2用函数观点看一元二次方程
回顾复习: 1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情 况可由b2-4ac确定。 b2-4ac>0)有两个不相等的实数根 b24ac=0有两个相等的实数根 b2-4ac<0 没有实数根 2、在函数h=50-202中,如果h=15,那么 5020t2=15,如果h=20,那50-20t2=20 如果h=0,那50-2020。如果要想求自变量t的值,那 么我们可以告诉函数的值,把二次函数转化成程”去求 解
回顾复习： 1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情 况可由 确定。 ＞ 0 = 0 ＜ 0 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 b2 - 4ac 2、在函数h=50-20t2中，如果h=15，那么 50-20t2= ，如果h=20，那50-20t2= ， 如果h=0，那50-20t2= 。如果要想求自变量t的值，那 么我们可以告诉 的值，把二次函数转化成 去求 解。 15 20 0 函数 方程
创河题量,引入新课 向题1:如图以40m/s的速度将小谅沿与地面成30度角的方 向击出时球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空气阻力球 的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系 h=20t-5t 考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到15m?若能需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到20m?若能需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5m?若能需要多少时间? (4)球从飞出到落地要用多少时间?
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度角的方 向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球 的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系: h= 20 t – 5 t2 考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能,需要多少时间? (4)球从飞出到落地要用多少时间?
分析:由于球的飞行高度h与飞行时间t关系是二次函数 h=20t-5t 所以可以将问题中h的值代入函数解析式,得到关于的 元二次方程,如果方程有合乎实际的解,则说明球飞行的高度 可以达到问题中h的值;否则,说明球的飞行高度不能达到问题 中h的值
分析：由于球的飞行高度 与飞行时间t的关系是二次函数 2 h = 20t − 5t 所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一 元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球飞行的高度 可以达到问题中h的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题 中h的值. h
下面是函数h=20-512的图象 15 5 图(1) 由图(1)可以看出,当球飞行1s和3s时,它的高度为 15m;飞行2s时,它的高度为20m;球的飞行高度达不 到20.5m;当球飞行0s和4s时落回地面
下面是函数 h = 20t − 5t 2 的图象 由图（1）可以看出，当球飞行1 s和3 s时,它的高度为 15 m；飞行2 s时，它的高度为20 m；球的飞行高度达不 到20.5 m；当球飞行0 s和4 s时落回地面。 图（1） X Y 2 4 2 0 1 0 5 1 5 O
解:(1)解方程15=20t5t2即:t2-4t+3=0 t1=1,t2=3 ∴当球飞行1s和3s时,它的高度为15m。 10 (2)解方程20=20t-5t2即:t2-4t+4=0 t=t2=2 3 h=20t-5t 当球飞行2s时,它的高度为20m。 (3)解方程20.5=20t-5t2即:t2-4t+4.1=0 那么为什 从上面我们看出,对于二次函数 两个时间h=20t-5t2中,已知h的值,求时间 的高度为t?其实就是把函数值h换成,求 为 元二次方程的解。 飞出到落地用了4s
解：（1）解方程15=20t-5t2 即：t 2 -4t+3=0 t1=1,t2=3 ∴当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。 （2）解方程20=20t-5t2 即： t 2 -4t+4=0 t1=t2=2 ∴当球飞行2s时，它的高度为20m。 （3）解方程20.5=20t-5t2 即：t 2 -4t+4.1=0 因为(-4)2 -4×4.1＜0，所以方程无解， ∴球的飞行高度达不到20.5m。 （4）解方程0=20t-5t2 即： t 2 -4t=0 t1=0,t2=4 ∴球的飞行0s和4s时，它的高度为0m。即 飞出到落地用了4s 。 你能结合图 形指出为什 么在两个时 间球的高度 为15m吗？ 那么为什么 只在一个时 间求得高度 为20m呢？ 那么为什么 两个时间球 的高度为零 呢？ 从上面我们看出， 对于二次函数 h= 20 t – 5 t2中，已知h的值，求时间 t？其实就是把函数值h换成常数，求 一元二次方程的解。 h t 20 10 1 2 3 4 o 2 h t t = − 20 5
自由讨论 为一个常数 (定值) 那么从上面,二次函数yax2+bx+何时为 元二次方程?它们的关系如何? 般地,当y取定值时,二次函数为一元 次方程 如:二次函数y=-x+4x的值为3,求自变量x的值, 可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0 反过来,解一元二次方程可以看作已知 函数y的值求自变量x的值。 反过来解方程x-4x+3=0又可以看作已知二次 函数y=x-4x+3的值为0球自变量x的值
那么从上面，二次函数y=ax2+bx+c何时为 一元二次方程?它们的关系如何? 一般地，当y取定值时，二次函数为一元 二次方程。 为一个常数 （定值） 反过来，解一元二次方程可以看作已知 函数y的值求自变量x的值
边观察边思考 1、二次函数y=x2+x-2,y=x2-6x+9,y=x2-x+1 的图象如图所示。 6x+9 y =x2-x+1 y=x tx 2 y=x 234X (1)每个图象与x轴有几个交点?答:2个,1个,0个 (2)一元二次方程x2+x-2=0,x2-6x+9=0有几个根? 元二次方程x2-x+1=0有根吗?验证一下 (2)2个根,2个相等的根,无实数根 (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 元二次方程ax2+b+c=0的根有什么关系?
1、二次函数y = x2+x-2 , y = x2 - 6x +9 , y = x2 – x+ 1 的图象如图所示。 (1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程 x 2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根? 一元二次方程x 2 – x+ 1 =0有根吗?验证一下. (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 2 y x x = + − 2 2 y x x = − + 6 9 2 y x x = − +1 答：2个，1个，0个 (2).2个根,2个相等的根,无实数根. 边观察边思考
2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交 点,则b2-4ac的情况如何。 b2-4ac0 X
b 2 – 4ac ＞0 b 2 – 4ac =0 b 2 – 4ac ＜0 O X Y 2、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交 点,则b2 -4ac的情况如何。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和轴交点的横坐标 与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系 二次函数y=ax2+bx+c的 元二次方程 元二次方程ax2+b+c=0 图象和轴交点 ax2+bx+c=0的根根的判别式△=b2-4c 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 只有一个交点有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b 2－4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b 2-4ac ＞ 0 只有一个交点 有两个相等的实数根 b 2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b 2-4ac ＜ 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标 与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系