专题二一元二次方程的应用
专题二 一元二次方程的应用
(2014南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本 其中固定成本每年均为4万元,可变成本逐年增长,已知该养殖户第1 年的可变成本为26万元,设可变成本平均每年增长的百分率为x (1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为2.6(1+x)2万元 (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均每 年增长的百分率 解:由题意’得4+2.6(1+x)2=7.146,解得:x1=0.1,x2=-2.1(不 合题意’舍去).答:可变成本平的每年增长的百分率为10%
1．(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本， 其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1 年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x. (1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为______________万元． (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每 年增长的百分率． 解：由题意，得4＋2.6(1＋x) 2＝7.146，解得：x1＝0.1，x2＝－2.1(不 合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10% 2.6(1＋x) 2
2.某校团委准备举办学生绘画展览,为美化画面,在长为30cm 宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好 与原画面面积相等(如图),求彩纸的宽度 鱗:设彰纸的宽萄Xcm,根据氩意’得(30+2x)(20+2x) 2×30×20,整理,得x2+25x-150=0,解得x1=5,x2=-30(不合题 意,舍去),答:纸的宽5cm
2．某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30 cm、 宽为20 cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好 与原画面面积相等(如图)，求彩纸的宽度． 解：设彩纸的宽为 x cm ， 根据题意 ， 得 (30 ＋ 2x)(20 ＋ 2x) ＝ 2×30×20，整理，得x 2＋25x－150＝0，解得x1＝5，x2＝－30(不合题 意，舍去)．答：彩纸的宽为5 cm
3·某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的 小分支,主干、支干、小分支的总数是111求每个支干长出多少个小分 支? 解:设每个支干长出X个小分支’根据题意’得1+x+x2=11.解得x1 =10,x2=-1(舍去).答:每个支干长出10个小分支
3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的 小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分 支？ 解：设每个支干长出x个小分支，根据题意，得1＋x＋x 2＝111.解得x1 ＝10，x2＝－11(舍去)．答：每个支干长出10个小分支．
4·(2014新疆)如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围 栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长 AB,BC各为多少米? 解:设AB的长度为X’则BC的长度为(100-4x)米,根据题意得(100 4x)x=400解得x1=20,x2=5.则100-4x=20或100-4x=80.80> 25 5舍去,即AB=20,BC=20.答:羊圈的边长AB,BC分别 是20米、20米
4．(2014·新疆)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围 栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB，BC各为多少米？ 解：设AB的长度为x，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意得(100－ 4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞ 25，∴x2＝5舍去．即AB＝20，BC＝20.答：羊圈的边长AB，BC分别 是20米、20米．
5·一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的平方小9,如果把个 位上的数字与十位上的数字对调,得到的新的两位数比原来的两位数 小27,求原来的两位数 解:设原来的两位数个位上的数字为x’则十位上的数字为x2-9,根 据题意’得10(x2-9)+x-[10x+(x2-9)]=27,整理,得x2-x-12=0. 解得x1=4,x2=-3(不合题意,舍去).∴10x2-9)+x=10(42-9)+4 74.答:原来的两位数为74
5．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小9，如果把个 位上的数字与十位上的数字对调，得到的新的两位数比原来的两位数 小27 ，求原来的两位数． 解：设原来的两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为x 2－9，根 据题意，得10(x 2－9)＋x－[10x＋(x 2－9)]＝27，整理，得x 2－x－12＝0. 解得x1＝4，x2＝－3(不合题意，舍去)．∴10(x 2－9)＋x＝10(4 2－9)＋4 ＝74.答：原来的两位数为74
6·如图,由点P(14,1),A(a,0),B(0,a)(a>0)确定的△PAB的面 积为18,求a的值.(提示:过点P作PQ⊥x轴于Q) 解:过P点作PQ⊥x轴于Q,则S形PBOQ-S△AOB-S△PAQ=18 ∵P(14,1),A(a0),B(0,a)∴PQ=1,OA=OB=a 14(1+a) a 14-a OQ=14,AQ=14-a.∴ 2 2 2 =18解得a1=12 a2=3.a的值为12或3
6．如图，由点P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)(a＞0)确定的△PAB的面 积为18，求a的值．(提示：过点P作PQ⊥x轴于Q) 解：过P点作PQ⊥x轴于Q，则S梯形PBOQ－S△AOB－S△PAQ＝18. ∵P(14，1)，A(a，0)，B(0，a)，∴PQ＝1，OA＝OB＝a， OQ＝14，AQ＝14－a.∴ 14（1＋a） 2 － a 2 2 － 14－a 2 ＝18.解得a1＝12， a2＝3.∴a的值为12或3
7·如图所示,在△ABC中,∠B=90°,点P从A点开始沿AB边向B 点以1cm/s的速度移动,P到B或Q到C停止移动.点Q从B点开始沿BC 边向C点以2cms的速度移动,若点P,Q分别从点A,B同时出发,问 过多少秒后,△PBQ的面积分别为8cm2和10cm
7．如图所示，在△ABC中，∠B＝90° ，点P从A点开始沿AB边向B 点以1 cm/s的速度移动，P到B或Q到C停止移动．点Q从B点开始沿BC 边向C点以2 cm/s的速度移动，若点P，Q分别从点A，B同时出发，问 过多少秒后，△PBQ的面积分别为8 cm2和10 cm2?
解:(1)设运动x秒后△PBQ的面积为8cm2,可得方程6-x) 2x=8.解得x1=2,x2=4. 答:经过2秒或者4秒后,△PBQ的面积为8cm2 (2)b果设运动y秒后△PBQ的面积为10cm2,则可得方 程,(6-y)·2y=10.即y2-6y+10=0.利用根的判别式 可知该方程无实数根,即△PBQ的面积不可能为10cm2
解：(1)设运动x秒后△PBQ的面积为8 cm2，可得方程1 2 (6－x)· 2x＝8.解得x1＝2，x2＝4. 答：经过2秒或者4秒后，△PBQ的面积为8 cm2 (2)如果设运动y秒后△PBQ的面积为10 cm2，则可得方 程 1 2 (6－y)·2y＝10.即y 2－6y＋10＝0.利用根的判别式， 可知该方程无实数根，即△PBQ的面积不可能为10 cm2
8·某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观 光旅游.下面是领队与旅行社导游关于收费标准的一段对话: 领队:组团去“星星竹海”观光旅游每人收费是多少? 导游:如果人数不超过25人,人均旅游费用为100元 领队:超过25人,怎样优惠呢? 导游:如果超过25人’每增加1人’人均旅游费用降低2元,但人均旅 游费用不得低于70元 该单位按旅行社的收费标准组团去“星星竹海”观光旅游结束后,共 支付给旅行社2700元 请你根据上述信息,求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多 人?
8．某单位于“三·八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观 光旅游．下面是领队与旅行社导游关于收费标准的一段对话： 领队：组团去“星星竹海”观光旅游每人收费是多少？ 导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元． 导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅 游费用不得低于70元． 该单位按旅行社的收费标准组团去“星星竹海”观光旅游结束后，共 支付给旅行社2 700元． 请你根据上述信息，求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多 少人？ 领队：超过25人，怎样优惠呢？