123角的平分线的性质 第1课时角平分线的性质 、教学目标 (一)知识与技能 1.会作已知角的平分线; 2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质; 3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算 (二)过程与方法 在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生 的推理证明意识和能力 (三)情感、态度与价值观 在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问 题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问.题的信心, 获得解决问题的成功体验 、教学重点、难点 重点:角的平分线的性质的证明及应用 难点:角的平分线的性质的探究 教法学法 三步导学的教学模式;自主探索,合作交流的学习方式 四、教与学互动设计 (一)激情导课 如图是小明制作的风筝,他根据AB=AD,BC=DC.不用度量,就知道AC是∠ DAB的角平分线,你知道其中的道理吗? (二)民主导学 探究一:角的平分线的作法 I、议一议 问题1 请你拿出准备好的角,用你自己的方法画出它的角平分线. 问题2 如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB 和AD沿着角的两边放下,画一条射线AE,AE就是∠DAB的平分线.你能说明 它的道理吗? 问题3 通过上面的探究,你有什么启发?你能用尺规作图作已知角的平分线吗? 请你试着做一做,并与同伴交流 已知:∠MAN
12.3 角的平分线的性质 第 1 课时 角平分线的性质 一、教学目标 （一）知识与技能 1.会作 已知角的平分线； 2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质； 3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算. （二）过程与方法 在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生 的推理证明意识和能力. （三）情感、态度与价值观 在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问 题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问 题的信心, 获得解决问题的成功体验 . 二、教学重点、难点 重点：角的平分线的性质的证明及应用； 难点：角的平分线的性质的探究. 三、教法学法 三步导学的教学模式；自主探索,合作交流的学习方式. 四、教与学互动设计 （一）激情导课 如图是小明制作的风筝，他根据 AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道 AC 是∠ DAB 的角平分线，你知道其中的道理吗？ （二）民主导学 1、探究一：角的平分线的作法 Ⅰ、议一议 问题 1 请你拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线. 问题 2 如图是一个平分角 的仪器，其中 AB=AD，BC=DC.将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，画一条射线 AE，AE 就是∠DAB 的平分线. 你能说明 它的道理吗? 问题 3 通过上面的探究，你有什么启发？你能用尺规作图作已知角的平分线吗？ 请你试着做一做，并与同伴交流. 已知：∠MAN A B D C E
求作:∠MAN的角平分线 作法:(1)以A为圆心,适当长为半径画弧,交M于B,交N于 (2)分别以B、D为圆心, 大于的长为半径画弧,两A 弧在∠MAN的内部交于点C. (3)画射线AC ∴射线AC即为所求 Ⅱ、练一练 平分平角∠AOB.通过上面的步骤得到射线0C以后,把它反向延长得到直线 CD.直线CD与直线AB是什么关系? 思考:你能总结出“过直线上一点作这条直线的垂线”的方法吗?请说明你 的方法。 2、探究二:角的平分线的性质 I、做一做 如图,将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然 后展开.观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?试着证明你的结论 (1)角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等 (2)角的平分线性质的证明步骤: ①明确命题中的已知和求证; 已知:一个点在一个角的平分线上 结论:这个点到这个角两边的距离相等 ②M根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证; 已知:如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分 别为点D、E. 求证:PD=PE ⑧M经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB(已知) ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义) 在△PDO和△PEO中 ∠PDO=∠PEO(已证) ∠AOC=∠BOC(已证)
C A O B BD 2 1 A O B C A D B M N 求作：∠MAN 的角平分线. 作法：（1）以 A 为圆心，适当长为半径画弧，交 AM 于 B，交 AN 于 D. （2）分别以 B、D 为圆心， 大于的长为半径画弧，两 弧在∠MAN 的内部交于点 C. （3）画射线 AC. ∴射线 AC 即为所求. Ⅱ、练一练 平分平角∠AOB.通过上面的步骤得到射线 OC 以后，把它反向延长得到直线 CD.直线 CD 与直线 AB 是什么关系？ 思考：你能总结出“过直线上一点作这条直线的垂线”的方法吗？请说明你 的方法。 2、探究二：角的平分线的性质 Ⅰ、做一做 如图，将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然 后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？试着证明你的结论. （1）角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. （2）角的平分线性质的证明步骤： ① 明确命题中的已知和求证; 已知:一个点在一个角的平分线上. 结论:这个点到这个角两边的距离相等. ②M 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证; 已知：如图，∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分 别为点 D、E. 求证: PD=PE. ③M 经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥ OB (已知) ∴ ∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义) 在△PDO 和△ PEO 中 ∠PDO= ∠ PEO（已证） ∠AOC= ∠BOC （已证） B P O A C E D
OP=OP(公共边) ∴△PDO≌△PEO(AAS) ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等) 符号语言 ∠AOC=∠BOC,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E.(已知) ∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等) Ⅱ、练一练 (1)下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形 中PD=PE E B (2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E,则图中PD=PE吗? (3)在S区有一个贸易市场P,它建在公路与铁路所成角的平分线上,要从 P点建两条路,一条到公路,一条到铁路,怎样修才能使路最短?它们有怎样的 数量关系呢 公路 思考:角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题? 3、角的平分线性质的应用 (1)如图,△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,CD=3cm,则点D到AB的 距离为Bcm
C D A B C D B A F E E B C D A OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等） 符号语言 ： ∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D、E.（已知） ∴ PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） Ⅱ、练一练 (1) 下面四个图中,点 P 都在∠AOB 的平分线上,则图形_____ 中 PD＝PE. (2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点 D、E，则图中 PD＝PE 吗? (3)在 S 区有一个贸易市场 P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从 P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的 数量关系呢？ 思考：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题? 3、角的平分线性质的应用 （1）如图,△ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠ABC，CD＝3cm，则点 D 到 AB 的 距离为 cm． P O A B C E D P O A B C E D P O A B C E D A B P O A C E D B C D B P O A C E D S 公路 铁路 P
(第1题图) (第2题①图) (第 2题②图) (2)变式训练,深化新知 变式①,如图,△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,DE⊥AB,垂足为点E, AC=8cm,则AD+DE=cm. 变式②,如图,△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,DE⊥AB于E,F在BC 上,AD=DF 求证:CF=EA (三)检测导结 1、目标检测(本测试题共三道题,相信大家一定会做得非常棒!) (1)如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 是D、E,PD=4cm,则PE= C (第1题图) 第2题图) (第3题图) (2)如图,点C为直线AB上一点,过点C作直线MN,使MN⊥AB.(不写作 ,保留作图痕迹,写出结论) (3)已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥ AC,垂足分别是E、F. 求证:EB=FC. 2、请你谈谈学习这节课的收获 (四)布置作业 1.必做题:习题 2.思考题 如图,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等,离公路与铁
A C B D E P A O B C （第 1 题图） （第 2 题①图） （第 2 题②图） （2）变式训练，深化新知 变式①，如图,△ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点 E， AC=8cm， 则 AD+DE= cm. 变式②，如图,△ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠ABC，DE⊥AB 于 E，F 在 BC 上，AD=DF 求证：CF=EA （三）检测导结 1、目标检测 (本测试题共三道题，相信大家一定会做得非常棒！) (1)如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别 是 D、E，PD=4cm，则 PE=_____cm. ( 第 1 题 图 ) ( 第 2 题 图 ) (第 3 题图) (2) 如图，点 C 为直线 AB 上一点，过点 C 作直线 MN，使 MN⊥AB.（不写作 法，保留作图痕迹，写出结论） (3)已知:如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD=CD，DE⊥AB，DF⊥ AC，垂足分别是 E、F. 求证:EB=FC. 2、请你谈谈学习这节课的收获. （四）布置作业 1.必做题：习题 2.思考题 如图，要在Ｓ区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁
路交叉处500米,这个集贸市场应建在何处(在图上标出它的位置,比例尺1: 20000)? (五)结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之于人 条理清晰,因果相应,言必有据,是学习者谨记和遵循的原则. 希望每一个同学都能用聪明和智慧编织出更加精彩的人生! 五、板书设计 第1课时角的平分线的性质 1.角的平分线的作法 2.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等 3.应用 已知:∠MAN 已知:如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上 PD⊥OA,PE⊥OB, 求作:∠MAN的角平分线 垂足分别为点D、E. 求证:PD=PE. ∴射线AC即为所求 符号语言 ∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别为点D、E. ∴PD=PE 六、教学反思
C A D N B M N M 路交叉处 500 米，这个集贸市场应建在何处（在图上标出它的位置，比例尺 1： 20000）? （五）结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之于人. 条理清晰,因果相应,言必有据,是学习者谨记和遵循的原则. 希望每一个同学都能用聪明和智慧编织出更加精彩的人生！ 五、板书设计 第 1 课时 角的平分线的性质 1. 角的平分线的作法 2. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 3.应用 已知：∠MAN 已知：如图，∠AOC=∠B OC，点 P 在 OC 上， PD⊥OA，PE⊥OB， 求作：∠MAN 的角平分线 垂足分别为点 D、E. 求证: PD=PE. ∴ 射线 AC 即为所求. 符号语言： ∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB，垂足 分别为点 D、E. ∴ PD=PE 六、教学反思 B P O A C E D
