专题05二次根式 r解读考点 名师点晴 次根式有意义的条件是被开方数大于或 1二次根式:式子√a(a≥0)叫做二次根式,等于0 (1)被开方数的因数是整数,因式是整式 二次根 2最简二次根式:被开方数所含因数是整数,因(分母中不应含有根号) 式的有 关概念式是整式,不含能开得尽方的因数或因式的二次(2)被开方数中不含开方开得尽的因数或 根式,叫做最简二次根式 因式,即被开方数的因数或因式的指数都 为1 3同类二次根式:化成最简二次根式后,被开方先把所有的二次根式化成最简二次根式 根据被开方数是否相同来加以判断.要 数相同的几个二次根式,叫做同类二次根式 注意同类二次根式与根号外的因式无关 (1) ≥0(4≥0) (√a)2=a(a≥0) 二次根 a(a≥0) 式的性(3) -a(a0)
专题 05 二次根式 ☞解读考点 知 识 点 名师点晴 二次根 式的有 关概念 1.二次根式：式子 a(a 0) 叫做二次根式． 二次根式有意义的条件是被开方数大于或 等于 0. 2.最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因 式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次 根式，叫做最简二次根式． （1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （分母中不应含有根号）； （2）被开方数中不含开方开得尽的因数或 因式，即被开方数的因数或因式的指数都 为 1. 3.同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方 数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 先把所有的二次根式化成最简二次根式； 再根据被开方数是否相同来加以判断．要 注意同类二次根式与根号外的因式无关． 二次根 式的性 质 （1） a ≥ 0（ a ≥0）； （2） ( ) ( 0) 2 a = a a （3） 2 ( 0) ( 0) a a a a a a = = − （4） ab = a • b(a 0,b 0) （5） = (a 0,b 0) b a b a 要熟练掌握被开方数是非负数 二次根式 的运算 （1）．二次根式的加减法 （2）．二次根式的乘除法 二次根式的乘法： a· b＝ ab （a≥0，b≥0）． 二次根式的除法： a b ＝ b a （a≥0，b＞0） 二次根式的加减法就是把同类二次根式进 行合并； 二次根式的乘除法要注意运算的准确性. ☞2 年中考
【2015年题组】 (2015贵港)计算√3×5的结果是() √3 【答案】B 【解析】 试题分析:√×√=√5.故选B 考点:二次根式的乘除法 2.(2015徐州)使√x-1有意义的x的取值范围是() B.x≥1 【答案】B 【解析】 试题分析:∵Vx-1有意义,∴x-1≥0,即x1.故选B. 考点:二次根式有意义的条件 3.(2015扬州)下列二次根式中的最简二次根式是 V2 【答案】A. 【解析 试题分析:A.符合最简二次根式的定义,故本选项正确; B.√2=23,被开方数含能开得尽方的因数,不是最简二次根式,故本选项错误: 被开方数含能开得尽方的因数,不是最简二次根式,故本选项错误 2,被开方数含分母,不是最简二次根式,故本选项错误 故选A 考点:最简二次根式 4.(2015凉山州)下列根式中,不能与V3合并的是() D 【答案】C
【2015 年题组】 1．（2015 贵港）计算 3 5 的结果是（ ） A． 8 B． 15 C．3 5 D．5 3 【答案】B． 考点：二次根式的乘除法． 2．（2015 徐州）使 x −1 有意义的 x 的取值范围是（ ） A．x≠1 B．x≥1 C．x＞1 D．x≥0 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵ x −1 有意义，∴x﹣1≥0，即 x≥1．故选 B． 考点：二次根式有意义的条件． 3．（2015 扬州）下列二次根式中的最简二次根式是（ ） A． 30 B． 12 C． 8 D． 2 1 【答案】A． 【解析】 试题分析：A．符合最简二次根式的定义，故本选项正确； B． 12 2 3 = ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； C． 8 2 2 = ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； D． 1 2 2 2 = ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误； 故选 A． 考点：最简二次根式． 4．（2015 凉山州）下列根式中，不能与 3 合并的是（ ） A． 1 3 B． 1 3 C． 2 3 D． 12 【答案】C．
【解析】 √ 试题分析:A ,本选项不合题意; 3本选项不合题意 3,本选项合题意 D.√2=2,本选项不合题意 故选C 考点:同类二次根式 5.(2015宜昌)下列式子没有意义的是() √0 【答案】 【解析】 试题分析:A.√-3没有意义,故A符合题意 有意义,故B不符合题意; C.√2有意义,故C不符合题意 有意义,故D不符合题意 故选A 考点:二次根式有意义的条件 6.(2015潜江)下列各式计算正确的是() 2+√3=√5p.43-35 23×33=63D√2 3 【答案】D 【解析】 试题分析:A.不是同类二次根式,无法计算,故此选项错误,B.43-33=√5,故此选项错误, C.2√3x3=6×3=18,故此选项错误,D.√27+√5-3,此选项正确,故选D 考点 次根式的乘除法;2.二次根式的加减法 7.(2015滨州)如果式子√2x+6有意义,那么x的取值范围在数轴上表示出来,正确的是
考点：同类二次根式． 5．（2015 宜昌）下列式子没有意义的是（ ） A． −3 B． 0 C． 2 D． 2 ( 1) − 【答案】A． 【解析】 试题分析：A． −3 没有意义，故 A 符合题意； B． 0 有意义，故 B 不符合题意； C． 2 有意义，故 C 不符合题意； D． 2 ( 1) − 有意义，故 D 不符合题意； 故选 A． 考点：二次根式有意义的条件． 6．（2015 潜江）下列各式计算正确的是（ ） A． 2 3 5 + = B． 4 3 3 3 1 − = C． 2 3 3 3 = 6 3 D． 27 3 3 = 【答案】D． 考点：1．二次根式的乘除法；2．二次根式的加减法． 7．（2015 滨州）如果式子 2 6 x + 有意义，那么 x 的取值范围在数轴上表示出来，正确的是 （ ）
25-10 -3-2-10 【答案】C. 【解析】 试题分析:由题意得,2x+6≥0,解得,x≥-3,故选C. 考点:1.在数轴上表示不等式的解集;2.二次根式有意义的条件 √n(m≥n) 8.(2015铁州)对于任意的正数m、n定义运算※为:mnm+vn(m2,∴3※2 ,∵8<12,∵8※12 √8 ※2)×(8×12)=(√5-√2)x2(2+√5)=2.故选B 考点:1.二次根式的混合运算;2.新定义 9.(2015孝感)已知x=2-√5,则代数式(7+43)x2+(2+√5厘x+√的值是( D 【答案】C 【解析】 试题分析:把x=2-√3代入代数式(7+43)x2+(2+√5)x+√5得 (7+43X2-√3)2+(2+√32-3)+3(7+437-43)+4-3+3 9-48+1+√32 √3.故选C 考点:二次根式的化简求值 0.23.门)当1<a<2时,代数式Va-2+1-d=0的值是() 【答案】B
A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】 试题分析：由题意得，2x+6≥0，解得，x≥﹣3，故选 C． 考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．二次根式有意义的条件． 8．（2015 钦州）对于任意的正数 m、n 定义运算※为：m※n= ( ) ( ) m n m n m n m n − + ，计算（3※2） ×（8※12）的结果为（ ） A． 2 4 6 − B．2 C． 2 5 D．20 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵3＞2，∴3※2= 3 2 − ，∵8＜12，∴8※12= 8 12 + = 2( 2 3) + ，∴（3 ※2）×（8※12）=（ 3 2 − ）×2( 2 3) + =2．故选 B． 考点：1．二次根式的混合运算；2．新定义． 9．（2015 孝感）已知 x = −2 3 ，则代数式 2 (7 4 3) (2 3) 3 + + + + x x 的值是（ ） A．0 B． 3 C． 2 3 + D． 2 3 − 【答案】C． 【解析】 试题分析：把 x = −2 3 代入代数式 2 (7 4 3) (2 3) 3 + + + + x x 得 ： 2 (7 4 3)(2 3) (2 3)(2 3) 3 + − + + − + = (7 4 3)(7 4 3) 4 3 3 + − + − + = 49 48 1 3 − + + = 2 3 + ．故选 C． 考点：二次根式的化简求值． 10．（2015 荆门）当 1 2 a 时，代数式 2 ( 2) 1 0 a a − + − = 的值是（ ） A． −1 B．1 C． 2 3 a − D．3 2 − a 【答案】B．
【解析】 试题分析::当10,∴√a-2)2-1-4-0=2-a+a-1=1.故选B 考点:二次根式的性质与化简 11.(2015随州)若代数式x 有意义,则实数x的取值范围是( A.x≠ x≥0 ≥0且x 【答案】D. 【解析】 1≠0 试题分析:∵代数式x-1有意义,∴(x≥0 ,解得x≥0且x≠1.故选D 考点:1.二次根式有意义的条件:2.分式有意义的条件 12.(2015淄博)已知x=2 x2+xy+y的值为 则x 【答案】B. 【解析】 分 2=(√5)-1=5-1=4.故选B 考点:二次根式的化简求值 13.(2015朝阳)估计 的运算结果应在哪两个连续自然数之间 5和6 B.6和 C.7和8 D.8和9 【答案】B 【解析】 √2 试题分析:原式= 32,∵6<2+32<7, √8×,+√8 的运算 结果在6和7两个连续自然数之间,故选B 考点:1.估算无理数的大小:2.二次根式的乘除法 14.(2015南京)计算√3的结果是 【答案】5
考点：二次根式的性质与化简． 11．（2015 随州）若代数式 1 1 x x + − 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） A． x 1 B． x 0 C． x 0 D． x 0 且 x 1 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵代数式 1 1 x x + − 有意义，∴ 1 0 0 x x − ，解得 x 0 且 x 1 ．故选 D． 考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件． 12．（2015 淄博）已知 x= 5 1 2− ，y= 5 1 2 + ，则 2 2 x xy y + + 的值为（ ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】B． 【解析】 试题分析：原式 = 2 ( ) x y xy + − = 5 1 5 1 5 1 5 1 2 ( ) 2 2 2 2 − + − + + − = 2 ( 5) 1− =5 1− =4．故选 B． 考点：二次根式的化简求值． 13．（2015 朝阳）估计 1 8 18 2 + 的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ） A．5 和 6 B．6 和 7 C．7 和 8 D．8 和 9 【答案】B． 【解析】 试题分析：原式= 1 8 3 2 2 + = 2 3 2 + ，∵6＜ 2 3 2 + ＜7，∴ 1 8 18 2 + 的运算 结果在 6 和 7 两个连续自然数之间，故选 B． 考点：1．估算无理数的大小；2．二次根式的乘除法． 14．（2015 南京）计算 5 15 3 的结果是 ． 【答案】5．
【解析】 试题分析:55-55=5,故答案为:5 考点:二次根式的乘除法 15.(2015泰州)计算: 等于 【答案】2√2 【解析】 √2 试题分析:原式 32-2x235==25,故塞为:2 考点:二次根式的加减法 16.(2015日照)若√(x-32=3-x,则x的取值范围是 【答案】x0,a 则 √a--b=-a-(b-a)=-a-b+a=-b,故答案为:-b 考点:1.实数与数轴:2.二次根式的性质与化简
考点：二次根式的乘除法． 15．（2015 泰州）计算： 2 1 18 − 2 等于 ． 【答案】 2 2 ． 【解析】 试题分析：原式= 2 3 2 2 2 − = 3 2 2 2 2 − = ．故答案为： 2 2 ． 考点：二次根式的加减法． 16．（2015 日照）若 2 ( 3) 3 x x − = − ，则 x 的取值范围是 ． 【答案】x≤3． 【解析】 试题分析：∵ 2 ( 3) 3 x x − = − ，∴3﹣x≥0，解得：x≤3，故答案为：x≤3． 考点：二次根式的性质与化简． 17．（2015 攀枝花）若 y x x = − + − + 3 3 2 ，则 y x = ． 【答案】9． 【解析】 试题分析： y x x = − + − + 3 3 2 有意义，必须 x − 3 0， 3 0 − x ，解得：x=3，代入 得：y=0+0+2=2，∴ y x = 2 3 =9．故答案为：9． 考点：二次根式有意义的条件． 18．（2015 毕节）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则 2 a a b − − = ． 【答案】 −b． 考点：1．实数与数轴；2．二次根式的性质与化简．
19.(2015葫芦岛)若代数式x-1有意义,则实数x的取值范围是 【答案】x≥0且x≠1 【解析】 试题分析:∵x-1有意义,∴x>0,x-1≠0,∴实数x的取值范围是:x0且x1.故答案 为:x≥0且x≠1 考点:1.二次根式有意义的条件;2.分式有意义的条件 54)+212 20.(2015陕西省)计算 【答案】8-√2 【解析】 试题分析:根据二次根式的乘法法则、绝对值的意义、负整数整数幂的意义化简后合并即可 试题解析:原式 6+2√2+8=-3√2+22+8=8-√2 考点:1.二次根式的混合运算:2.负整数指数幂. (3+3-+√24-(y 21.(2015大连)计算: 【答案】1+2√6 【解析】 试题分析:利用平方差公式、二次根式的性质、零指数幂的意义化简,然后进行加减运算即可 试题解析:原式=3-1+2√6-1=1+26 考点 次根式的混合运算;2.零指数幂 22.(2015山西省)阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的任务. 斐波那契(约1170-1250)是意大利数学家,他研究了一列数,这 列数非常奇妙,被称为莹波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称 为致列)·后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果 在实际生活中,很多花朵(如檸花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐 波那契数列中的彀,燮波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中 也有广泛的应用 科中的,个(:5)-(2月1 (其中,n≥1).这是用无理数表示有理数的一个范倒 任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数 【答案】1, 【解析】 试题分析:分别把1、2代入式子化简即可
19．（2015 葫芦岛）若代数式 1 x x − 有意义，则实数 x 的取值范围是 ． 【答案】x≥0 且 x≠1． 【解析】 试题分析：∵ 1 x x − 有意义，∴x≥0，x﹣1≠0，∴实数 x 的取值范围是：x≥0 且 x≠1．故答案 为：x≥0 且 x≠1． 考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件． 20．（2015 陕西省）计算： ( ) 3 2 1 3 6 2 2 − − + − + ． 【答案】 8 2 − ． 【解析】 试题分析：根据二次根式的乘法法则、绝对值的意义、负整数整数幂的意义化简后合并即可． 试题解析：原式= − + + 3 6 2 2 8 = − + + 3 2 2 2 8 =8 2 − ． 考点：1．二次根式的混合运算；2．负整数指数幂． 21．（2015 大连）计算： 1 0 ( 3 1)( 3 1) 24 ( ) 2 + − + − ． 【答案】 1 2 6 + ． 考点：1．二次根式的混合运算；2．零指数幂． 22．（2015 山西省）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务． 任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第 1 个数和第 2 个数． 【答案】1，1． 【解析】 试题分析：分别把 1、2 代入式子化简即可．
试题解析第1个数当叫时,原式52-25 个数 n=2 1,6+2√56-2√5 4 4 考点:1.二次根式的应用:2.阅读型:3.规律型;4.综合题 【2014年题组】 1.(2014年四川甘孜中考)使代数式√x+5有意义的x的取值范围是 0B.-5≤X<5C.x≥5D.x≥-5 【答案】D. 【解析】 试题分析:由题意得,x+5≥0,解得x≥-5.故选D 考点:二次根式有意义的条件 2.(2014年潍坊中考)若代数式(X-3)有意义,则实数x的取值范围是 且x≠3C 【答案】D. 【解析】 x+1≥0 试题分析:由已知得 解得 所以x≥-1且x≠3,故选D 考点:1.二次根式有意义的条件;2分式有意义的条件 3.(204年镇江中考)若x、y满足√2x-1+2(y-1)=0,则x+y的值等于() 2 2 D 2 【答案】B 【解析】 试题分析 x-+2(y-1)2=0.2=0 故选B 考点:1.二次根式被开方数和偶次幂的非负性质:2求代数式的值 4.(2014年甘肃白银中考)下列计算错误的是() A√2√3=V6B√2√3=5 C12 2
试题解析：第 1 个数，当 n=1 时，原式= 1 1 5 1 5 ( ) 5 2 2 + − − = 1 5 5 =1． 第 2 个数，当 n=2 时 ， 原 式 = 1 1 5 1 5 2 2 [( ) ( ) ] 5 2 2 + − − = 1 6 2 5 6 2 5 [ ] 5 4 4 + − − = 1 5 5 =1． 考点：1．二次根式的应用；2．阅读型；3．规律型；4．综合题． 【2014 年题组】 1．（2014 年四川甘孜中考）使代数式 有意义的 x 的取值范围是（ ） A．x≥0 B． ﹣5≤x＜5 C． x≥5 D． x≥﹣5 【答案】D． 【解析】 试题分析：由题意得，x+5≥0，解得 x≥﹣5．故选 D． 考点：二次根式有意义的条件． 2.（2014 年潍坊中考）若代数式 2 x 1 (x 3) + − 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） A.x≥一 1 B．x≥一 1 且 x≠3 C．x>-l D．x>-1 且 x≠3 【答案】D． 考点：1.二次根式有意义的条件；2.分式有意义的条件． 3.（2014 年镇江中考） 若 x、y 满足 ( ) 2 2x 1 2 y 1 0 − + − = ，则 x y + 的值等于（ ） A. 1 B. 3 2 C. 2 D. 5 2 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵ ( ) 2 2x 1 2 y 1 0 − + − = ，∴ ( ) 2 1 2x 1 0 x 2 2 y 1 0 y 1 − = = − = = ∴ 1 3 x y 1 2 2 + = + = ． 故选 B． 考点：1.二次根式被开方数和偶次幂的非负性质；2.求代数式的值． 4.（2014 年甘肃白银中考）下列计算错误的是（ ） A. • = B. + = C. ÷ =2 D. =2
【答案】B 【解析】 试题分析:A √23=√6 ,计算正确;B、√2+√3,不能合并,原题计算错误:C h2÷√3=√4=2,计算正确:D、√=2√2,计算正确 故选B. 考点:二次根式的混合运算 5.(2014年山东省聊城市中考)下列计算正确的是() A.2√333=63B.√2+√3√5c5V5-22=33D.√23=3 【答案】D. 【解析】 试题分析:A、2√3×3√3=2×3×3=18,故A错误:B、不是同类二次根式,不能相加 故B错误;C、不是同类二次根式,不能相减,故C错误;D、 故 D正确;故选D 考点:二次根式的加减法、乘除法 6.(2014年湖南常德中考)下列各式与√3是同类二次根式的是() C.√25 【答案】D 【解析】 试题分析:A、√8=2√2,故不与√是同类二次根式,故此选项错误 B、√24=2√6,故不与√3是同类二次根式,故此选项错误 C、√125=5√,故不与√是同类二次根式,故此选项错误; D、2=2,故,与√3是同类二次根式,故此选项正确; 故选D 考点:同类二次根式 7.(2014年凉山中考)已知x1 则x12+x22= 【答案】10 【解析】 试题分析 =√3+√2,x2=√3-2 ∴x12+x22=(x1+x2)2
【答案】B． 【解析】 试题分析：A、 2 3 6 = ，计算正确；B、 2 3 + ，不能合并，原题计算错误；C、 12 3 4 2 = = ，计算正确；D、 8 2 2 = ，计算正确． 故选 B． 考点：二次根式的混合运算． 5.（2014 年山东省聊城市中考）下列计算正确的是（ ） A．2 ×3 =6 B. + = C. 5 ﹣2 =3 D . ÷ = 【答案】D． 【解析】 试题分析：A、 2 3 3 3 2 3 3 18 = = ，故 A 错误；B、不是同类二次根式，不能相加， 故 B 错误；C、不是同类二次根式，不能相减，故 C 错误；D、 2 6 2 3 3 3 = = ，故 D 正确；故选 D． 考点：二次根式的加减法、乘除法． 6.（2014 年湖南常德中考）下列各式与 3 是同类二次根式的是（ ） A． 8 B． 24 C． 125 D． 12 【答案】D． 考点：同类二次根式． 7.（2014 年凉山中考）已知 1 2 x 3 2 x 3 2 = = + ， - ，则 x12+x22= ． 【答案】10． 【解析】 试 题 分 析 ： ∵ 1 2 x 3 2 x 3 2 = = + ， - ， ∴x12+x22= （ x1+x2 ） 2 ﹣
2y2(52+5-V2)-25+2)(52)=12-2=10 考点:二次根式的混合运算 8.(2014年哈尔滨中考)计算:√12-√3 【答案】 【解析】 试题分析:√12-3=23 考点:二次根式的加减法 9.(2014年湖南衡阳中考)化简: 【答案】2. 【解析】 试题分析:原式=√x-√2x√2=4-2=2 考点:二次根式的乘除法 0(2014年辽宁大连中考)√5(1√)+2+(3) 【答案】3 【解析】 试题分析:分别进行二次根式的乘法运算,二次根式的化简,负整数指数幂的运算,然后合 并即可求出答案 试题解析:原式=V3-3+2V3+3=3 考点:1.二次根式的混合运算:2负整数指数幂 考点归纳 归纳1:二次根式的意义及性质 基础知识归纳: 二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0 注意问题归纳: 1.首先考虑被开方数为非负数,其次还要考虑其他限制条件,这样就转化为解不等式或不等 式组问题,如有分母时还要注意分式的分母不为 2、利用二次根式性质时,如果题目中对根号内的字母给出了取值范围,那么应在这个范围 内对根式进行化简,如果题目中没有给出明确的取值范围,那么应注意对题目条件的挖掘, 把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来,在允许的取值范围内进行化简 【例1】函数x-3 中,自变量x的取值范围是
2x1x2= ( ) ( )( ) 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 12 2 10 + - + + + − = − = ． 考点：二次根式的混合运算． 8.（2014 年哈尔滨中考）计算： = ． 【答案】 3 ． 【解析】 试题分析： 12 − 3 =2 3 ﹣ 3 = 3 ． 考点：二次根式的加减法． 9.（2014 年湖南衡阳中考）化简： 2 8 2 ( − =) ． 【答案】2． 考点：二次根式的乘除法． 10.（2014 年辽宁大连中考） 3 （1- 3 ）+ 12 +（ 1 3 ）-1． 【答案】3 3 ． 【解析】 试题分析：分别进行二次根式的乘法运算，二次根式的化简，负整数指数幂的运算，然后合 并即可求出答案． 试题解析：原式= 3 -3+2 3 +3=3 3 ． 考点：1.二次根式的混合运算；2.负整数指数幂． ☞考点归纳 归纳 1：二次根式的意义及性质 基础知识归纳： 二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于 0． 注意问题归纳： 1.首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等 式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为 0． 2、利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围 内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘， 把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 【例 1】函数 ( ) x 0 y x 2 x 3 = − − − 中，自变量 x 的取值范围是 ．