12.3角的平分线的性质(二) 项目 设计内容 说明 课题 123角的平分线的性质(第二课时) 教科书第49—50页相关内容 教学1-.探索并证明角平分线性质定理的逆定理 目标2.会用角平分线性质定理的逆定理解决问题 重点角平分线性质定理的逆定理及应用 难点灵活应用两个性质解决问题 使用多媒体课件 多媒 体 教学 教师活动 学生活动 说明或 过程 设计意 1.角的平分线的性质定理是怎样叙1集体回答: 述的? 角的平分线的性质定理:角的平 复 分线上的点到角的两边的距离相等。 习 2.用数学语言怎样描述? 2.看图说出数学语言 旧 师作出草图帮助理解 OC平分∠AOB,点P在OC上, 且PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE 导 3.反过来,到一个角的两边的距离3.讨论,证明 入相等的点是否一定在这个角的平分线上 新呢? 课 已知:如右图(1),PD⊥OA PE⊥OB,点D、E为垂足,PD=PE 求证:点P在∠AOB的平分线上 这节课我们就来探究这个问题 出示课题并板书课题 图(1) 1.如上右图(1),点P是否在∠AOB 前后桌同学讨论.并试着给出 的平分线上呢? 证明 首先我们要作出辅助线,怎么做呢? 证明:经过点P作射线OC 怎样证明呢? ∵PD⊥OA,PE⊥OB 教师巡视,引导证明 ∠PDO=∠PEO=90° 在R△PDO和Rt△PEO中 ∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL) ∠POD=∠POE, ∴点P在∠AOB的平分线上 通过证明,你得到什么结论? 即:OC平分∠AOB
12.3 角的平分线的 性质（二） 项目 设计内容 说明 课题 12.3 角的平分线的性质（第二课时） 教科书第 49——50 页相关内容 教学 目标 1 ．探索并证明角平分线性质定理的逆定理. 2．会用角平分 线性质定理的逆定理解决问题． 重点 角平分线性质定理的逆定理及应用. 难点 灵活应用两个性质解决问题． 使用 多媒 体 多媒体课件 教学 过程 教师活动 学生活动 说明或 设计意 图 复 习 旧 知 ， 导 入 新 课 1．角的平分线的性质定理是怎样叙 述的？ 2．用数学语言怎样描述？ 师作出草图帮助理解． ３．反过来，到一个角的两边的距离 相等的点是否一定在这个角的平分线上 呢？ 已知：如右图 （１）,PD⊥OA， PE⊥OB，点 D、E 为垂足，PD＝PE． 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上． 这节课我们就来探究这个问题. 出示课题并板书课题. 1 .集体回答： 角的 平分线的性质定理：角的平 分线上的点到角的两边的距离相等。 ２．看图说出数学语言： ∵ OC 平分∠AOB，点P 在 OC 上， 且 PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ PD = PE ３．讨论，证明． 图（１） [来源: 学*科 *网] 1．如上右图（１），点 P 是否在∠AOB 的平分线上呢？ 首先我们要作出辅助线，怎么做呢？ 怎样证明呢？ 教师巡视，引导证明． 通过证明，你得到什么结论？ 1．前后桌同学讨论．并试着给出 证明． 证明: 经过点 P 作射线 OC. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中 PO＝PO， PD=PE， ∴ Rt△PDO≌R t△PEO（HL） ∴ ∠ POD＝∠POE， ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 即：OC 平分∠AOB P
这就是角的平分线的性质定理的逆结论:角的内部到角的两边的距 定理,也叫做角的平分线的判定定理 离相等的点在角的平分线上。 合作探 这个定理用数学语言如何表示呢? ∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE, ∴OP平分∠AOB 角的平分线的性质定理与判定定即点P在∠AOB的平分线上 究理有什么区别呢? 2.通过老师的点拨,得出:它 出示课件加以说明. 们的题设与结论刚好相反,是一对互 老师点拨 逆定理,它们在应用上也不相同,角 解决问题 的平分线的性质可用来证明线段相 等;而角的平分线的判定定理是用来 判定角的平分线 3.随堂练习. 3.看图回答问题 填空:如右图(2) (1)∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB (2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE 图(2) 4.解决问题:(课本第49页思考题)4.动手试一试,解决问题 如下图(3),要在S区建一个贸易市解:如下图(4),作夹角的角平 场,使它到铁路和公路距离相等,离公分线OC,截取OD=25cm,D即为 路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应所求 建在何处?(比例尺为1:20000 图(3) C 5教学例1:已知:如右图(5),在 △ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F,且BE=CF。 求证:AD是∠BAC的角平分线 分析 AD是∠BAC的平分线 DE=D△BDE≌△CDF 学生如有困难,板书解题过程 图(5) 5按照老师的分析写出解题步骤 6教学例题2如下图(6),△ABC的(步骤略) 角平分线BM、CN相交于点P。求证:点6根据老师的提示思考并尝试证
合 作 探 究 ， 解 决 问 题 这就是角的平分线的性质定理的逆 定理，也叫做角的平分线的判定定理． 这个定理用数学语言如何表示呢？ ２．角的平分线的性质定理与判定定 理有什么区别呢？ 出示课件加以说明． 老师点拨． ３．随堂练习． 填空：如右图（２） (1)∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB ∴___________ (__________________________) (２)∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC =DE ∴__________ (_ _____________________________) ４．解决问题：（课本第 49 页思考题） 如下图（3），要在 S 区建一个贸易市 场，使它到铁路和公路距离相等， 离公 路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应 建在何处？（比例尺为 1︰20000） 图（3） 5.教学例 1：已知：如右图（5）,在 △ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是 E，F，且 BE＝CF。 求证：AD 是∠BAC 的角平分线 分析： AD 是∠BAC 的平分线 DE＝DF △BDE≌△CDF 学生如有困难，板书解题过程. 6.教学例题 2.如下图（6），△ABC 的 角平分线 BM、CN 相交于点 P。求证：点 结论：角的内部到角的两边的距 离相等的点在角的平分线上。 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE． ∴OP 平分∠AOB． 即点 P 在∠AOB 的平分线上. ２．通过老师的点拨，得出：它 们的题设与结论刚好相反，是一对互 逆定理，它们在应用上也不相同，角 的平分线的性质可用来证明线段相 等；而角的平分线的判定定理是用来 判定角的平分线． ３．看图回答问题． 图（２） ４．动手试一试，解决问题. 解：如下图（4），作夹角的角平 分线 OC，截取 OD=2.5cm ,D 即为 所求。 图（4） 图（5） 5.按照老师的分析写出解题步骤. （步骤略） 6.根据老师的提示思考并尝试证 A B C E s O A C D E B 1 2 s D C
P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明:过点P作PD⊥AB于D PE⊥BC于E,PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点 P在BM上(已知 ∴PD=PE.(在角平分线上的点到 角的两边的距离相等) 同理PE=PF ∴PD=PE=PF 图(6) 即点P到边AB、BC、CA的距 点拨:过点P作PD⊥AB于D,离相等 PE⊥BC于E,PF⊥AC于F 想一想:点P也在∠A的平分线上思考并回答:点P也在∠A的平 吗?这说明三角形的三条角平分线有什分线上,角形三条角平分线相交于 么关系? 1.练习.(课本P50页练习第2题) 1.同桌讨论并解题 如右图(7),△ABC的∠B的外角平 (解题步骤略) 分线BD与∠C的外角平分线CE相交于 点P求证:点P到三边AB,BC,CA所 在直线的距离相等 E 2已知:如右图(8),BE⊥AC于E CF⊥AB于F,BE、CF相交于D,BD=CD 求证:AD平分∠BAC 图(7) 堂练习,巩固提升 E E C 图(9) 3、变式 图(8) 已知:如上图(9),在△ABC中 2与3学生画出草图,自己解 =CD,∠1=∠2 题个别学生上台板演 求证:AD平分∠BAC 巡视,对有困难的学生给予帮助 待学生做完后讲评 1.这节课你有什么收获和体会? 自主回答,畅所欲言 课堂小 2.这节课我们学习了哪些知识要 提出疑问,当堂解决 点? 3.怎样用数学语言表达角的平分线
P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等. 图（6） 点拨：过点 P 作 PD⊥AB 于 D， PE⊥BC 于 E， PF⊥AC 于 F 想一想：点 P 也在∠A 的平分线上 吗？这说明三角形的三条角平分线有什 么关系？ 明. 证明：过点 P 作 PD⊥AB 于 D， PE⊥BC 于 E， PF⊥AC 于 F ∵BM 是△AB C 的角平分线，点 P 在 BM 上（已知） ∴PD=PE.（在角平分线上的点到 角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点 P 到边 AB、BC、CA 的距 离相等. 思考并回答：点 P 也在∠A 的平 分线上 ，角形三条角平分线相交于一 点． 课[来 源:学* 科*网] 堂 练 习 ， 巩 固 提 升 1.练习.（课本 P50 页练习第 2 题.） 如右图（7），△ABC 的∠B 的外角平 分线 BD 与∠C 的外角平分线 CE 相交于 点 P.求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 所 在直线的距离相等 2.已知：如右图（8），BE⊥AC 于 E， CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD . 求证： AD 平分∠BAC . 图（9） 3、变式： 已知：如上图（9）,在△ABC 中， BD ＝CD, ∠1= ∠2. 求证：AD 平分∠BAC. 巡视，对有困难的学生给予帮助. 待学生做完后讲评. 1.同桌讨论并解题. （解题步骤略） 图（7） 图（8） 2 与 3 学生画出草图，自己解 题.个别学生上台板演. 课 堂 小 1．这节课 你有什么收获和体会？ 2．这节课我们学习了哪些知识要 点？ ３．怎样用数学语言表达角的平分线 自主回答，畅所欲言. 提出疑问，当堂解决. A B C F E D A B C D E F 1 2 A B C P
结的判定定理? 4.你还有哪些困惑? 释疑 课本第51页习题12.3第3、6、7题 布置作业 123角的平分线的性质(第二课时) 角平分线的判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线 上。(如下图) PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE ∴OP平分∠AOB. 板书设计 即点P在∠AOB的平分线上 ∴PD=PE(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。) 例1 A B 例2 练习讲评 1.如下图,已知BD⊥AM于点DCE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F 在∠A的平分线上 2、如下图,要在S区建一个广告牌P,使它到两条公路和一条铁路的距离都相等.这 作个广告牌P应建在何处? 业设计 公路 公路 铁路 D E B 第1题图 第2题图 3、如图所示,BF与CE相交于D,BD=CD,BF⊥AC于F,CE⊥AB于E。求证:点
P A O B C E D 1 2 A F A D D E B N F M C 结 的判定定理？ ４．你还有哪些困惑？ 释疑. 布 置 作 业 课本第 51 页习题 12.3 第 3、6、7 题. 板 书 设 计 12.3 角的平分线的性质（第二课时） 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线 上。（如下图） ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE． ∴OP 平分∠AOB． 即点 P 在∠AOB 的平分线 上 ∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。） 例 1： 例 2： 练习讲评： 作 业 设 计 １．如下图， 已知:BD⊥AM 于点 D,CE⊥AN 于点 E,BD,CE 交点 F,CF=BF,求证:点 F 在∠A 的平分线 上. 2、如下图，要在 S 区建一个广告牌 P，使它到两 条公路和一条铁路的距离都相等．这 个广告牌 P 应建在 何处？ [来源:学§ 科§网 Z§X§X§K] 第１题图 第２题图 3、如图所示，BF 与 CE 相交于 D，BD=CD，BF⊥AC 于 F，CE⊥AB 于 E。求证：点 公路 公路 铁路 S
D在∠BAC的角平分线上 第3题图 第4题图 、已知PA=PB,∠1+∠2=1800, 求证:OP平分∠AOB 5、如下图,△ABC中,点O是∠BAC与∠ABC的平分线的交点,过O作与BC平行 的直线分别交AB、AC于D、E.已知△ABC的周长为15,BC的长为6,求△ADE的周 E 第5题图 教学 反
D 在∠BAC 的角平分线上。 第３题图 第４题图 4、已知 PA=PB， ∠1+ ∠2=1800， 求证：OP 平分∠AOB 5、如下图，△ABC 中，点 O 是∠BAC 与∠ABC 的平分线的交点，过 O 作与 BC 平行 的直线分别交 AB、AC 于 D、E．已知△ABC 的周长为 15，BC 的长为 6，求△ADE 的周 长. 第 5 题图 [来源: 学科 网 ZXXK ] 教 学 反 思 C B A D E O A O B P 1 2 E ┌ F ┌ E A B D F C