正弦定理余弦定理 距离高度角度面积
距离 高度 角度 面积
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例1、设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。 测量者在A的同侧,在其所在的河岸边选定一点C,测出 AC的距离是55m,∠BAC=51°,∠ACB=75°,求A B两点间的距离(精确到0.1m) 55m 分析:已知两角一边,可以用正弦定理解三角形
例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同侧，在其所在的河岸边选定一点C，测出 AC的距离是55m，∠BAC＝51o ， ∠ACB＝75o ，求A、 B两点间的距离（精确到0.1m） 分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形 51o 75o 55m
解:如图,因为在△ABC中,B=180(51°+750=54° 所以由AB Ac sinc sin B ac sinc 55sin 75 可得AB= ≈657(m) sin B sin 54 答:A,B两点间的距离约为657米。 55m
51o 75o 55m 解：如图，因为在△ABC中，B=180o -(51o+75o )=54o 所以由 sin sin AB AC C B = 可得 sin 55sin 75 65.7( ) sin sin 54 AC C AB m B = = 答：A,B两点间的距离约为65.7米
例2、A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种 测量两点间的距离的方法。 B y D C 分析:设CD=a,∠BCA=a,∠ACD=B,∠CDB=y ∠ADB=δ
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。 A B D C 分析：设CD=a，∠BCA=a，∠ACD=b，∠CDB=g， ∠ADB=d a g b d a
ac= BC= AB B
A B D C a g b d a sin( ) sin( ) sin 180 ( ) sin( ) b g d g d b g d g d + + + = − + + + = a a AC sin( ) sin sin 180 ( ) sin a b g g a b g g + + = − + + = a a BC 2 cosa 2 2 AB = AC + BC − AC BC
解斜三角形应用题的一般步骤是 1、分析:理解题意,画出示意图 2、建模:把已知量与求解量集中在一个三角形中 3、求解:运用正弦定理和余弦定理,有顺序地解这 些三角形,求得数学模型的解。 4、检验:检验所求的解是否符合实际意义,从而得 出实际问题的解。 实际问题→数学问题(三角形 →数学问题的解(解三角形)→实际问题的解
1、分析：理解题意，画出示意图 2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这 些三角形，求得数学模型的解。 4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得 出实际问题的解。 实际问题→数学问题（三角形） →数学问题的解（解三角形）→实际问题的解 解斜三角形应用题的一般步骤是：
航行.在人处看灯塔S在船的北偏东x7的方向 若30mi后航行到B处,在B处看灯塔在船的 北偏东65°的方向,已知距离此灯塔65 n mile 以外的海区为航行安全区域,这艘船可以继续 沿正北方向航行吗? 解:∵在△ASB中,∠ABS=180°651150F ∠ASB=180°-115°20°=45° AB=0.5×32.2=16.1 n mile 北↑南 东 由正弦定理可得 ABsin∠ABS16.1×sin115° AS ≈20.63 n mile sin∠ASB sin 45 故船与灯塔的最小距离d=20.63×sin20°7.06 n mile 所以这艘船可以继续沿正北方向航行 答:这艘船可以继续沿正北方向航行
练习1：一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北 航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向， 若30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的 北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续 沿正北方向航行吗？ 解：∵在△ASB中，∠ABS=180o -65o=115o ∴∠ASB=180o -115o -20o=45o ∵ AB=0.5×32.2=16.1 n mile ∴由正弦定理可得 sin 16.1 sin115 20.63 n mile sin sin45 AB ABS AS ASB = = 故船与灯塔的最小距离d=20.63×sin20o ≈7.06 n mile 所以这艘船可以继续沿正北方向航行 答：这艘船可以继续沿正北方向航行
练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为195m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.0m) 解:依题意可知,在△ABC中 AB=195m,AC=1.40m, ∠CAB=66°20′ C ∴由余弦定理可得 BC= AB+AC-2AB AC COS A 60°62×Q 1952+1402-2×195×140×cos6620 B ≈3.571 ∴BC≈189(m) 答:顶杆BC约长189m。 A DB
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’ ，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 60 20 最大角度 解：依题意可知，在△ABC中 AB＝1.95m，AC＝1.40m， ∠CAB＝66°20′ ∴由余弦定理可得 2 2 2 2 2 2 cos 1.95 1.40 2 1.95 1.40 cos66 20 3.571 BC AB AC AB AC A = + − = + − BC 1.89(m) 答：顶杆BC约长1.89m。 C A B D
思考:如图,一艘船从C处以30 n mile/h的速度往北偏东15° 的A岛行驶,若船在C处测得B岛在北偏西30的方向,行驶 20min后在D处测得B岛在北偏西45的方向,到达A岛后又 测得B岛在北偏西60°的方向,试求A岛与B岛的距离。 6 6 √2 (sin 15 sin 75 4 解:依题意可得, A ∠BCD=45°,∠BDA=60°, 45° ∠CBD=∠BDA-∠BCD=150, D 3001 CD=30×==10 n mile 3 BD 10 由 可得BD 20 2 sin45sin15° √6-√2
思考：如图，一艘船从C处以30 n mile/h的速度往北偏东15o 的A岛行驶，若船在C处测得B岛在北偏西30o的方向，行驶 20 min后在D处测得B岛在北偏西45o的方向，到达A岛后又 测得B岛在北偏西60o的方向，试求A岛与B岛的距离。 6 2 6 2 (sin15 ,sin75 ) 4 4 − + = = 解：依题意可得， ∠BCD=45o ，∠BDA=60o ， ∴∠CBD=∠BDA-∠BCD=15o ， 1 30 10 n mile 3 CD = = 10 sin45 sin15 BD = 由 可得 A B C D 30o 45o 60o A B C D 30o 45o 60o 20 2 6 2 BD = −