免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 24.2相似三角形的判定(-) [教材分析]本节内容是上科版《新时代数学〉九上第24章《相似形》第二节《相似三角形 判定〉的第一节课.是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念 及性质,并具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平 行线的判定定理.一方面,该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展 另一方面,不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题,而且还是证明其他三 种判定定理的主要根据,所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定 理”.通过本节课的学习,还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力,对掌 握分析、比较、类比、转化等思想有重要作 此,这节课在本章中有着举足 轻重的地位 [教学目标] 知识与技能目标 1)、理解相似三角形的概念,能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角 (2)、掌握相似三角形判定定理的“预备定理 过程与方法目标 (1)、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程,培养学生的动手操作能 力,观察、分析、猜想和归纳能力,渗透类比、转化的数学思想方法 (2)、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算,训练学生的 灵活运用能力,提高表达能力和逻辑推理能力 情感与态度目标 (1)、通过实物演示和电化教学手段,把抽象问题直观化,激发学生学习的求知欲,感 悟数学知识的奇妙无穷 2)、通过主动探究、合作交流,在学习活动中体验获得成功的喜悦 [教学重点]相似三角形判定定理的预备定理的探索 [教学难点]相似三角形判定定理的预备定理的有关证明 [教学方法]探究法 [教学媒体]多媒体课件直尺、三角板 [教学过程] 课前准备 1、全等三角形的基础知识 2、三角形中位线定理及其证明方法 3、平行四边形的判定和性质 4、相似多边形的定义 5、比例的性质 复习引入 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 24．2 相似三角形的判定（一） [教材分析] 本节内容是上科版《新时代数学》九上第 24 章《相似形》第二节《相似三角形 判定》的第一节课．是在学习了第一节相似多边形的概念、比例线段的有关概念 及性质，并具备了有关三角形中位线和平行四边形知识后,研究三角形一边的平 行线的判定定理．一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展； 另一方面，不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三 种判定定理的主要根据，所以有时也把它叫做相似三角形判定定理的“预备定 理”．通过本节课的学习，还可培养学生实验、猜想、证明、探索等能力，对掌 握分析、比较、类比、转化等思想有重要作用．因此，这节课在本章中有着举足 轻重的地位． [教学目标] 知识与技能目标： （1）、理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角． （2）、掌握相似三角形判定定理的“预备定理”． 过程与方法目标： （1）、通过探索相似三角形判定定理的“预备定理”的过程，培养学生的动手操作能 力，观察、分析、猜想和归纳能力，渗透类比、转化的数学思想方法． （2）、利用相似三角形的判定定理的“预备定理”进行有关判断及计算，训练学生的 灵活运用能力，提高表达能力和逻辑推理能力． 情感与态度目标： （1）、通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，感 悟数学知识的奇妙无穷． （2）、通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦． [教学重点] 相似三角形判定定理的预备定理的探索 [教学难点] 相似三角形判定定理的预备定理的有关证明 [教学方法] 探究法 [教学媒体] 多媒体课件 直尺、 三角板 [教学过程] 一、课前准备 1、全等三角形的基础知识 2、三角形中位线定理及其证明方法 3、平行四边形的判定和性质 4、相似多边形的定义 5、比例的性质 二、复习引入
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (一)复习1、相似图形指的是什么? 2、什么叫做相似三角形? (二)引入如图1,△ABC与△A'B’C相似 图1 记作“△ABC△ABC",读作“△ABC相似于△AB’C [注意]:两个三角形相似,用字母表示时,与全等一样,应把表示对应顶点的字母写在 对应位置上,这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角 对于△ABC∽△A'B’C,根据相似形的定义,应有 A=∠A AB BC CA AB BC CA [问题]:将△ABC与△A'B’C相似比记为k1,△A’B’C与△ABC相似比记为k2,那 么k与k2有什么关系?k1=k2能成立吗? 探来交流 [探究]1、在△ABC中,D为A的中点,如图2,过D点作DBBC 交AC于点E,那么△ADE与△ABC相似吗? (1)“角 BAC=∠DAE DB"BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C. (2)“边”要证明对应边的比相等,有哪些方法? 1、直接运用三角形中位线定理及其逆定理 DBBC,D为AB的中点 ∴E为AC的中点,即DE是△ABC的中位线 图2 (三角形中位线定理的逆定理) DE=一BC.(三角形中位线定理) AD AE DE 1 △ADE△ABC ll、利用全等三角形和平行四边形知识 过点D作DF‖AC交BC于点F,如图3. 则△ADE≌△ABC,(ASA) 且四边形DFCE为平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形) DE=BF=FC AD AE DE 1 AB AC BO △ADE△AB 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com （一）复习 1、相似图形指的是什么？ 2、什么叫做相似三角形？ （二）引入 如图 1，△ABC 与△A’B’C’相似. 图 1 记作“△ABC∽△A’B’C’”， 读作“△ABC 相似于△A’B’C’”． [注意]：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在 对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角． 对于△ABC ∽△A’B’C’,根据相似形的定义,应有 ∠A＝∠A’， ∠B＝∠B’ , ∠C＝∠C’, A'B' AB ＝ B'C' BC ＝ C' A' CA . [问题]：将△ABC 与△A’B’C’相似比记为 k1,△A’B’C’与△ABC 相似比记为 k2,那 么 k1 与 k2 有什么关系? k1＝ k2 能成立吗? 三、探索交流 （一）［探究］1、在△ABC 中，D 为 AB 的中点，如图 2，过 D 点作 DB∥BC 交 AC 于点 E，那么△ADE 与△ABC 相似吗？ （1）“角” ∠BAC＝∠DAE． ∵DB∥BC, ∴∠ADE＝∠B, ∠AED＝∠C． （2）“边” 要证明对应边的比相等，有哪些方法？ Ⅰ、直接运用三角形中位线定理及其逆定理 ∵DB∥BC，D 为 AB 的中点， ∴E 为 AC 的中点，即 DE 是△ABC 的中位线． 图 2 （三角形中位线定理的逆定理） ∴DE＝ 2 1 BC．（三角形中位线定理） ∴ AB AD ＝ AC AE ＝ BC DE ＝ 2 1 ． ∴△ADE∽△ABC． Ⅱ、利用全等三角形和平行四边形知识 过点 D 作 DF∥AC 交 BC 于点 F，如图 3． 则△ADE≌△ABC,（ASA） 且四边形 DFCE 为平行四边形. （两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 图 3 ∴DE＝BF＝FC. ∴ AB AD ＝ AC AE ＝ BC DE ＝ 2 1 ． ∴△ADE∽△ABC．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 2、当D1、D2为A的三等分点,如图4.过点D1、D2分别作BC的平行线,交AC于点 E1、E2,那么△ADE1、△ADE与△ABC相似吗? 由(1)知△ADE1△AD,下面只要证明△ADE与△ABC相似,关键是证对应边的 比相等 过点D1、D2分别作AC的平行线,交BC于点F1、F2,设DF1与D2F2 相交于G点 则△ADE≌△DDG2DBF2,(ASA) 且四边形DFCE1、DF2CE、DGE、DF2F1G为平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形) 图 DIE1=BF2=F2F1=FIC AE1=E1E2=E2C AD AE D,EI 1 AB AC BC 3 △ADE1c△ABC △AD1E1c△AD2E2c△ABC [思考]:上遽证明过程较复杂,有较简单的证明方法吗? 过点D2分别作AC的平行线,交BC于点F2,如图5 则四边形D2F2CE2为平行四边形 且△ADE≌DB,(ASA) D2E2= F2C. d1E1=BF2 知 D2E2, AEt . D1E1=-BC. AE1=-AC AD AE DE AB AC BC △ADE1△ABC △ADE1c△AD2E2c△ABC. (二)[猜想]3、通过上面两个特例,可以猜测:当D为AB上任一点时,如图6,过D 点作DEBC交AC于点E,都有△ADE与△ABC B 图6 (三)[归纳]定理平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交 截得的三角形与原三角形相似 这个定理可以证明,这里从略 四、应用迁移 [操作]:课本第53-54页练习1、3 练习1、如图案,点D在△ABC的边AB上,DBBC交AC于点E. 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 2、当 D1、D2 为 AB 的三等分点，如图 4．过点 D1、D2 分别作 BC 的平行线，交 AC 于点 E1、E2，那么△AD1E1、△AD2E2 与△ABC 相似吗？ 由（1）知△AD1E1∽△AD2E2，下面只要证明△AD1E1 与△ABC 相似，关键是证对应边的 比相等． 过点 D1、D2 分别作 AC 的平行线，交 BC 于点 F1、F2，设 D1F1 与 D2F2 相交于 G 点． 则△AD1E1≌△D1D2G≌D2BF2,（ASA） 且四边形 D1F1CE1、D2F2CE2、D1GE2E1、D2F2F1G 为平行四边形. （两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 图 4 ∴D1E1＝BF2＝F2F1＝F1C， ∴AE1＝E1E2＝E2C， ∴ AB AD1 ＝ AC AE1 ＝ BC D1E1 ＝ 3 1 ． ∴△AD1E1∽△ABC． ∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC． [思考]：上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？ 过点 D2 分别作 AC 的平行线，交 BC 于点 F2，如图 5． 则四边形 D2F2CE2 为平行四边形， 且△AD1E1≌D2BF2,（ASA） ∴D2E2＝F2C，D1E1＝BF2． 由 （ 1 ） 知 ， D1E1 ＝ 2 1 D2E2 ， AE1 ＝ 2 1 AE2 ， 图５ ∴D1E1＝ 3 1 BC，AE1＝ 3 1 AC． ∴ AB AD1 ＝ AC AE1 ＝ BC D1E1 ＝ 3 1 ． ∴△AD1E1∽△ABC． ∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC． （二）［猜想］3、通过上面两个特例，可以猜测：当 D 为 AB 上任一点时，如图 6，过 D 点作 DE∥BC 交 AC 于点 E，都有△ADE 与△ABC． 图 6 （三）［归纳］定理 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交， 截得的三角形与原三角形相似． 这个定理可以证明，这里从略． 四、应用迁移 [操作]：课本第 53～54 页练习 1、3 练习 1、如图案，点 D 在△ABC 的边 AB 上，DB∥BC 交 AC 于点 E．
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 写出所有可能成立的比例式 练习3、在第1题中,如果 Ad 3 =,AC=8cm.求AE长 DB 2 五、蔓理反思 )小结内容总结思想归纳 图7 (二)反思 六、布量作业 课本第53-54页练习2 基础训练〉第41-42页练习2、 思考题 如图8、过△ABC的边AB上任意一点D,作DE‖B交AC于2 AD AE 那么 DB EC 图8 板书设计 相似三角形 24.2相似三角形的判定 果本第53-54页 记号 读法 探究1、在△ABC中,D为AB的中点练习 注意 定理卒行于三角形一边的探究2、当D、D2为AB的三等分点练习3 直线与其他两边(或两边的 延长线)相交,截得的三角猜想 小结 形与原三角形相似 作业 [教学反思] 新课程提出,学习目标应由“关注知识”转向“关注学生”,课堂设计应由“给出知 识”转向“引起活动”得到“经历、体验”。在课堂中,教师也积极地创设出有利于学生主 动参与的教学情境,激发学生的学习兴趣,充分地调动学生学习积极性,给学生留有思考和 探索的余地,让学生能在独立思考与合作交流中解决学习中的问题 这节课是教学公开课,课前让学生尤分的预习。在这种前提下,感觉教学过程进行 非常顺利,学生学习也达到目标。这样使我感觉到:“先学后教”对学生自学能力的培养 无疑有促进作用,教师在课堂教学中把引导学生学会学习放到教学的首位,教师在引导自学 和发现、帮助学生克服学习困难上下工夫,这种先学后教的教学要求有效地制约了习惯于“满 堂灌”的教师,这对贯彻“以学生为主体”的教学理念是十分重要的。这节课在要培养学 生的数学探索能力方面做了有益的尝试,探索的过程实质上是一个不断提出设想、验证 设想、修正和发展设想的过程。在数学中,它表现在提出数学问题,探求数学结论,探 索解决途径,寻找解题规律等一系列有意义的发现活动中,而数学探索能力就集中表现 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 写出所有可能成立的比例式． 练习 3、在第 1 题中，如果 DB AD ＝ 2 3 ，AC＝8cm．求 AE 长． 五、整理反思 （一）小结 内容总结 思想归纳 图 7 （二）反思 六、布置作业 课本第 53～54 页 练习 2． 《基础训练》第 41～42 页 练习 2、3． 思考题： 如 图 8 、 过 △ ABC 的 边 AB 上 任 意 一 点 D ， 作 DE ∥ BC 交 AC 于 点 E ， 那么 DB AD ＝ EC AE ． 板书设计 相似三角形 记号 读法 注意 24．2 相似三角形的判定 探究 1、在△ABC 中，D 为 AB 的中点 课本第 53～54 页 练习 1 定理 平行于三角形一边的 直线与其他两边（或两边的 延长线）相交，截得的三角 形与原三角形相似． 探究 2、当 D1、D2 为 AB 的三等分点 猜想 练习 3 小结 作业 [教学反思] 新课程提出，学习目标应由“关注知识”转向“关注学生”，课堂设计应由“给出知 识”转向“引起活动”得到“经历、体验”。在课堂中，教师也积极地创设出有利于学生主 动参与的教学情境，激发学生的学习兴趣，充分地调动学生学习积极性，给学生留有思考和 探索的余地，让学生能在独立思考与合作交流中解决学习中的问题． 这节课是教学公开课，课前让学生允分的预习。在这种前提下，感觉教学过程进行 非常顺利，学生学习也达到目标。这样使我感觉到：“先学后教”对学生自学能力的培养 无疑有促进作用，教师在课堂教学中把引导学生学会学习放到教学的首位，教师在引导自学 和发现、帮助学生克服学习困难上下工夫，这种先学后教的教学要求有效地制约了习惯于“满 堂灌”的教师，这对贯彻“以学生为主体”的教学理念是十分重要的。这节课在要培养学 生的数学探索能力方面做了有益的尝试，探索的过程实质上是一个不断提出设想、验证 设想、修正和发展设想的过程。在数学中，它表现在提出数学问题，探求数学结论，探 索解决途径，寻找解题规律等一系列有意义的发现活动中，而数学探索能力就集中表现 图 8
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 为提出设想和进行转换的本领。教学中,激发学生的学习兴趣,使学生处于探索未知世 界的主动地位;在具体教学中要善于引导学生推敲关键性的词句,使学生学会“引申 所学的知识 课堂教学要充分张扬教师、学生的教学个性。教学要有统一的要求,但无须也不该要 统一的方法。教育的最高境界应该是教无定法,学无定法。绚丽多姿的课堂需要个性飞扬的 教师,教学管理者应鼓励教师在教学方法、教学技巧、教学手段上标新立异。 附:[定理]平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的 三角形与原三角形相似 简析:该定理的证明分为两步:先证“思考题”,再证该定理(以直线DE‖BC交AB AC于点D、E为例) [证明]|、如图8、过△ABC的边AB上任意一点D,作DE‖BC交AC于点E,那么 AD AE DB EC 证明:如图9,连接BE,过点E作边AB的垂线段h AD·h △ADE=AD·h,S△BDE=:DB·h.、S△ADE AD △BDE BD·h 同理可证 S AE ACED EC SUE-AED AD AE AD AE DB EC AB AC ll、如图10,直线DE‖BC交AB、AC于点D、E,则△ADEG△ABC (1)“角” ∠BAC=∠DAE DB‖BC ∠ADE=∠B.∠AED=∠C DB IL RC AD AE AB AC 过D点作DF‖AC交BC于点 FC AD BC AB 又∵四边形DFCE是平行四边形 FC= DE 图10 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com 为提出设想和进行转换的本领。教学中，激发学生的学习兴趣，使学生处于探索未知世 界的主动地位；在具体教学中要善于引导学生推敲关键性的词句，使学生学会“引申” 所学的知识． 课堂教学要充分张扬教师、学生的教学个性。教学要有统一的要求，但无须也不该要 统一的方法。教育的最高境界应该是教无定法，学无定法。绚丽多姿的课堂需要个性飞扬的 教师，教学管理者应鼓励教师在教学方法、教学技巧、教学手段上标新立异。 附： [定理] 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的 三角形与原三角形相似 简析：该定理的证明分为两步：先证“思考题”，再证该定理（以直线 DE∥BC 交 AB、 AC 于点 D、E 为例）． [证明]Ⅰ、如图 8、过△ABC 的边 AB 上任意一点 D，作 DE∥BC 交 AC 于点 E，那么 DB AD ＝ EC AE ． 图 8 图 9 证明：如图 9，连接 BE，过点 E 作边 AB 的垂线段 h． ∵S△ADE＝ 2 1 AD·h，S△BDE＝ 2 1 DB·h．∴ BDE ADE S S ＝ BD h AD h 2 1 2 1 ＝ DB AD ． 同理可证 CED AED S S ＝ EC AE ． ∵DE∥BC， ∴S△BDE＝S△CED． ∴ BDE ADE S S ＝ CED AED S S ， DB AD ＝ EC AE ．∴ AB AD ＝ AC AE ． Ⅱ、如图 10，直线 DE∥BC 交 AB、AC 于点 D、E，则△ADE∽△ABC． （1）“角” ∠BAC＝∠DAE． ∵DB∥BC, ∴∠ADE＝∠B, ∠AED＝∠C. （2）“边” ∵DB∥BC, AB AD ＝ AC AE ． 过 D 点作 DF∥AC 交 BC 于点 F． ∴ BC FC ＝ AB AD ． 又∵四 边 形 DFCE 是平行四 边 形，∴ FC ＝ DE ， 图 10
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ DE AD AD AE DE Ab AC BC ADEG△ABC 解压密码联系qq11913986加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠l淘宝网 址 JIaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘宝网 址：jiaoxue5u.taobao.com ∴ BC DE ＝ AB AD ．∴ AB AD ＝ AC AE ＝ BC DE ． ∴ △ADE∽△ABC．