免费下载网址hti:jiaoxuesuys168.com/ 一元二次方程 选择题(每小题3分,共30分) 1.下面关于x的方程中:①ax2+bx+c=0;②3(x-9)2-(x+1)2=1;③x+3 ④(a2+a+1)x2-a=0:⑤√x+1=x-1.一元二次方程的个数是() B. C.3 D 2.下列方程中,一定有实数解的是() A.x2+1=0 B.(2x+1)2=0C.(2x+1)+3=0D.(x-a)=a 3.要使方程(a-3)x2+(b+1)x+c=0是关于x的一元二次方程,则 A.a≠0 B.a≠3 C.a≠1且b≠-1 D.a≠3且b≠-1且c≠0 4.若(x+y)(1-x-y)+6=0,则x+y的值是 B.3 C.-2或3 D.2或-3 5.若关于x的一元二次方程3x2+k=0有实数根,则() A.k>0 B.k-且k≠0 C k D.k≥-且k≠0 8.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%,则平均每次降价() A.10% 9.一个两位数等于它的个位数的平方,且个位数字比十位数字大3,则这个两位数为() A. B C.25或36 D.-25或-36 10.已知a、b、C分别是三角形的三边长,则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的 情况是 A.没有实数根 B.可能有且只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 填空题(每小题3分,共24分) 11.若ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程,则不等式3a+6>0的解集是 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 一元二次方程 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.下面关于 的方程中：① ；② ；③ ； ④（ ） ；⑤ x +1 -1．一元二次方程的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D． 4 2.下列方程中，一定有实数解的是（ ） A. 2 x + =1 0 B. 2 (2 1) 0 x + = C. 2 (2 1) 3 0 x + + = D. 3.要使方程 + 是关于 的一元二次方程，则（ ） A． B． C． 且 D． 且 4.若 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 5.若关于 的一元 二次方程 有实数根，则（ ） A． B． C． D． 6. 一元二次方程 2 x x − − = 2 1 0 的根的情况为（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 7.如果关于 x 的一元二次方程 2 2 k x k x − + + = (2 1) 1 0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取 值范围是（ ） A. 1 4 k − B. 1 4 k − 且 k 0 C. 1 4 k − D. 1 4 k − 且 k 0 8.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的 ，则平均每次降价（ ） A． B． C． D． 9.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3，则这个两位数为（ ） A. B. C. D. 10．已知 分别是三角形的三边长，则方程 的根的 情况是（ ） A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．若 是关于 的一元二次方程，则不等式 的解集是________．
免费下载网址hti:jiaoxuesuys168.com 12.已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1,则k= 13.关于x的一元二次方程(p-1)x2-x+p2-1=0的一个根为0,则实数p的值是 14.若(m+1)x(m2)2 +2mx-1=0是关于x的一元二次方程,则m的值是 15.若a+b+c=0且a≠0,则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根,它是 16.若矩形的长是6cm,宽是3cm,一个正方形的面积等于该矩形的面积,则正方形的边长 是 17.若两个连续偶数的积是224,则这两个数的和是 18.关于x的一元二次方程x2-mx+2m=0的一个根为1,则方程的另一根为 三、解答题(共46分) 19.(5分)在实数范围内定义运算“④”,其法则为:a⊕b=a2-b2,求方程(43)⊕ x=24的解 20.(5分)求证:关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根 21.(5分)方程x2+2009x-2010=0较大根为m,方程(2010x)2+2009×201x-1=0 较小根为n,求m+n的值 2.160分)若方程x2-2x+√5(2-√5)=0的两根是和b(a>b),方程x2-4=0 的正根是c,试判断以a,b,c为边长的三角形是否存在.若存在,求出它的面积;若不 存在,说明理由 23.(6分)已知关于x的方程(a+c)x2+2bx-(c-a)=0的两根之和为-1,两根之 差为1,其中a,b,C是△ABC的三边长 (1)求方程的根;(2)试判断△ABC的形状 24.(5分)在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留 下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,求所截去小正方形的边长 25.(6分)某服装厂生产一批西服,原来每件的成本价是500元,销售价为625元,经市 场预测,该产品销售价第一个月将降低20%,第二个月比第一个月提高%,为了使两个 月后的销售利润达到原来水平,该产品的成本价平均每月应降低百分之几? 26.(8分)有一批图形计算器,原售价为每台800元,在甲、乙两家公司销售.甲公司用 如下方法促销:买一台单价为780元,买两台每台都为760元.依次类推,即每多买 台,则所买各台单价均再减20元,但最低不能低于每台440元;乙公司一律按原售价的 75%促销.某单位需购买一批图形计算器 (1)若此单位需购买6台图形计算器,应去哪家公司购买花费较少? (2)若此单位恰好花费7500元,在同一家公司购买了一定数量的图形计算器,请问是 在哪家公司购买的,数量是多少? 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 12．已知关于 的方程 的一个根是 ，则 _______． 13．关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则实数 的值是_______. 14．若（ 是关于 的一元二次方程，则 的值是________． 15．若 且 ，则一元二次方程 必有一个定根，它是_______． 16.若矩形的长是 ，宽是 ，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长 是_______． 17．若两个连续偶数的积是 224，则这两个数的和是__________． 18．关于 x 的一元二次方程 2 0 2 x − mx + m = 的一个根为 1，则方程的另一根为 . 三、解答题（共 46 分） 19.（5 分）在实数范围内定义运算“ ”，其法则为： 2 2 a b a b = − ，求方程（4 3） x = 24 的解． 20.（5 分）求证：关于 x 的方程 (2 1) 1 0 2 x + k + x + k − = 有两个不相 等的实数根． 21. （5 分）方程 2 x x + − = 2009 2010 0 较大根为 m ，方程 2 (2010 ) 2009 2011 1 0 x x + − = 较小根为 n ，求 m + n 的值. 22．（6 分）若方程 的两根是 和 ，方程 的正根是 ，试判断以 为边长的 三角形是否存在．若存在，求出它的面积；若不 存在，说明理由． 23.（6 分）已知关 于 的方程（ 的两根之和为 ，两根之 差为 1， 其中 是△ 的三边长 ． （1）求方程的根；（2）试判断△ 的形状． 24.（5 分 ）在长为 ，宽为 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留 下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的 80％，求所截去小正方形的边长. 25．（6 分）某服装厂生产一批西服，原来每件的成 本价是 500 元，销售价为 625 元，经市 场预测 ，该产品销售价第一个月将降低 ，第二个月比第一个月提高 ，为了使两个 月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？ 26．(8 分) 有一批图形计算器，原售价 为每台 800 元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用 如下方法促销：买一台单价为 780 元，买两台每台都为 7 60 元．依次类推，即每多买一 台,则所买各台单价均再减 20 元，但最低不能低于每台 440 元；乙公司一律按原售价的 75%促销．某单位需购买一批图形计算器： （1）若此单位需购买 6 台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？ （2）若此单位恰好花费 7 500 元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是 在哪家公司购买的，数量是多少？
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免费下载网址hti:jiaoxuesuys168.com/ 参考答案 1.B解析:方程①与a的取值有关;方程②经过整理后,二次项系数为2,是一元二次 方程:方程国是分式方程:方程④的二次项系数经过配方后可化为(a+ 论α取何值,都不为0,所以方程④是一元二次方程:方程⑤不是整式方程,也可排除 故一元二次方程仅有2个 2.B解析:D选项中当a0,∴方程有两个不相等的实数根 解析:依题意,得k2≠0,(2k+1)2-4k2×1>0,解得k>-且k≠0.故选B. 8.A解析:设平均每次降价x,由题意得,(1-x)2=0.81,所以1-x=±0.9,所以 x2=19(舍去),x2=0,1,所以平均每次降价10% 9.C解析:设这个两位数的十位数字为x,则个位数字为x+3 依题意,得10x+x+3=(x+3)2,解得x=2,x2=3.∴:这个两位数为5或36故选C 解析:因为4=(2c)2-4(a+b)(a+b)=4(c+a+b)(c-a-b),又因为 a、b、c分别是三角形的三边长,所以c+a+b>0,c-a-b-2且a≠0解析:不可忘记a≠0 12.±√2解析:把x=-1代入方程,得(-1)2+3x(-1)+k2=0,则2=2,所以 k=+ 13.-1解析:∵关于x的一元二次方程(-1)x2-x+p2-1=0的一个根为0 x=0满足方程(p-1)x2-x+p2-1=0,∴p2-1=0,解得p=1或p=-1 又∵p-1≠0,即p≠1,∴实数p的值是-1. 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 参考答案 1.B 解析：方程①与 的取值有关；方程②经过整理后，二次项系数为 2， 是一元二 次 方程 ；方程③是分式方程；方程④的二次项系数经过配方后可化为 ，不 论 取何值，都不 为 0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程，也可排除. 故一元二次方程仅有 2 个． 2.B 解析：D 选项中当 时方程无实数根，只有 B 正确． 3.B 解析：由 ，得 ． 4．C 解析：用换元法求值，可设 ，原式可化为 ，解得 ， 5.D 解析：把原方程移项， ．由于实数的 平方均为非负数，故 ， 则 ． 6.B 解析：∵ 2 2 b ac − = − − − = 4 ( 2) 4 1 ( 1) 8 0 ，∴ 方程有两个不相等的实数根. 7.B 解析：依题意，得 解得 1 4 k − 且 k 0 .故选 B． 8.A 解析：设平均每次降价 由题意得， 所以 所以 所以平均每次 降价 9. C 解析：设这个两位数的十位数字为 x ，则个位数字为 x +3. 依题意，得 2 10 3 ( 3) x x x + + = + ，解得 1 2 x x = = 2, 3.∴ 这个两位数为 .故选 . 10.A 解 析 ： 因 为 又因为 分别是三角形的三边长，所以 所以 所 以 方程没有实数根. 11． 解析：不可忘记 ． 12.± 2 解析：把 代入方程，得 ，则 ，所以 ． 13. 解析：∵ 关于 的一元二次方程 的一个根为 ， ∴ 满足方程 ，∴ ，解得 . 又∵ ，即 ，∴ 实数 的值是 ．
免费下载网址htt:/jiaoxue5uysl168.com/ 14.-3或1解析:由 m(m+2)-1=2, m+1≠0 15.1解析:由a+b+c=0,得b=-(a+c),原方程可化为ax2-(a+c)x+c=0, 解得x1=1 16.3√5cm解析:设正方形的边长为xcm,则x2=6×3,解得x=±3√,由于边长 不能为负,故x=-3√2舍去,故正方形的边长为3y2cm 17.30或-30解析:设其中的一个偶数为x,则x(x+2)=224.解得 x2=14,x2=-16,则另一个偶数为16,-14.这两数的和是30或-30 18.-2解析:把x=1代入x2-mx+2m=0,得m=-1,所以方程x2-mx+2m=0 化为x2+x-2=0,解这个方程得x1=1,x2=-2.所以此方程的另一根为-2 19.解:∵a⊕b=a2-b2,∴(4⊕3)⊕x=(42-32)x=7由x=72-x2 ∴72-x2=24,∴x2=25.∴x=+5 20.证明:∵b2-4ac=(2k+1)2-4×1×(k-1)=4k2+5>0恒成立, 方程有两个不相等的实数根 21.解:将方程x2+2009x-2010=0因式分解,得(x+20100x-1)=0 ∴x+2010=0或x-1=0,∴x1=-2010,x2=1.∴较大根为1,即m=1 将方程(2010x)2+2009×2011x-1=0变形为 (2010x)2+(2010-1)×(2010+1)x-1=0 (2010x)2+20102x-x-1=0,∴20102x(x+1)-(x+1)=0, (20102x-1(x+1)=0,∴20102x-1=0或x+1=0 20102’x4 较小根为-1,即n=-1.∴m+n=1+(-1)=0 2.解:解方程2-2x+√5(2-√5)=0,得1=√,x2=2-√ 方程x2-4=0的两根是x2=2,x2=-2 所以a,b,c的值分别是√3,2-√3,2 因为3+2-√3=2,所以以a,b,c为边长的三角形不存在 点拨:先解这两个方程,求出方程的根,再用三角形的三边关系来判断 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 14． 解析：由 得 或 ． 15．1 解析：由 ，得 ，原方程可化为 ， 解得 ． 16． 解析：设正方形的边长为 ，则 ，解得 ，由于边长 不能为负，故 舍去，故正方形的边长为 ． 17. 解析：设其中的一个偶数为 ， 则 ．解得 则另一个偶数为 ．这两数的和是 ． 18. 解析：把 代入 化为 19.解：∵ 2 2 a b a b = − ，∴ 2 2 2 2 (4 3) (4 3 ) 7 7 = − = = − x x x x ． ∴ 2 2 7 24 − = x ．∴ 2 x = 25 ．∴ x =5． 20.证明：∵ 2 2 2 b ac k k k − = + − − = + 4 (2 1) 4 1 ( 1) 4 5 0 恒成立， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 21. 解：将方程 2 x x + − = 2009 2010 0 因式分解，得 ( 2010)( 1) 0 x x + − = ， ∴ x + = 2010 0 或 x − =1 0 ，∴ 1 x = −2010 ， 2 x =1. ∴ 较大根为 1，即 m =1. 将方程 2 (2010 ) 2009 2011 1 0 x x + − = 变形为 2 (2010 ) (2010 1) (2010 1) 1 0 x x + − + − = ， ∴ 2 2 (2010 ) 2010 1 0 x x x + − − = ，∴ 2 2010 ( 1) ( 1) 0 x x x + − + = ， ∴ 2 (2010 1)( 1) 0 x x − + = ， ∴ 2 2010 1 0 x − = 或 x + =1 0， ∴ 3 2 2010 1 x = ， 1 x4 = − . ∴ 较小根为 ，即 n =−1.∴ m n + = + − = 1 ( 1) 0 . 22．解：解方程 ，得 ． 方程 的两根是 ． 所以 的值分别是 ． 因为 ，所以以 为边长的三角形不存在． 点拨：先解这两个方程，求出方程的根，再用三角形的三边关系来判断．
免费下载网址hti:jiaoxuesuys168.com 23.解:(1)设方程的两根为x1,x2(x1>x2),则x2+x2=-1,x1-x2=1, 解得x1=0 (2)当x=0时,(a+c)x02+2b×0-(c-a)=0,所以c 当x=-1时,(a+c)×(-1)2+2b×(-1)-(c-a)=0 +a=0,所以a=b,所以a 所以△ABC为等边三角形 24.解:设小正方形的边长为xcm. 由题意得,10×8-4x2=10×8×80%,解得x2=2,x2=-2舍去) 所以截去的小正方形的边长为2cm 25.解:设该产品的成本价平均每月应降低x 625×(1-20%)(1+6%)-5001-x)2=625-500 整理,得5001-x)2=405,(1-x)2=0.81, 解得x1=1.9(舍去),x2=0.1=10% 答:该产品的成本价平均每月应降低10% 26.解:(1)在甲公司购买6台图形计算器需要用6×(800-20×6)=4080(元);在乙公 司购买需要用75%×800×6=3600(元)440,符合题意 当x=25时,每台单价为800-20×25=300<440,不符合题意,舍去 ②若该单位是在乙公司花费7500元购买的图形计算器, 则有600x=7500,解得x=125,不符合题意,舍去 故该单位是在甲公司购买的图形计算器,买了15台 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 23．解：（1）设方程的两根为 ，则 解得 （2）当 时， ，所以 . 当 时, 所以 ，所以 ， 所以△ 为等边三角形． 24．解：设小正方形的边长为 . 由题意得， 解得 所以截去的小正方形的边长 为 . 25．解：设该产品的成本价平均每月应降低 ． , 整理，得 ， 解得 （舍去 ） ， ． 答：该产品的成本价平均每月应降低 ． 26.解：（1）在甲公司购买 6 台图形计算器需要用 6 (800 20 6) 4 080 − = （元）；在乙公 司购买需要用 75% 800 6 3 600 = （元） 4 080 （元）．应去乙公司购买. （2）设该单位买 x 台，若在甲公司购买则需要花费 x x (800 20 ) − 元；若在乙公 司购买则 需要花费 75% 800 600 =x x 元. ①若该单位是在甲公司花费 7 500 元购买的图形计算器， 则有 x x (800 20 ) − = 7 500 ，解得 x =15或x = 25． 当 x =15 时，每台单价为 800 20 15 500 440 − = ，符合题意. 当 x = 25 时，每台单价为 800 20 25 300 440 − = ，不 符合题意，舍去． ②若该单位是在乙公司花费 7 500 元购买的图形计算器， 则有 600 7 500 x = ，解得 x =12.5 ，不符合题意，舍去． 故该单位是在甲公司购买的图形计算器，买了 台．