免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 13.4最短路径问题 基础巩固 1.有两棵树位置如图,树脚分别为A,B.地上有一只昆虫沿AB的路径在地面上爬行.小 树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后,再飞到大树的树顶C处,问小鸟飞至AB之间何处 时,飞行距离最短,在图中画出该点的位置 2.已知,如图所示,甲、乙、丙三个人做传球游戏,游戏规则如下:甲将球传给乙,乙将 球立刻传给丙,然后丙又立刻将球传给甲.若甲站在∠AOB内的P点,乙站在OA上,丙站 在OB上,并且甲、乙、丙三人的传球速度相同.问乙和丙必须站在何处,才能使球从甲到 乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少? B 3.如图所示,P,Q为△ABC边上的两个定点,在BC上求作一点R,使△PQR的周长最小 C 4.七年级(1)班同学做游戏,在活动区域边OP放了一些球(如图),则小明按怎样的路线跑, 去捡哪个位置的球,才能最快拿到球跑到目的地A? O 能力提升 5.公园内两条小河M,MO在O处汇合,两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示).现计 划在两条小河上各建一座小桥Q和R,并在半岛上修三段小路,连通两座小桥与景点,这两 座小桥应建在何处才能使修路费用最少?请说明理由 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
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免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 6.如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A,B到河岸CD的距离分别为AC,BD且AC=BD 若A到河岸CD的中点的距离为500m B (1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短?在图中作出 该处,并说明理由 (2)最短路程是多少? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 6．如图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A，B 到河岸 CD 的距离分别为 AC，BD，且 AC＝BD， 若 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 m. (1)牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出 该处，并说明理由； (2)最短路程是多少？
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 参考答案 1.解:如图,作D关于AB的对称点D,连接CD交AB于点E,则点E就是所求的点. 2.解:如图所示,(1)分别作点P关于OA,OB的对称点B,B (2)连接PB2,与OA,OB分别相交于点M,M. 因为乙站在OA上,丙站在OB上,所以乙必须站在OA上的M处,丙必须站在OB上的N处才 能使传球所用时间最少 B P2 3.解:(1)作点P关于BC所在直线的对称点P (2)连接PQ,交BC于点R,则点R就是所求作的点(如图所示) B 4.解:如图,作小明关于活动区域边线OP的对称点A,连接AA交OP于点B,则小明 行走的路线是小明→B→A,即在B处捡球,才能最快拿到球跑到目的地A A 小明 5.解:如图,作P关于OM的对称点P,作P关于OMV的对称点P”,连接PP",分别 交MO,MO于Q,R,连接P,P,则P=P,PR=P"R,则Q,R就是小桥所在的位置 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 参考答案 1．解：如图，作 D 关于 AB 的对称点 D′，连接 CD′交 AB 于点 E，则点 E 就是所求的点． 2．解：如图所示，(1)分别作点 P 关于 OA，OB 的对称点 P1，P2； (2)连接 P1P2，与 OA，OB 分别相交于点 M，N. 因为乙站在 OA 上，丙站在 OB 上，所以乙必须站在 OA 上的 M 处，丙必须站在 OB 上的 N 处才 能使传球所用时间最少． 3．解：(1)作点 P 关于 BC 所在直线的对称点 P′； (2)连接 P′Q，交 BC 于点 R，则点 R 就是所求作的点(如图所示)． 4．解：如图，作小明关于活动区域边线 OP 的对称点 A′，连接 AA′交 OP 于点 B，则小明 行走的路线是小明→B→A，即在 B 处捡球，才能最快拿到球跑到目的地 A. 5．解：如图，作 P 关于 OM 的对称点 P′，作 P 关于 ON 的对称点 P″，连接 P′P″，分别 交 MO，NO 于 Q，R，连接 PQ，PR，则 P′Q＝PQ，PR＝P″R，则 Q，R 就是小桥所在的位置．
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ N 理由:在OM上任取一个异于Q的点q,在ON上任取一个异于R的点R,连接PQ,PQ qR,P"R,PR,则P=Pq,PP=P"R,且Pq+qR+RP>PQ QR+BP”,所以△PQR的周长最小,故Q,R就是我们所求的小桥的位置 6.解:(1)作法:如图作点A关于CD的对称点A 连接A′B交CD于点M则点M即为所求的点 证明:在C上任取一点M,连接AM,A"M,BM,AM 因为直线CD是A,A'的对称轴,M,M在CD上,所以AM=A'M,AM=AM 所以AM+B∥=AM+BM=AB, 在△AMB中,因为AM+B>AB, 所以AM+,BM=AM+B> AM+ BMA,即 AM+ Bl最小 (2)由(1)可得AC=AC=BD, 所以△ACM≌△BDM, 即A"M=BM,CM=DM, 所以M为CD的中点,且AB=2AM, 因为AM=500m, 所以AB=AMH+BM=2AM=1000 即最短路程为1000m 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 理由：在OM上任取一个异于 Q的点Q′，在O N上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′， Q′R′，P″R′，PR′，则 PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且 P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q ＋QR＋RP″，所以△PQR 的周长最小，故 Q，R 就是我们所求的小桥的位置． 6．解：(1)作法：如图作点 A 关于 CD 的对称点 A′； 连接 A′B 交 CD 于点 M.则点 M 即为所求的点． 证明：在 CD上任取一点 M′，连接 AM′，A′M′，BM′，AM， 因为直线 CD 是 A，A′的对称轴，M，M′在 CD 上，所以 AM＝A′M，AM′＝A′M′， 所以 AM＋BM＝A′M＋BM＝A′B， 在△A′M′B 中，因为 A′M′＋BM′＞A′B， 所以 AM′＋BM′＝A′M′＋BM′＞AM＋BM，即 AM＋BM 最小． (2)由(1)可得 A′C＝AC＝BD， 所以△A′CM≌△BDM， 即 A′M＝BM，CM＝DM， 所以 M 为 CD 的中点，且 A′B＝2AM， 因为 AM＝500 m， 所以 A′B＝AM＋BM ＝2AM＝1 000 m. 即最短路程为 1 000 m