角的平分线的性质(一) 教学目标 1、应用三角形全等的知识,解释角平分线的原理 2.会用尺规作一个已知角的平分线 教学重点 利用尺规作已知角的平分线 教学难点 角的平分线的作图方法的提炼 教学过程 I.知识回顾 问题1:三角形中有哪些重要线段 问题2:你能作出这些线段吗? Ⅱ.合作探究 思考:右图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在 角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就 是角平分线.你能说明它的道理吗? 要说明AC是∠DAC的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB ∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中,那么证明这两个三角形全等 就可以了 看看条件够不够 在△ABC和△ADC.因为 所以△ABC≌△ADC(SSS) D 所以∠CAD=∠CAB 即射线AC就是∠DAB的平分线 这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平 分线的方法 作已知角的平分线的方法 已知:∠AOB 求作:∠AOB的平分线 作法: (1)以0为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、QB于M、N. 第1页
第 1 页 角的平分线的性质（一） 教学目标 1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理． 2．会用尺规作一个已知角的平分线． 教学重点 利用尺规作已知角的平分线． 教学难点 角的平分线的作图方法的提炼． 教学过程 Ⅰ．知识回顾 问题 1：三角形中有哪些重要线段． 问题 2：你能作出这些线段吗？ Ⅱ．合作探究 思考：右图是一个平分角的仪器，其中 AB=AD，BC=DC．将点 A 放在 角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就 是角平分线．你能说明它的道理吗？ 要说明 AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB． ∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等 就可以了． 看看条件够不够 在△ABC 和△ADC．因为 所以△ABC≌△ADC（SSS）． 所以∠C AD=∠CAB． 即射线 AC 就是∠DAB 的平分线． 这种平分角的方法告诉了我们一种作已知角的平 分线的方法。 作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB． 求作：∠AOB 的平分线． 作法： （1）以 O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 OA、OB 于M、N．
(2)分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB 内部交于点C. (3)作射线OC,射线OC即为所求 议一议 1.在上面作法的第二步中,去掉“大于N的长”这个条件行吗? 2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗? 总结: 1.去掉“大于MN的长”这个条件,所作的两弧可能没有交点,所 以就找不到角的平分线 2.若分别以M、N为圆心,大于!MN的长为半径画两弧,两弧的交点 可能在∠AOB的内部,也可能在∠AOB的外部,而我们要找的是∠AOB 内部的交点,否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的 平分线了 3.角的平分线是一条射线.它不是线段,也不是直线,所以第二步 中的两个限制缺一不可 4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明 思考 如图,任意画一角∠BAC,做出∠BAC的角平分线AP,在AP上任取 点O,过点0画出OA,OB的垂线,分别记垂足为E,D。测量OE,OD并 作比较,你得到什么结论?在OP上再取几个点试试 通过以上测量,你发现了角的平分线的什么性质? Ⅲ.课堂精讲 我们猜想角的平分线有以下性质: 角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等 下面,我们利用三角形全等证明这个性质。首先,要先分清其中的 “已知”和“求证”。显然,已知为一的点在一个角的平分线上,要 第2页
第 2 页 （2）分别以 M、N 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点 C． （3）作射线 OC，射线 OC 即为所求． 议一议： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于 1 2 MN 的长”这个条件行吗？ 2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？ 总结： 1．去掉“大于 1 2 MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所 以就找不到角的平分线． 2．若分别以 M、N 为圆心，大于 1 2 MN 的长为半径画两弧，两弧的交点 可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点， 否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的 平分线了． 3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线， 所以第二步 中的两个限制缺一不可． 4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明． 思考 如图，任意画一角∠BAC，做出∠BAC 的角平分线 AP，在 AP 上任取一 点 O，过点 O 画出 OA,OB 的垂线，分别记垂足为 E,D。测量 OE,OD 并 作比较，你得到什么结论？在 OP 上再取几个点试试。 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ P Ⅲ.课堂精讲 我们猜想角的平分线有以下性质： 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 下面，我们利用三角形全等证明这个性质。首先，要先分清其中的 “已知”和“求证”。显然，已知为一的点在一个角的平分线上，要
证的结论是这个点到这个角两边的距离相等。为了更直观清楚地表达 题意,我们通常在证明之前画出图片,并用符号表示已知和求证 如图,∠BAO=∠CAO,OE⊥AB,OD⊥AC,垂足分别为E,D。求证OE=OD 证明:因为OE⊥AB,OD⊥AC。 所以∠OEA=ODA=90° 在△EAO和△DAO中,因为 ∠EAO=∠DAO ∠OEA=∠ODA AO=AO 以△EAO≌△DAO(AAS)所以OE=OD 一般情况下,我们要证明一个几何命题时,可以按照类似的步骤进 行,即 1.明确命题中的已知和求证 2.根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证; 3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程 Ⅳ.随堂练习。课本练习 V.课时小结 本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识,探究得到了角平分 线仪器的操作原理,由此归纳出角的平分线的尺规画法,并进一步探 究到角平分线的性质 VI.课后作业课本习题 第3页
第 3 页 证的结论是这个点到这个角两边的距离相等。为了更直观清楚地表达 题意，我们通常在证明之前画出图片，并用符号表示已知和求证 如图，∠BAO=∠CAO,OE⊥AB,OD⊥AC,垂足分别为 E,D。求证 OE=OD 证明：因为 OE⊥AB，OD⊥AC。 所以∠OEA=ODA=90° 在△EAO 和△DAO 中，因为 ∠EAO=∠DAO ∠OEA=∠ODA AO=AO 所以△EAO≌△DAO（AAS） 所以 OE=OD 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进 行，即 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程 Ⅳ．随堂练习。课本练习． Ⅴ．课时小结 本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识， 探究得到了角平分 线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探 究到角平分线的性质． VI．课后作业 课本习题