平)直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是() (-4,0) B.(-1,0) C.(0,2) D.(2,0) 【答案】D. 【解析】 试题分析:直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2-6即y=2x-4,当y=0时 x=2,因此与x轴的交点坐标是(2,0),故选D 考点:一次函数图象与几何变换 8.(2015宁德)如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3.都在ⅹ轴上,点B1,B2, B3.都在直线y=x上,△OA1B1,△B1A1A2,△B2B1A2,△B2A2A3,△B3B2A3..都 是等腰直角三角形,且OA1=1,则点B2015的坐标是()
考点：一次函数的应用． 16．（2015 甘南州）如图，直线 y kx b = + 经过 A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，则不等式 1 2 2 x kx b + − 的解集为（ ） A．x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜1 或 x＞2 D．﹣1＜x＜2 【答案】D． 【解析】 试题分析：把 A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点的坐标代入 y kx b = + ，得： 2 1 2 k b k b + = − + = − ， 解得： 1 1 k b = = − ．解不等式组： 1 1 2 2 x x − − ，得：﹣1＜x＜2．故选 D． 考点：1．一次函数与一元一次不等式；2．数形结合． 17．（2015 南平）直线 y x = + 2 2 沿 y 轴向下平移 6 个单位后与 x 轴的交点坐标是（ ） A． （﹣4，0） B． （﹣1，0） C． （0，2） D． （2，0） 【答案】D． 考点：一次函数图象与几何变换． 18．（2015 宁德）如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2，A3…都在 x 轴上，点 B1，B2， B3…都在直线 y x = 上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都 是等腰直角三角形，且 OA1=1，则点 B2015 的坐标是（ ）