免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 13.3等腰三角形 基础巩固 1.若等腰三角形底角为72°,则顶角为() B.72 C.54 2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD=BD=BC,则∠C=() A A.72° B.60° D.45° 3.若等腰三角形的周长为26cm,一边为11cm,则腰长为() B. 7.5 cm C.11cm或7.5cm D.以上都不对 4.下列三角形:①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形:③ 个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形:④一腰上的中线也是这条腰上的高的等 腰三角形.其中是等边三角形的有( A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④ 5.如图所示,已知∠1=∠2,要使BD=CD,还应增加的条件是() ①AB=AC②∠B=∠C③AD⊥BC④AB=BC B.①② C.①②③ D.①②③④ 6.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于点D,若AD=2,则AB= A B 能力提升 7.如图,在△ABC中,AB=AC,BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,EF过D点,且 EF∥BC,图中等腰三角形共有( 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 13.3 等腰三角形 基础巩固 1．若等腰三角形底角为 72°，则顶角为( ) A．108° B．72° C．54° D．36° 2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，则∠C＝( ) A．72° B．60° C．75° D．45° 3．若等腰三角形的周长为 26 cm，一边为 11 cm，则腰长为( ) A．11 cm B．7.5 cm C．11 cm 或 7.5 cm D．以上都不对 4．下列三角形：①有两个角等于 60°的三角形；②有一个角等于 60°的等腰三角形；③三 个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等 腰三角形．其中是等边三角形的有( ) A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 5．如图所示，已知∠1＝∠2，要使 BD＝CD，还应增加的条件是( ) ①AB＝AC ②∠B＝∠C ③AD⊥BC ④AB＝BC A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 6．如图所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB 于点 D，若 AD＝2，则 AB＝ __________. 能力提升 7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD 和 CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，EF 过 D 点，且 EF∥BC，图中等腰三角形共有( )
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ B C A.2个 C.4个 D.5个 8.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,如果C也是图 中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是() B B.7 C.8 9.如图,D是△ABC中BC边上一点,AB=AC=BD,则∠1和∠2的关系是() B C B.∠1+∠2=90° C.180°-∠1=3∠2 D.180°+∠2=3∠1 10.如图,△ABC中,AB=AC,∠C=30°,DA⊥BA于A,BC=4.2cm,则AD= 11.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,按以下步骤作图: D (1)分别以A,B为圆心,以大于AB的长为半径做弧,两弧相交于点P和的 (2)作直线PQ交AB于点D,交BC于点E,连接AE若CE=4,则AE= 2.如图所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,求PD的长 13.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,且∠AEF=∠AFE求证:EF⊥ 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 A，B 是两格点，如果 C 也是图 中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点 C 的个数是( ) A．6 B．7 C．8 D．9 9．如图，D 是△ABC 中 BC 边上一点，AB＝AC＝BD，则∠1 和∠2 的关系是( ) A．∠1＝2∠2 B．∠1＋∠2＝90° C．180°－∠1＝3∠2 D．180°＋∠2＝3∠1 10．如图，△ABC 中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA 于 A，BC＝4.2 cm，则 AD＝__________. 11．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，按以下步骤作图： (1)分别以 A，B 为圆心，以大于 1 2 AB 的长为半径做弧，两弧相交于点 P 和 Q； (2)作直线 PQ 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE.若 CE＝4，则 AE＝__________. 12．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若 PC＝4，求 PD 的长． 13．如图所示，在△ABC 中，AB＝AC，点 E 在 CA 的延长线上，且∠AEF＝∠AFE.求证：EF⊥ BC
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ B C 14.如图,在△ABC中,∠ACB=45°,∠A=90°,BD是∠ABC的角平分线,CH⊥BD,交BD 的延长线于B,求证:BD=2CH 1-5.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A,C 不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不 与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接P交AB于D (1)当∠BQ=30°时,求AP的长; (2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长:如果变化请说 明理由 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 14．如图，在△ABC 中，∠ACB＝45°，∠A＝90°，BD 是∠ABC 的角平分线，CH⊥BD，交 BD 的延长线于 H，求证：BD＝2CH. 1 5．如图，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动(与 A，C 不重合)，Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动(Q 不 与 B 重合)，过 P 作 PE⊥AB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D. (1)当∠BQD＝30°时，求 AP 的长； (2)当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说 明理由．
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 参考答案 1.D点拨:等腰三角形两底角相等,所以顶角为36°,故选D. 点拨:设∠A=x,由已知可知,∠BDC=∠C=∠ABC=2∠A=2x, 因为∠A+∠ABC+∠C=180° 所 以x+2x+2x=180 解得x=36°,所以∠C=72°,故选A. 3.C点拨:边长为11cm的边长可能是腰,也可能是底,所以要分两种情况讨论.一种 情况腰长为11cm;另一种情况底边为11cm,此时腰长为7.5cm,两种情况都成立,故选 c 4.D点拨:①②为判定定理,③每个外角都相等,则都是120°,所以每个内角都是60°, ④一腰上的中线也是这条腰上的高,说明这条线段所在的直线是这条腰的垂直平分线,所以 腰等于底,也是等边三角形,四个都成立,故选D. 5.C点拨:①②说明△ABC为等腰三角形,由“三线合一”可知BD=CD,由③能得到 △ABD≌△ACD,所以B=CD,④不能得到BD=CD,故选C 6.8点拨:由题意可知,在Rt△ACD和Rt△ABC中,∠ACD=∠B=30° 所以AC=2AD,AB=2AC 所以AB=4AD=4×2=8 7.D点拨:由题意知,AB=AC,AE=AF,BE=DE,CF=DF,BD=CD,所以所有的三角形都 是等腰三角形,共有5个,故选D 8.C点拨:如图,共有8个格点.注意3和8也是,故选C 9.D点拨:因为AB=BD 所以∠B=180°-2∠1,∠C=∠1-∠2. 因为AB=AC,所以∠B=∠C 所以180°-2∠1=∠1-∠2, 整理得180°+∠2=3∠1,故选D 10.1.4cm点拨:由已知可以推出∠B=∠CAD=∠C=30°,AD=DC,DA⊥BA于A,所以 BD- 2AD 所以BC=3DC=3AD=4.2(cm) 所以A=1.4cm 11.8点拨:由题意可得出:PQ是AB的垂直平分线,∴AE=BE ∵在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60° ∠EAB=∠CAE=30 ∴CE=-AE=4.∴AE=8. 12.解:如图,过P作PE⊥OB,垂足为E 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 参考答案 1．D 点拨：等腰三角形两底角相等，所以顶角为 36°，故选 D. 2．A 点拨：设∠A＝x，由已知可知，∠BDC＝∠C＝∠ABC＝2∠A＝2x， 因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°， 所以 x＋2x＋2x＝180°. 解得 x＝36°，所以∠C＝72°，故选 A. 3．C 点拨：边长为 11 cm 的边长可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况讨论．一种 情况腰长为 11 cm；另一种情况底边为 11 cm，此时腰长为 7.5 cm，两种情况都成立，故选 C. 4．D 点拨：①②为判定定理，③每个外角都相等，则都是 120°，所以每个内角都是 60°， ④一腰上的中线也是这条腰上的高，说明这条线段所在的直线是这条腰的垂直平分线，所以 腰等于底，也是等边三角形，四个都成立，故选 D. 5．C 点拨：①②说明△ABC 为等腰三角形，由“三线合一”可知 BD＝CD，由③能得到 △ABD≌△ACD，所以 BD＝CD，④不能得到 BD＝CD，故选 C. 6．8 点拨：由题意可知，在 Rt△ACD 和 Rt△ABC 中，∠ACD＝∠B＝30°， 所以 AC＝2AD，AB＝2AC. 所以 AB＝4AD＝4×2＝8. 7．D 点拨：由题意知，AB＝AC，AE＝AF，BE＝DE，CF＝DF，BD＝CD，所以所有的三角形都 是等腰三角形，共有 5 个，故选 D. 8．C 点拨：如图，共有 8 个格点．注意 3 和 8 也是，故选 C. 9．D 点拨：因为 AB＝BD， 所以∠B＝180°－2∠1，∠C＝∠1－∠2. 因为 AB＝AC，所以∠B＝∠C. 所以 180°－2∠1＝∠1－∠2， 整理得 1 80°＋∠2＝3∠1，故选 D. 10．1.4 cm 点拨：由已知可以推出∠B＝∠CAD＝∠C＝30°，AD＝DC，DA⊥BA 于 A，所以 BD＝2AD. 所以 BC＝3DC＝3AD＝4.2(cm)． 所以 AD＝1.4 cm. 11．8 点拨：由题意可得出：PQ 是 AB 的垂直平分线，∴AE＝BE. ∵在△ABC 中，∠C＝90°，∠CAB＝60°， ∴∠CBA＝30°，∴∠EAB＝∠CAE＝30°. ∴ 1 4 2 CE AE = = .∴AE＝8. 12．解：如图，过 P 作 PE⊥OB，垂足为 E
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ B ∴∠AOP=∠BOP=15°,PD⊥OA, PC∥OA,∴∠CPO=∠AOP=15° ∴∠BCP=∠B0叶+∠CPD=30°, 在Rt△CPE中,∠ECP=30° PE=-PC ∴PD=PE=2. 13.证明:如图,过A作AD⊥BC,垂足为D,∵AB=AC, ∴∠BAD=-∠BAC ∴∠AEF=∠AFE, ∠BAC=∠AEF+∠AFE, ∠EFA=-∠BAC ∠EFA=∠BAD ∴EF∥AD,∵EF⊥BC. 14.证明:如图,分别延长CH,BA交于点E E A ∵CH⊥BD,BD是∠ABC的角平分线, ∠CHB=∠EBB=90°,∠CBH=∠EBH 又∵B=B,∴△CB CE=2CH ∴∠ACb=45 ∠ABC=45° ∴∠ACB=∠ABC.∴AC=AB ∵∠CAB=∠CAE=90°, ∠B+∠ECA=90° 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∵∠AOP＝∠BOP＝15°，PD⊥OA， ∴PD＝PE. ∵PC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP＝15°. ∴∠BCP＝∠BOP＋∠CPO＝30°， 在 Rt△CPE 中，∠ECP＝30°， ∴ 1 1 4 2 2 2 PE PC = = = . ∴PD＝PE＝2. 13．证明：如图，过 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，∵AB＝AC， ∴ 1 2 = BAD BAC . ∵∠AEF＝∠AFE， ∠BAC＝∠AEF＋∠AFE， ∴ 1 2 = EFA BAC . ∴∠EFA＝∠BAD. ∴EF∥AD，∴EF⊥BC. 14．证明：如图，分别延长 CH，BA 交于点 E. ∵CH⊥BD，BD 是∠ABC 的角平分线， ∴∠CHB＝∠EHB＝90°，∠CBH＝∠EBH. 又∵BH＝BH，∴△CBH≌△EBH. ∴CH＝EH.∴CE＝2CH. ∵∠ACB＝45°，∠CAB＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB. ∵∠CAB＝∠CAE＝90°， ∴∠E＋∠ECA＝90°
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ CH⊥BD,∴∠E+∠EBH=90 ∴∠EC=∠EB.∴△ECA≌△DBA. D∴BD=2CH. 15.解:(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,∴∠ACB=60 ∠BQD=30°,∴∠QPC=90° 设AP=x,则PC=6-x,QB=x, ∴C=B+BC=6+x. 在Rt△QCP中,∠BQD=30°, PC=QC,即6-x=(6+x) 解得x=2.∴AP=2. (2)当点P,Q运动时,线段DE的长度不会改变.理由如下: 作QF⊥AB,交AB的延长线于点F,连接E,PF,又∵PE⊥AB于E, ∴∠DFQ=∠AEP=90 ∵点P,Q速度相同 △ABC是等边三角形 A ∠A=∠ABC=∠FBQ=60 在△AE和△BQF中, ∵∠AEP=∠BFQ=90°, ∴∠APE=∠BQF 在△APE和△BQF中, ∠AEP=∠BF,∠A=∠FBQ,AP=BQ, △APE≌△BQF(AS) AE=BF,PE=QF且PE∥QF ∴四边形PEQF是平行四边形 ∴DE=-EF ∵EB+AE=BE+BF=AB, DE=-AB 又∵等边△ABC的边长为6,∴DE=3. ∴当点P,Q运动时,线段DE的长度不会改变 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∵CH⊥BD，∴∠E＋∠EBH＝90°. ∴∠ECA＝∠EBH.∴△ECA≌△DBA. ∴CE＝BD.∴BD＝2CH. 15．解：(1)∵△ABC 是边长为 6 的等边三角形，∴∠ACB＝60°. ∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°. 设 AP＝x，则 PC＝6－x，QB＝x， ∴QC＝QB＋BC＝6＋x. ∵在 Rt△QCP 中，∠BQD＝30°， ∴ 1 2 PC QC = ，即 1 6 (6 ) 2 − = + x x ， 解得 x＝2.∴AP＝2. (2)当点 P，Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变．理由如下： 作 QF⊥AB，交 AB 的延长线于点 F，连接 QE，PF，又∵PE⊥AB 于 E， ∴∠DFQ＝∠AEP＝90°. ∵点 P，Q 速度相同，∴AP＝BQ. ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°. 在△APE 和△BQF 中， ∵∠AEP＝∠BFQ＝90°， ∴∠APE＝∠BQF. 在△APE 和△BQF 中， ∠AEP＝∠BFQ，∠A＝∠FBQ，AP＝BQ， ∴△APE≌△BQF(AAS)． ∴AE＝BF，PE＝QF 且 PE∥QF. ∴四边形 PEQF 是平行四边形． ∴ 1 2 DE EF = . ∵EB＋AE＝BE＋BF＝AB， ∴ 1 2 DE AB = . 又∵等边△ABC 的边长为 6，∴DE＝3. ∴当点 P，Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变．