免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 轴对称与旋转 知识梳理 轴对称、轴对称图形的概念 (1)如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够,这个图形就叫做轴对称 图形,这条直线就是它的 (2)把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形 这条直线叫做 ,折叠后重合的点是对应点,叫做 2.轴对称变换 (1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线1 的图形,这个图形与原图形的 完全相同 (2)点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为 点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标 3.旋转:在平面内,将一个图形绕着一个沿着转动一个角度,这样的图形 运动称为旋转.这个定点为 ,转动的角度为 图形的旋转有三个基本要 和 图形的旋转是由旋转中心和旋转角所决定的 4.旋转的性质:(1)旋转变化前后对应线段、对应角分别 图形的大小 形状 (2)旋转过程中,图形上每一点都绕旋转中心沿相同的方向旋转相同的角 度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离 都 5.旋转作图:旋转作图的关键在“转线”,即找出各个关键点的对应点,“转线 的实质就是“转化”,将旋转作图问题转化为线段的旋转作图问题 旋转作图的一般步骤: (1)连点:将原图中的一个 连接 (2)转线:将关键点与旋转中心所连的线段绕旋转中心按指定的方向旋转 ,得到这个关键的对应点 (3)连接:按原图的连接方式,连接各关键点的对应点 考点呈现 考点1轴对称图形的识别 例1(2012年广东梅州)下列图形中是轴对称图形的是() A C D 解析:根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后得解.应选 点评:本题考查轴对称图形的概念,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,看图形的两 部分沿对称轴折叠后是否重合 考点2作轴对称图形 例2(2012年山东潍坊)甲、乙两位同学用围棋子做游戏.如图2所示,现轮到黑棋 下子,黑棋下子后白棋再下一子,使黑棋的5个棋子组成轴对称图形,白棋的5个棋子也成 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 轴对称与旋转 知识梳理 1.轴对称、轴对称图形的概念 ⑴如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够______,这个图形就叫做轴对称 图形,这条直线就是它的________. ⑵把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形 _________，这条直线叫做_______，折叠后重合的点是对应点，叫做________. 2.轴对称变换 (1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线 l_________的图形，这个图形与原图形的 _______完全相同. (2)点 P(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为________；点 P(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标 为_______. 3．旋转： 在平面内，将一个图形绕着一个 沿着 转动一个角度，这样的图形 运动称为旋转．这个定点为 ，转动的角度为 ．图形的旋转有三个基本要 素： 、 和 ．图形的旋转是由旋转中心和旋转角所决定的． 4．旋转的性质： （1）旋转变化前后对应线段、对应角分别 ，图形的大小、 形状 ．（2）旋转过程中，图形上每一点都绕旋转中心沿相同的方向旋转相同的角 度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离 都 ． 5．旋转作图： 旋转作图的关键在“转线”，即找出各个关键点的对应点，“转线” 的实质就是“转化”，将旋转作图问题转化为线段的旋转作图问题． 旋转作图的一般步骤： （1）连点：将原图中的一个 与 连接； （2）转线：将关键点与旋转中心所连的线段绕旋转中心按指定的方向旋转一 个 ，得到这个关键的对应点； （3）连接：按原图的连接方式，连接各关键点的对应点． 考点呈现 考点 1 轴对称图形的识别 例 1（2012 年广东梅州）下列图形中是轴对称图形的是（ ） A B C D 解析: 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后得解.应选 C． 点评: 本题考查轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形的两 部分沿对称轴折叠后是否重合． 考点 2 作轴对称图形 例 2 （2012 年山东潍坊）甲、乙两位同学用围棋子做游戏．如图 2 所示，现轮到黑棋 下子，黑棋下子后白棋再下一子，使黑棋的 5 个棋子组成轴对称图形，白棋的 5 个棋子也成
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 轴对称图形.则下列下子方法不正确的是().[说明:棋子的位置用数对表示,如A 点在(6,3)] A.黑(3,7):白(5,3 黑(4,7);白(6,2) C.黑(2,7);白(5,3) D.黑(3,7);白(2,6) 分析:分别将选项所说的黑、白棋子放入图形,再由轴对称的定义进行判断即可得出 答案 解:A选项若放入黑(3,7),白(5,3),则此时黑棋是轴对称图形,白棋也是轴对 称图形;B选项若放入黑(4,7),白(6,2),则此时黑棋是轴对称图形,白棋也是轴对 称图形;C选项若放入黑(2,7),白(5,3),则此时黑棋不是轴对称图形,白棋是轴对 称图形:D选项若放入黑(3,7),白(2,6),则此时黑棋是轴对称图形,白棋也是轴对 称图形.故选C 点评:本题考査了轴对称图形的定义,注意将选项中各棋子按位置放入,然后检验是 否为轴对称图形 考点3图形的旋转 例3分析图3①,3-②,3-④中阴影部分的分布规律,按此规律在图3-③中画出其中的 阴影部分 国 分析:由图3-①,3-②来看,图3-②是由图3-①绕着中心顺时针旋转0得到的,图3-④ 是图3-②顺时针旋转180得到的,由于本题按图3-①到图3-②的规律分布,因此图3-③ 是由图3-②顺时针旋转得到的 解:旋转后如图⑤ 图 说明:注意细心观察图形的变化规律. 例4(2011年嘉兴市)如图4,点A,B,C,D,O都在方格纸的格点上,若△C是由 △AOB绕点O按逆时针方向旋转而得,则旋转的角度为() C.90° D.135° 分析:由于对应点与旋转中心的连线的夹角就是旋转角,所以∠BOD和∠AOC都是旋转 角,由此,结合图形即可求解 解:由图可知,OB、OD是对应边,∠BOD是旋转角,所以旋转角∠BOD=90°.故应选 说明:求解本题的关键是要根据题意,确定旋转中心、旋转方向和旋转角. 考点4旋转作图 例5(2011年黑龙江省黑河市)如图5,每个小方格都是边长为1个 单位长度的小 正方形 (1)将△ABC向右平移3个单位长度,画出平移后的△ABC 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 轴对称图形．则下列下子方法不正确的是（ ）．[说明：棋子的位置用数对表示，如 A 点在（6，3）] A．黑（3，7）；白（5，3） B．黑（4，7）；白（6，2） C．黑（2，7）；白（5，3） D．黑（3，7）；白（2，6） 分析：分别将选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出 答案． 解：A 选项若放入黑（3，7），白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对 称图形；B 选项若放入黑（4，7），白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对 称图形；C 选项若放入黑（2，7），白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对 称图形；D 选项若放入黑（3，7），白（2，6），则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对 称图形.故选 C． 点评: 本题考查了轴对称图形的定义，注意将选项中各棋子按位置放入，然后检验是 否为轴对称图形． 考点 3 图形的旋转 例 3 分析图 3-①，3-②，3-④中阴影部分的分布规律，按此规律在图 3-③中画出其中的 阴影部分． 分析：由图 3-①，3-②来看，图 3-②是由图 3-①绕着中心顺时针旋转 得到的，图 3-④ 是图 3-②顺时针旋转 得到的，由于本题按图 3-①到图 3-②的规律分布，因此图 3-③ 是由图 3-②顺时针旋转 得到的． 解：旋转后如图⑤． 图 4 说明：注意细心观察图形的变化规律. 例 4（2011 年嘉兴市）如图 4，点 A，B，C，D，O 都在方格纸的格点上，若△COD 是由 △AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A.30° B.45° C.90° D.135° 分析：由于对应点与旋转中心的连线的夹角就是旋转角，所以∠BOD 和∠AOC 都是旋转 角，由此，结合图形即可求解. 解：由图可知，OB、OD 是对应边，∠BOD 是旋转角，所以旋转角∠BOD＝90°.故应选 C. 说明：求解本题的关键是要根据题意，确定旋转中心、旋转方向和旋转角. 考点 4 旋转作图 例 5（2011 年黑龙江省黑河市）如图 5，每个小方格都是边长为 1 个 单位长度的小 正方形. （1）将△ABC 向右平移3 个单位长度，画出平移后的△A1B1C1
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 图5 图6 2)将△ABC绕点O旋转180°,画出旋转后的△ABC2 (3)画出一条直线将△ACA的面积分成相等的两部分 分析:对于(1)和(2)可依据图形的平移、旋转等步骤进行作图. (4)可利用三角形一边上的中线平分其面积求解 解:依题意,得(1)将△ABC向右平移3个单位长度得△ABC, 如图6所示 (2)将△ABC的三个顶点A,B,C绕点O旋转180°后得A,B,C2,连接得到 △ABC2,如图6所示 (3)因为点O是A4的中点,而三角形一边上的中线平分三角形的面积,于是可过点 O,C作直线OG,如图6所示 说明:本题考査了图形的平移、旋转和等分三角形的面积,求解时要根据已知正确地确 定对应点和理解中线的特征 考点5图案设计 例6(2011年温州市)七巧板是我们祖先的一项卓越创造,用它可以拼出多种图形,请 你用七巧板中标号①,②,③的三块板(如图7)经过平移、旋转拼成图形 (1)拼成矩形,在图8中画出示意图 (2)拼成等腰直角三角形,在图9中画出示意图 注意:相邻两块板之间无空隙,无重叠:示意图的顶点画在小方格顶点上 F"F下T"FT 图9 分析:考虑到①,②,③的三块板分别是等腰直角三角形、正方形和等腰直角三角形,而且 等腰直角三角形的腰与正方形的边长相等,所以可直接对相关图形进行平移或旋转即得矩形 或等腰直角三角形 解:答案不唯一.各给出一种,如图8和图9. 说明:求解本题时要注意正确理解题目,要求仅限用七巧板中标号①,②,③的三块板. 误区点拨 1.概念模糊致错 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （2）将△ABC 绕点 O 旋转 180°，画出旋转后的△A2B2C2. （3）画出一条直线将△AC1A2 的面积分成相等的两部分. 分析：对于（1）和（2）可依据图形的平移、旋转等步骤进行作图. （4）可利用三角形一边上的中线平分其面积求解. 解：依题意，得（1）将△ABC 向右平移 3 个单位长度得△A1B1C1， 如图 6 所示. （2）将△ABC 的三个顶点 A，B，C 绕点 O 旋转 180°后得 A2，B2，C2，连接得到 △A2B2C2，如图 6 所示. （3）因为点 O 是 AA2 的中点，而三角形一边上的中线平分三角形的面积，于是可过点 O，C1 作直线 OC1，如图 6 所示. 说明：本题考查了图形的平移、旋转和等分三角形的面积，求解时要根据已知正确地确 定对应点和理解中线的特征. 考点 5 图案设计 例 6（2011 年温州市）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它可以拼出多种图形，请 你用七巧板中标号①，②，③的三块板（如图 7）经过平移、旋转拼成图形. （1）拼成矩形，在图 8 中画出示意图； （2）拼成等腰直角三角形，在图 9 中画出示意图. 注意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格顶点上. 分析：考虑到①，②，③的三块板分别是等腰直角三角形、正方形和等腰直角三角形，而且 等腰直角三角形的腰与正方形的边长相等，所以可直接对相关图形进行平移或旋转即得矩形 或等腰直角三角形. 解：答案不唯一.各给出一种，如图 8 和图 9. 说明：求解本题时要注意正确理解题目，要求仅限用七巧板中标号①，②，③的三块板. 误区点拨 1.概念模糊致错
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 例1判断下列说法是否正确 (1)两个全等的图形一定成轴对称;() (2)等腰三角形的对称轴是底边上的高:() (3)到三角形三个顶点距离相等的点,一定在三角形内部. 错解:(1)√:(2)√:(3)√ 剖析:(1)两个全等的图形形状和大小完全一样,并且它们能够重合,但它们不一定关于 某条直线折叠后重合,因此,两个全等的图形不一定成轴对称但是,成轴对称的两个图形 定全等.两个图形成轴对称,不仅与它们的大小和形状有关,而且还与它们的位置有关 (2)轴对称图形的对称轴是一条直线,而等腰三角形的高是一条线段.因此,正确的说法 是:“等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线” (3)到三角形三个顶点的距离相等的点是两边的垂直平分线的交点,这个交点的位置与 角形的形状有关.当三角形分别是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时,两边的垂直平 分线的交点分别在三角形内、斜边中点处和三角形外 ∠C个D 正解:(1)×;(2)×:(3)× 2.考虑问题不严密致错 例2如图1,将一个圆对折,再对折,然后把得到的图形涂色,沿着折痕打开得到了四 个完全一样的图形,图中的 与阴影部分成轴对称 错解:图形1, 剖析:容易把2漏掉,主要是同学们习惯水平折叠和竖直折叠图形,忽略了可以沿着斜 方向折叠图形 正解:图形1,2,3. 3.混淆旋转、轴对称 例3如图2所示,在正方形网格中,△OAB绕点0旋转后,顶点B的对应点为点 B′,试画出旋转后的三角形 图2 图3 图4 错解:如图3所示,△OA′B′即为所求 剖析:此题错因是没按要求画图,画成了轴对称图形.在画旋转图形时,应注意关键点 旋转后的位置.根据题意可知,旋转方向是顺时针方向,旋转角度是90°,那么点A也要 同样沿顺时针方向旋转90° 正解:如图4所示,△OA′B′即为所求 跟踪训练 1.(2012年江苏连云港)下列图案是轴对称图形的是 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 例 1 判断下列说法是否正确： ⑴两个全等的图形一定成轴对称；( ) ⑵等腰三角形的对称轴是底边上的高； ( ) ⑶到三角形三个顶点距离相等的点，一定在三角形内部. ( ) 错解：⑴√；⑵√；⑶√. 剖析：⑴两个全等的图形形状和大小完全一样，并且它们能够重合，但它们不一定关于 某条直线折叠后重合，因此，两个全等的图形不一定成轴对称.但是，成轴对称的两个图形 一定全等.两个图形成轴对称，不仅与它们的大小和形状有关，而且还与它们的位置有关. ⑵轴对称图形的对称轴是一条直线，而等腰三角形的高是一条线段.因此，正确的说法 是：“等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线”. ⑶到三角形三个顶点的距离相等的点是两边的垂直平分线的交点，这个交点的位置与三 角形的形状有关.当三角形分别是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时，两边的垂直平 分线的交点分别在三角形内、斜边中点处和三角形外. 正解：⑴×；⑵×；⑶×. 2. 考虑问题不严密致错 例 2 如图 1，将一个圆对折，再对折，然后把得到的图形涂色，沿着折痕打开得到了四 个完全一样的图形，图中的________与阴影部分成轴对称. 错解:图形 1，3. 剖析：容易把 2 漏掉，主要是同学们习惯水平折叠和竖直折叠图形，忽略了可以沿着斜 方向折叠图形. 正解: 图形 1，2，3. 3．混淆旋转、轴对称 例 3 如图 2 所示，在正方形网格中，△OAB 绕点 O 旋转后，顶点 B 的对应点为点 B′，试画出旋转后的三角形． 错解：如图 3 所示，△OA′B′即为所求． 剖析：此题错因是没按要求画图，画成了轴对称图形．在画旋转图形时，应注意关键点 旋转后的位置．根据题意可知，旋转方向是顺时针方向，旋转角度是 90°，那么点 A 也要 同样沿顺时针方向旋转 90°． 正解：如图 4 所示，△OA′B′即为所求． 跟踪训练 1.（2012 年江苏连云港）下列图案是轴对称图形的是（ ）
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 2.(2012年贵州遵义)把一张正方形纸片如图1-①,1-②对折两次后,再如图1-③挖去 个三角形小孔,则展开后图形是() D D ② A 3.如图2,将左边的图案变成右边的图案,经过的操作是() A.平移B.旋转C.轴对称D.以上三种方法都可以 ⊙ 图2 ②4.如图3,将左边的长方形绕点B旋转一定角度后,变成右边的长 方形,则∠ABC= 5.如图4,当半径为 图3 30cm的 转动轮转过120角 图4 时,传送 带上的物体A平移的距离为cm 6.如图5,在10×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为单位1,将△ABC向右平 移4个单位,得到△A′B′C′,再把△A′B′C′绕点A′逆时针旋转90°得到△A"B C″请你画出△A′B′C′,和,△A"B"C″.(不要求写画法) ::: 图5 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 2.（2012 年贵州遵义）把一张正方形纸片如图 1-①，1-②对折两次后，再如图 1-③挖去 一个三角形小孔，则展开后图形是（ ） 3．如图 2，将左边的图案变成右边的图案，经过的操作是( ) A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.以上三种方法都可 以 图 2 4.如图 3，将左边的长方形绕点 B 旋转一定角度后，变成右边的长 方 形 ，则 ∠ ABC=___ ___ ． 5. 如图 4，当半径为 30 cm 的 转动轮转过 120 角 时，传送 带上的物体 A 平移的距离为 cm 6. 如图 5，在 10 ×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为单位 1，将△ABC 向右平 移 4 个单位，得到△A′B′C′，再把△A′B′C′绕点 A′逆时针旋转 90○得到△A″B″ C ″请你画出△ A ′ B ′ C ′，和 △ A ″ B ″ C ″ . （ 不 要 求 写 画 法 ） 图 5