专题四解直角三角形的应用
专题四 解直角三角形的应用
、构造直角三角形解决实际问题 1·如图,在一次测量活动中,小华站在离旗杆底部(B处)6米 的D处,仰望旗杆顶端A,测得仰角为60°,眼睛离地面的距离 ED为1.5米,试帮助小华求出旗杆AB的高度.(结果精确到0.1米 3≈1732) 解:过点E作EC⊥AB于点C,在Rt△ACE中,∠CEA= AC 60°,CE=BD=6米,tan∠AEC= CE,∴AC=∠CE·tan ∠AEC=6tan60°=63(米).∴AB=AC+BC=63+1.5≈ 10.39+1.=1189≈11.9(米)
一、构造直角三角形解决实际问题 1．如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B处)6米 的D处，仰望旗杆顶端A，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离 ED为1.5米，试帮助小华求出旗杆AB的高度．(结果精确到0.1米， 3≈1.732) 解：过点E作EC⊥AB于点C，在Rt△ACE中，∠CEA＝ 60°，CE＝B D＝6米，tan∠AEC＝ AC CE ，∴AC＝∠CE·tan ∠AEC＝6tan60°＝6 3(米)．∴AB＝AC＋B C＝6 3＋1.5≈ 10.39＋1.5＝11.89≈11.9(米)
2·(2014烟台)小明坐于堤边垂钓,如图,河堤AC的坡角为30 AC长2米,钓竿AO的倾斜角是60°其长为3米,若AO与钓 鱼线OB的夹角为60°,求浮漂B与河堤下端C之间的距离
2．(2014·烟台)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30 °，AC长 3 3 2 米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓 鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．
解:延长OA交BC于点D,∵AO的倾斜角是60°,∴∠ODB= 60°,∵∠ACD=30°,∴∠CAD=180°-∠ODB-∠ACD=90 °,在Rt△ACD中,AD=AC·tan∠ACD=33 23=1.(米),∴ CD=2AD=3米,又∵∴∠O=60°,∴△BOD是等边三角形,∴BD =OD=OA+AD=3+15=4.5(米),∴BC=BD-CD=4.5-3= 1.5(米).答:浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米
解：延长OA交B C于点D，∵AO的倾斜角是60°，∴∠ODB＝ 60°，∵∠ACD＝30°，∴∠CAD＝180°－∠ODB－∠ACD＝90 °，在Rt△ACD中，AD＝AC·tan∠ACD＝ 3 3 2 · 3 3 ＝1.5(米)，∴ CD＝2AD＝3米，又∵∠O＝60°，∴△BOD是等边三角形，∴B D ＝OD＝OA＋AD＝3＋1.5＝4.5(米)，∴B C＝B D－CD＝4.5－3＝ 1.5(米)．答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米．
3·(2014徐州)如图,轮船从点4处出发,先航行至位于点A 的南偏西15°且与点A相距100km的点B处,再航行至位于点B的 北偏东75°且与点B相距200km的点C处 (1)求点C与点4的距离(精确到1km); (2)确定点C相对于点4的方向 (参考数据:2≈1414,3≈1732)
3．(2014·徐州)如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A 的南偏西15°且与点A相距100 km的点B处，再航行至位于点B的 北偏东75°且与点B相距200 km的点C处． (1)求点C与点A的距离(精确到1 km)； (2)确定点C相对于点A的方向． (参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
解:(1)过点A作AD⊥BC于点D,由图得,∠ABC=75°-15°= 60°.在Rt△ABD中,∠ABC=60°,AB=100,∴BD=50,AD= 503,∴CD=BC-BD=200-50=150,在Rt△ACD中,由勾股定理 得:AC=AD2+CD2=1003≈173(km) (2)在△ABC中,∵AB2+AC2=1002+(10032=4000BC2 2002=40000,∴AB2+AC2=BC2,∴∠BAC=90°,∴∠CAF=∠ BAC-∠BAF=90°-15°=75°答:点C位于点A的南偏东75°方
解：(1)过点A作AD⊥B C于点D，由图得，∠ABC＝75°－15°＝ 60°.在Rt△ABD中，∵∠ABC＝60°，AB＝100，∴B D＝50，AD＝ 50 3 ，∴CD＝B C－B D＝200－50＝150，在Rt△ACD中，由勾股定理 得：AC＝ AD2＋CD2＝100 3≈173(km) (2)在△ABC中，∵AB2＋AC2＝1002＋(100 3 ) 2＝40000，B C2＝ 2002＝40000，∴AB2＋AC2＝B C2，∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝∠ BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°.答：点C位于点A的南偏东75°方 向．
4·(2014仙桃)如图,在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB,其正前 方矗立着一大型广告牌,当阳光与水平线成45°角时,测得铁塔AB落 在斜坡上的影子BD的长为6米,落在广告牌上的影子CD的长为4米,求 铁塔AB的高.(AB,CD均与水平面垂直,结果保留根号)
4．(2014·仙桃)如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前 方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落 在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求 铁塔AB的高．(AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号)
解:过点C作CE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AB交AB的延长线于 点F,在Rt△DBF中,∠BDF=30°,BF=DB·sim30°=DB=3, DE DB=c0s30° 2 ∴D=02=3√3,:CE=DF,∴CE=DF= 33,在Rt△ACE中,由意可知∠ACE=45°,AE=tn45°=1 AE=CE=3 AB=AF-BF=AE+EF-BF=3 +4-3= (33+1)米,所以铁塔AB的高为(33+1)米
解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB交AB的延长线于 点F，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，BF＝DB·sin30°＝ 1 2 DB＝3， DF DB＝cos30°＝ 3 2 ，∴DF＝6× 3 2 ＝3 3，∵CE＝DF，∴CE＝DF＝ 3 3，在Rt△ACE中，由题意可知∠ACE＝45°， AE CE ＝tan45°＝1， ∴AE＝CE＝3 3 ，∴AB＝AF－BF＝AE＋EF－BF＝3 3 ＋4－3＝ (3 3＋1)米，所以铁塔AB的高为(3 3＋1)米
二、利用方程的思想解决实际问题 某煤矿发生瓦斯爆炸’该地救援队立即赶赴现场救援’救援队 利用生命探测仪在地面A,B两处探测到C处有生命迹象.已知A,B两 点相距4米,探测线与地面的夹角分别是30°和45°(如图),试确定生 命所在点C的深度.(精确到01米,参考数据:2≈1414,3≈1:732)
二、利用方程的思想解决实际问题 5．某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场救援，救援队 利用生命探测仪在地面A，B两处探测到C处有生命迹象．已知A，B两 点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°(如图)，试确定生 命所在点C的深度．(精确到0.1米，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
解:过点C作CD⊥AB于点D设CD=Xm.在Rt△CBD中∵∠ CBD=45°,∠D=90°,∴BD=CD=xm,在Rt△ACD中,∵tan CD ∠CAD= ADx+4’∠CAD=30 3x+4 解得x=2√3+2≈ 5.5答:生命所在点C的深度约是5.5m
解：过点C作CD⊥AB于点D.设CD＝x m．在Rt△CBD中，∵∠ CBD＝45°，∠D＝90°，∴B D＝CD＝x m．在Rt△ACD中，∵tan ∠CAD＝ CD AD＝ x x＋4 ，∠CAD＝30°，∴ 3 3 ＝ x x＋4 .解得x＝2 3＋2≈ 5.5.答：生命所在点C的深度约是5.5 m