人教版八年级上册123角平分线的性质学案(含答案 知识要点 1角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 3.用尺规作已知角的平分线 作法: (1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N. (2)分别以点M,N为圆心,大于M的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C (3)画射线OC.射线OC即为所求 单选题 1.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的() A.三条中线的交点B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点 2.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为()
人教版八年级上册 12.3 角平分线的性质 学案（含答案） 知识要点： 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 3.用尺规作已知角的平分线． 作法： （1）以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N． （2）分别以点 M，N 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C． （3）画射线 OC．射线 OC 即为所求． 一、单选题 1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 2．如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动点，若 PA=2，则 PQ 的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图,在△ABC中,∠B=90°,AC=10,AD为此三角形的一条角平分线,若BD=3,则三角形ADC的面积 为( 4.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域,如果在这个区域内修建一个公园,要使公园到三 条公路的距离相等,那么这个公园应建的位置是 A.三条高线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 5.下列说法中错误的是() A.三角形三条角平分线都在三角形的内部 B.三角形三条中线都在三角形的内部 C.三角形三条高至少有一条在三角形的内部 D.三角形三条高都在三角形的内部 6.如图,点为AABC角平分线交点,AB=8,AC=6,BC=4,将∠ACB平移使其顶点C与/重合,则图 中阴影部分的周长为(
3．如图，在△ABC 中，∠B=90º，AC=10，AD 为此三角形的一条角平分线，若 BD=3，则三角形 ADC 的面积 为（ ） A．3 B．10 C．12 D．15 4．三条公路将 A 、 B 、C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三 条公路的距离相等，那么这个公园应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 5．下列说法中错误的是（ ） A．三角形三条角平分线都在三角形的内部 B．三角形三条中线都在三角形的内部 C．三角形三条高至少有一条在三角形的内部 D．三角形三条高都在三角形的内部 6．如图，点 I 为 ABC 角平分线交点， AB =8， AC = 6 ， BC = 4 ，将 ACB 平移使其顶点 C 与 I 重合，则图 中阴影部分的周长为( )
8 6 4 7.如图,OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线,∠A=80°,则∠O=() B C.120 8.如图,OC是∠AOB的平分线,OD平分∠AOC,且∠COD=25则∠AOB=() C.100 9.如图,△ABC中AD是∠BAC的平分线,AB=4,AC=3,那么△ABD和△ADC的面积比是() B A.1:1 D.不能确定 10.如图,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,∠CDE=150°,则∠C=
A． 9 B． 8 C． 6 D． 4 7．如图，OB、OC 分别是 ABC 、∠ACB 的平分线， ∠A = 80 ，则 = O （ ） A． 80 B．100 C．120 D．130 8．如图，OC 是∠AOB 的平分线，OD 平分∠AOC，且∠COD= 25 则∠AOB=（ ） A． 50 B． 75 C．100 D． 20 9．如图，△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线，AB=4，AC=3,那么△ABD 和△ADC 的面积比是（ ） A．1:1 B．3:4 C．4:3 D．不能确定 10．如图，已知 AB∥CD，BE 平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝（ ）
A.60 B.100° C.120° D.150° 、填空题 1l.如图,OC为∠AOB的平分线CM⊥OB,OC=5M=4,则点C到射线OA的距离为 12.如图,在∠MON中,以点O为圆心,任意长为半径作弧,交射线OM于点A,交射线ON于点B,再分别以A B为圆心,OA的长为半径作弧,两弧在∠MON的内部交于点C,作射线OC,若OA=5,AB=6,则点B到AC的 距离为 13.如图,直线AB/CD,BC平分∠ABD,若∠1=65,则∠2= 14.如图,在△ABC中,BE平分∠ABC交AC于点E,AF⊥BC于点F,BE、AF交于点P,若AB=9,PF=3,则 △ABP的面积是
A.60° B.100° C.120° D.150° 二、填空题 11．如图,OC 为∠AOB 的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点 C 到射线 OA 的距离为____. 12．如图，在∠MON 中，以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交射线 OM 于点 A，交射线 ON 于点 B，再分别以 A、 B 为圆心，OA 的长为半径作弧，两弧在∠MON 的内部交于点 C，作射线 OC，若 OA＝5，AB＝6，则点 B 到 AC 的 距离为_____． 13．如图，直线 AB CD // ， BC 平分 ABD ，若 =1 65 ，则 = 2 __________． 14．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E，AF⊥BC 于点 F，BE、AF 交于点 P，若 AB=9，PF=3，则 △ABP 的面积是______
C 三、解答题 15.如图,∠AOB=90°,射线OM平分∠OC,ON平分∠BOC (1)如果∠BOC=30°,求∠MON的度数; (2)如果∠AOB=a,∠BOC=30°,其他条件不变,求∠MON的度数; 16.已知:如图,点C在∠AOB的一边OA上,过点C的直线DE/OB,CF平分∠ACD,CG⊥CF于C (1)若∠O=40,求∠ECF的度数 (2)求证:CG平分∠OCD; 17.如图所示,点A,B,C分别表示三个住宅小区,为了丰富社区居民的文化生活,拟建一个文化活动中心,使它 到三个住宅小区的距高相等,请你在图中确定文化活动中心(用点D表示)的位置
三、解答题 15．如图，∠AOB＝90°，射线 OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC． （1）如果∠BOC＝30°，求∠MON 的度数； （2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝30°，其他条件不变，求∠MON 的度数； 16．已知：如图，点 C 在 AOB 的一边 OA 上，过点 C 的直线 DE OB // ，CF 平分 ACD ，CG CF ⊥ 于 C . (1) 若 = O 40 ，求 ECF 的度数； (2) 求证: CG 平分 OCD ； 17．如图所示，点 A，B，C 分别表示三个住宅小区，为了丰富社区居民的文化生活，拟建一个文化活动中心，使它 到三个住宅小区的距离相等，请你在图中确定文化活动中心（用点 D 表示）的位置
B C 18.已知,如图,在△ABC中,∠ABC=80°,∠ACB=50°,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,求∠BPC的度 1.D 9.C 10.C 11.3
18．已知，如图，在 △ABC 中， ABC 80 = ， ACB 50 = ，BP 平分 ABC ，CP 平分 ACB ，求 BPC 的度 数. 1．D 2．B 3．D 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C 9．C 10．C 11．3
15.(1)由题意得, ON平分∠BOC,∠BOC=30° ∴∠BOC=2∠NOC ∠NOC=15° ∵OM平分∠AOC ∠MOC=-∠AOC ∠AOC=90°+∠BOC=90°+30°=120°, 1 ∠MOC=-∠AOC=-×120°=60° ∴∠MON=∠MOC-∠NOC=60°15°=45° 故∠MON的度数为45° (2)由(1)同理可得,∠NOC=15 ∠AOB=0 ∵∠AOC=a+∠BOC=a+30° ∴∠MOC=-∠AOC=-×(a+30°) 2Q*15e ∴∠MON=∠MOC.∠NOC=a+15°-15°=-a 故∠MON的度数为一a 16.解:(1)∵DE∥OB, ∴∠O=∠ACE,(两直线平行,同位角相等) ∵∠O=40°, ∵∠ACE=40° ∴∠ACD+∠ACE=180°,(平角定义) ∠ACD=140 又∵CF平分∠ACD
12． 24 5 ． 13．50°. 14． 27 2 . 15.（1）由题意得， ∵ON 平分∠BOC，∠BOC=30° ∴∠BOC=2∠NOC ∴∠NOC=15° ∵OM 平分∠AOC ∴∠MOC= 1 2 ∠AOC ∵∠AOC=90°+∠BOC=90°+30°=120°， ∴∠MOC═ 1 2 ∠AOC= 1 2 ×120°=60° ∴∠MON=∠MOC-∠NOC=60°-15°=45° 故∠MON 的度数为 45° （2）由（1）同理可得，∠NOC=15° ∵∠AOB=α ∵∠AOC=α+∠BOC=α+30° ∴∠MOC═ 1 2 ∠AOC= 1 2 ×（α+30°）= 1 2 α+15° ∴∠MON=∠MOC-∠NOC= 1 2 α+15°−15°= 1 2 α 故∠MON 的度数为 1 2 α 16．解：（1）∵DE∥OB， ∴∠O=∠ACE，（两直线平行，同位角相等） ∵∠O=40°， ∴∠ACE=40°， ∵∠ACD+∠ACE=180°，（平角定义） ∴∠ACD=140°， 又∵CF 平分∠ACD
∵∠ACF=70°,(角平分线定义) ∠ECF=70°+40°=110° (2)证明:∵CG⊥CF, ∠FCG=90°, ∠DCG+∠DCF=90°, 又∵∠AOC=180°,(平角定义) ∠GCO+∠FCA=90° ∠ACF=∠DCF ∠GCO=∠GCD,(等角的余角相等) 即CG平分∠OCD 17.解:如图所示 飞 18.在△ABC中, ∴∠ABC=80°,BP平分∠ABC ∵∠CBP=-∠ABC=40 ∵∠ACB=50°,CP平分∠ACB ∵.∠BCP=-∠ACB=25° 在△BCP中∠BPC=180°-(∠CBP+∠BCP)=115°
∴∠ACF=70°，（角平分线定义） ∴∠ECF=70°+40°=110°； （2）证明：∵CG⊥CF， ∴∠FCG=90°， ∴∠DCG+∠DCF=90°， 又∵∠AOC=180°，（平角定义） ∴∠GCO+∠FCA=90°， ∵∠ACF=∠DCF， ∴∠GCO=∠GCD，（等角的余角相等） 即 CG 平分∠OCD． 17．解：如图所示. 18．在△ABC 中， ∵∠ABC=80°，BP 平分∠ABC， ∴∠CBP= 1 2 ∠ABC=40°. ∵∠ACB=50°，CP 平分∠ACB， ∴∠BCP= 1 2 ∠ACB=25°. 在△BCP 中∠BPC=180°−(∠CBP+∠BCP)=115°
