第四章图形的相似 一、选择题 1、【基础题】在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离为25cm,则甲、乙两地的实际距离 是( A.1250千米B.125千米C.12.5千米D.1.25千米 2、【基础题】已知 则的值是( 3、【基础题】如右图,在△ABC中,看DE∥BCAD_1.DE=4cm,则BC的长为() BD 2 a. 8 cm B. 12 cn C. ll cm D. 10cm 图27 4、【基础题】如右图,DE是ΔABC的中位线,则ΔADE与△ABC的面积之比是( A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4 5、【基础题】如下图,小正方形的边长均为1,则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()★ ★★ N B 6、【基础题】下列结论不正确的是 A.所有的矩形都相似 B.所有的正方形都相似 C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的正八边形都相似 7、【基础题】下列说法中正确的是() A.位似图形可以通过平移而相互得到B.位似图形的对应边平行且相等 C.位似图形的位似中心不只有一个 D.位似中心到对应点的距离之比都相等
第四章 图形的相似 一、选择题 1、【基础题】在比例尺为 1：5000 的地图上，量得甲，乙两地的距离为 25 cm，则甲、乙两地的实际距离 是 ( ) A. 1250 千米 B. 125 千米 C. 12.5 千米 D. 1.25 千米 2、【基础题】已知 13 5 ＝ a b ，则 a b a b ＋ － 的值是（ ） ★ A. 3 2 B. 2 3 C. 4 9 D. 9 4 3、【基础题】如右图，在△ABC 中，看 DE∥BC， 1 2 AD BD = ，DE＝4 cm，则 BC 的长为 ( ) A．8 cm B．12 cm C．11 cm D．10 cm 4、【基础题】如右图，DE 是 ΔABC 的中位线，则 ΔADE 与 ΔABC 的面积之比是（ ） A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4 5、【基础题】如下图，小正方形的边长均为 1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( ) ★ ★★ 6、【基础题】下列结论不正确的是( ) ★ A. 所有的矩形都相似 B. 所有的正方形都相似 C. 所有的等腰直角三角形都相似 D. 所有的正八边形都相似 7、【基础题】下列说法中正确的是( ) ★ A. 位似图形可以通过平移而相互得到 B. 位似图形的对应边平行且相等 C. 位似图形的位似中心不只有一个 D. 位似中心到对应点的距离之比都相等 A B C
8、【综合题I】如左下图,ABCD是正方形,E是CD的中点,P是BC边上的一点,下列条件中, 不能推出△ABP与△ECP相似的是() ★★★ A.∠APB=∠EPC B.∠APE=90°C.P是BC的中点 D BP.BC=2.3 D E B 9、【综合题Ⅱ】如右上图,Rt△ABC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点, 作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,设BP=x,则PD+PE=() 3B.4 C 5 10、【综合题Ⅲ】如图,在Rt△ABC内有边长分别为a,b,c的三个正方形.则a、b、c满足的关系式是 A. b=a+c a+c D. b=2a=2c 、填空题 11、【基础题】在同一时刻,高为1.5m的标杆的影长为25m,一古塔在地面上影长为50m,那么古塔的高 为 12、【基础题】两个相似三角形面积比是9:25,其中一个三角形的周长为36cm,则另一个三角形的周长 13、【综合题I】如左下图,在△ABC中,AB=5,D、E分别是边AC和AB上的点,且∠ADE=∠B, DE=2, 那么AD·BC= A B
8、【综合题Ⅰ】如左下图，ABCD 是正方形，E 是 CD 的中点，P 是 BC 边上的一点，下列条件中， 不能推出△ABP 与△ECP 相似的是（ ） ★★★ A. ∠APB＝∠EPC B. ∠APE＝90° C. P 是 BC 的中点 D. BP︰BC＝2︰3 9、【综合题Ⅱ】如右上图,Rt△ABC 中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，P 是 BC 边上一点， 作 PE⊥AB 于 E，PD⊥AC 于 D，设 BP＝x，则 PD+PE＝（ ） A. 3 5 x + B. 4 5 x − C. 7 2 D. 2 12 12 5 25 x x − 10、【综合题Ⅲ】如图，在 Rt△ABC 内有边长分别为 a，b，c 的三个正方形．则 a、b、c 满足的关系式是 （ ） A. b a c = + B. b ac = C. 2 2 2 b a c = + D. bac = = 2 2 二、填空题 11、【基础题】在同一时刻，高为 1.5m 的标杆的影长为 2.5m，一古塔在地面上影长为 50m，那么古塔的高 为 ． 12、【基础题】两个相似三角形面积比是 9∶25，其中一个三角形的周长为 36cm，则另一个三角形的周长 是 ． 13、【综合题Ⅰ】如左下图，在△ABC 中，AB＝5，D、E 分别是边 AC 和 AB 上的点，且∠ADE＝∠B， DE＝2， 那么 AD·BC＝ . ★★★ A B C D E P
14、【基础题】如右上图,在△ABC和△DEF中,G、H分别是边BC和EF的中点,已知AB=2DE,AC : 2DE BAC=∠EDF.那么AG;DH=,△ABC与△DEF的面积比是 ★★★ 15、【基础题】把一个三角形改做成和它相似的三角形,如果面积缩小到原来的_倍,边长应缩小到原来 的倍 16、【综合Ⅱ】如左下图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,若AD=1,BD=4,则CD= 17、【基础题】如右上图,一人拿着一支厘米小尺,站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺 竖直 看到尺上12厘米的长度恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,则电线杆的高为 18、【基础题】已知一本书的宽与长之比为黄金比,且这本书的长是20cm,则它的宽为cm.(结果保 留根号) 19、【综合Ⅲ】顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形,如图,在△ABC中,AB=AC=1,∠A=36 BD是三角形ABC的角平分线,那么AD D B C 20、【提高题】如图,点A,A,A,A4在射线OA上,点B1,B2,B3在射线OB上,且 AB1∥A2B2∥AB3,A2B1∥AB2∥A4B3.若△A2BB2、△AB2B3的面积分别为1、4,则图中三个 阴影三角形面积之和为 B2 BI (第20题图)
14、【基础题】如右上图，在△ABC 和△DEF 中，G、H 分别是边 BC 和 EF 的中点，已知 AB＝2DE，AC ＝2DF， ∠BAC＝∠EDF. 那么 AG：DH＝ ，△ABC 与△DEF 的面积比是 . ★★★ 15、【基础题】把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的 2 1 倍，边长应缩小到原来 的____倍. 16、【综合Ⅱ】如左下图在 Rt△ABC 中, ∠ACB＝90°,CD⊥AB 于 D，若 AD＝1，BD＝4，则 CD＝ . ★ 17、【基础题】如右上图，一人拿着一支厘米小尺，站在距电线杆约 30 米的地方，把手臂向前伸直，小尺 竖直， 看到尺上 12 厘米的长度恰好遮住电线杆，已知手臂长约 60 厘米，则电线杆的高为 . ★ ★★ 18、【基础题】已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是 20 cm，则它的宽为_____cm.（结果保 留根号） 19、【综合Ⅲ】顶角为 36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△ABC 中，AB＝AC＝1，∠A＝36°， BD 是三角形 ABC 的角平分线，那么 AD＝ . ★ 20 、【提高题】 如 图 ， 点 A A A A 1 2 3 4 ， ， ， 在射线 OA 上，点 B B B 1 2 3 ， ， 在射线 OB 上，且 A B A B A B 1 1 2 2 3 3 ∥ ∥ ， A B A B A B 2 1 3 2 4 3 ∥ ∥ ．若 △A B B 2 1 2、△A B B 323 的面积分别为 1、4，则图中三个 阴影三角形面积之和为 ． （第 20 题图） O A1 A2 A3 A4 A B B1 B2 B3 1 4
三、解答题 21、【基础题】如图,已知点E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于点F,求证△ABF∽△EAD. E 22、【综合I】如图27-106所示,已知E为□ABCD的边CD延长线上的一点,连接BE交AC于O,交 AD于F 求证BO2=OF·OE 图27-106 23、如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12cm,OB=6cm,点P从O点开始沿OA边向点A以lcm/s 的速 度移动,点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(单位: 表示移动的时间(0≤t≤6),那么 (1)当t为何值时,△POQ与△AOB相似? (2)设△POQ的面积为y,求y关于t的函数解析式 P
三、解答题 21、【基础题】如图，已知点 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，BF⊥AE 于点 F，求证△ABF∽△EAD． 22、【综合Ⅰ】如图 27－106 所示，已知 E 为 ABCD 的边 CD 延长线上的一点，连接 BE 交 AC 于 O，交 AD 于 F． 求证 BO2＝OF·OE． 23、如图，在平面直角坐标系中，已知 OA=12 cm，OB=6 cm，点 P 从 O 点开始沿 OA 边向点 A 以 1cm/s 的速 度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BO 边向点 O 以 1cm/s 的速度移动，如果 P、Q 同时出发，用 t （单位： 秒） 表示移动的时间（ 0 6 t ），那么： （1）当 t 为何值时， △POQ 与△AOB 相似？ （2）设△POQ 的面积为 y ，求 y 关于 t 的函数解析式。 O P A X Y B Q
24、【综合Ⅱ】 一天,数学课外活动小组的同学们,带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度,来评估 这些坑道对河道的影响,如图是同学们选择(确保测量过程中无安全隐患)的测量对象,测量方案如下: ①先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米 ②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上,经过适当调整自己所处的位置,当他位于B时恰好他的视 线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S(甲同学的视线起点C与点A、点S三点共线),经测量:AB=1.2 米,BC=1.6米 根据以上测量数据,求“圆锥形坑”的深度(圆锥的高),(π取3.14,结果精确到0.1米) 25、【综合Ⅱ】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,2), C(-2,6) (1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C (2)以原点O为位似中心,画出将△ABC1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2
24、【综合Ⅱ】 一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估 这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下： ①先测出沙坑坑沿的圆周长 34.54 米； ②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于 B 时恰好他的视 线经过沙坑坑沿圆周上一点 A 看到坑底 S（甲同学的视线起点 C 与点 A、点 S 三点共线），经测量：AB=1.2 米，BC=1.6 米 根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度（圆锥的高），（π 取 3.14，结果精确到 0.1 米） 25、【综合Ⅱ】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（﹣1，2）， B（﹣3，4），C（﹣2，6） （1）画出△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°后得到的△A1B1C1 （2）以原点 O 为位似中心，画出将△A1B1C1 三条边放大为原来的 2 倍后的△A2B2C2．
谷案 、选择题答案 1、【答案】选D2、【答案】选D3、【答案】选B.4、【答案】选D 5、【答案】选B6、【答案】选A7、【答案】选D8、【答案】选C 9、【答案】选A10、【答案】选A 二、填空题答案 11、【答案】30米12、【答案】60或 13、【答案】AD·BC=AB·DE=10 14、【答案】2:1,4:1 15、【答案】 倍 16、【答案】2 17、【答案】电线杆的高为6米18、【答案】10(√5-1) 19、【答案】AD 【提示】利用三角形相似的关系可以得到AD=DC·AC,设AD=x,则DC=1-x, 可列方程x2=1-x,解得x 1±√5 AD 2 20、【答案】10.5 21、【答案】略 22【证明】在□ABCD中,AB∥CE,AD∥BC,△AOF∽△COB,△AOB∽△COE O OF AO OB OC OB OC OE OF OB ∴OB2=OF·OE. OB OE 23、【答案】 (1)△POQC△MB时①若CQ=O,即5-1=1,12-21=t,:t=4 ②若QQOP 即 6-t t 6-t=2t,∴t=2∴当t=4或t=2时,△POQ与△AOB相似 OB OA 126 (2)∵OA=12,OB=6由题意,得BQ=1·t=t,OP=1·t=t∴0Q6 OP×0Q=-·t(6-t t2+3t(0≤t≤6) 24、【答案】“圆锥形坑”的深度是7.3米. 25、【答案】如右图
答案 一、选择题答案 1、【答案】 选 D 2、【答案】 选 D 3、【答案】 选 B. 4、【答案】 选 D 5、【答案】 选 B 6、【答案】 选 A 7、【答案】 选 D 8、【答案】 选 C 9、【答案】 选 A 10、【答案】 选 A 二、填空题答案 11、【答案】 30 米 12、【答案】 60 或 108 5 13、【答案】 AD·BC＝AB·DE＝10 14、【答案】 2：1， 4：1 15、【答案】 2 2 倍. 16、【答案】 2 17、【答案】 电线杆的高为 6 米. 18、【答案】 10 （ 5－1 ） 19、【答案】 AD＝ 2 5－1 【提示】利用三角形相似的关系可以得到 AD = DC AC 2 ，设 AD＝ x ，则 DC＝1－ x ， 可列方程 x ＝1－x 2 ，解得 2 －1 5 x＝ ，∴AD＝ 2 5－1 20、【答案】 10.5 21、【答案】 略 22、【证明】在 ABCD 中，AB∥CE，AD∥BC，∴△AOF∽△COB，△AOB∽△COE，∴ AO OF OC OB = ， AO OB OC OE = ， ∴ OF OB OB OE = ，∴OB2＝OF·OE． 23、【答案】 （1）△POQ∽△AOB 时①若 OQ OP OA OB = ，即 6 6 12 − t t = ，12 2 − =t t ，∴ t = 4 ②若 OQ OP OB OA = ，即 6 12 6 − t t = ，6 2 − =t t ，∴ t = 2 ∴当 t = 4 或 t = 2 时，△POQ 与△AOB 相似。 （2）∵OA=12,OB=6 由题意，得 BQ=1·t=t，OP=1·t=t∴OQ=6 －t ∴y= 2 1 ×OP×OQ= 2 1 ·t（6－t）=- 2 1 t 2＋3t（0≤t≤6） 24、【答案】“圆锥形坑”的深度是 7.3 米. 25、【答案】 如右图
