3.°单的线性规划问题
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探究:如图,区域OAB(包括边界)对应的不等式组是 问题1、该区域内是否存在点(x,y x+2y-4≤0 使得x+=2? x≥0 这样的点有多少个?y ≥0 它们构成什么图形?4 问题2、该区域内是否 存在点使得x+y=5 为什么? B x+=5 没有,因为直线x+y=5与 该区域没有交点 3 12
探究：如图，区域OAB（包括边界）对应的不等式组是 2 4 0 0 0 x y x y + − x y O 1 2 3 4 1 2 3 4 A B 5 问题1、该区域内是否存在点(x，y) 使得 x+y=2？ 这样的点有多少个？ 它们构成什么图形？ x+y=2 没有，因为直线x+y＝5与 该区域没有交点。 问题2、该区域内是否 存在点使得x+y=5？ 为什么？ x+y=5
探究:如图,区域OAB(包括边界)对应的不等式组是 问题3、若点(x,y)在该区域 x+2y-4≤0 内,设zx+y,问德是否存在 x≥0 最小值和最大值? ≥0 分析:(1)取(0,0),求z外 的值,并画直线l; (2)取(40),求z的值, 并画直线l2; B (3)取(2,0),求z的值, 并画直线l1 3 5 x+2 x x+
x y O 1 2 3 4 1 2 3 4 A B 5 x+y=2 问题3、若点(x，y)在该区域 内，设z=x+y，问z是否存在 最小值和最大值？ 分析：(1)取（0,0)，求z 的值，并画直线 l0 ； (2)取（4,0)，求z的值， 并画直线l2 ； (3)取（2,0)，求z的值， 并画直线l1 ； x+y=0 x+y=4 探究：如图，区域OAB（包括边界）对应的不等式组是 2 4 0 0 0 x y x y + −
探究:如图,区域OAB(包括边界)对应的不等式组是 思考:当变化时,z=x+y表 x+2y-4≤0 示的图形是什么? x≥0 ≥0 分析:z=x+y可化为 由x,y的不 等式(或方程 y=-x+z 组成的不等式 这是斜率为-1,纵截距 B 组称为x 为的一组平行直线) 的约束条件 如右图可知,当直 线过点A、O是动分别取 得取得最大值为4和最 3 5 小值为0 x+2 x x+
探究：如图，区域OAB（包括边界）对应的不等式组是 2 4 0 0 0 x y x y + − x y O 1 2 3 4 1 2 3 4 A B 5 x+y=2 思考： 当z变化时，z=x+y表 示的图形是什么？ 分析：z=x+y 可化为 (这是斜率为-1，纵截距 为z的一组平行直线) ∴如右图可知，当直 线过点A、O是z分别取 得取得最大值为4和最 小值为0. y= -x+ z x+y=0 x+y=4 由x，y 的不 等式(或方程) 组成的不等式 组称为x，y 的约束条件
探究:如图,区域OAB(包括边界)对应的不等式组是 欲达到最大值或最小值 所涉及的变量x,y的解域 x+2y-4≤0 在 x≥0 析式称为目标函数 J ≥0 线 分析:y可化岁性 由x,y的二元一次 y=-x+z 日3不等式或方程组成 这是斜率为1,纵标N 的不等式组称为x,y B 函 的线性约束条件 为的一组平行直线N事 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小 值的问题称为线性规划问题。 小值为0 N2x+= xty=
探究：如图，区域OAB（包括边界）对应的不等式组是 2 4 0 0 0 x y x y + − x y O 1 2 3 4 1 2 3 4 A B 5 x+y=2 分析：z=x+y 可化为 (这是斜率为-1，纵截距 为z的一组平行直线) ∴如右图可知，当直 线过点A、O是z分别取 得取得最大值为4和最 小值为0. y= -x+ z x+y=0 x+y=4 问题3、若点(x，y)在该区域 内，设z=x+y，问z是否存在 最小值和最大值？ 由x，y 的二元一次 不等式(或方程)组成 的不等式组称为x，y 的线性约束条件 欲达到最大值或最小值 所涉及的变量x，y 的解 析式称为目标函数 线 性 目 标 函 数 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小 值的问题称为线性规划问题
探究:如图,区域OAB(包括边界)对应的不等式组是 问题3若点,在该区域可行x+2y-4≤0 内,设z=x+y,z是否存在 x≥0 最小值和最可行解 ≥0 分析:z=x+y可化为 y=-x+z 这是斜率为1,纵截距使目标函数取得最大值或最小 为的一组平行直线)值的可行解称为最优解。 如右图可知,当直如可行域中的(0,0,(4,0) 线过点A、O是分别取 得取得最大值为4和最 3 5 小值为0 x+2 x x+
探究：如图，区域OAB（包括边界）对应的不等式组是 2 4 0 0 0 x y x y + − x y O 1 2 3 4 1 2 3 4 A B 5 x+y=2 分析：z=x+y 可化为 (这是斜率为-1，纵截距 为z的一组平行直线) ∴如右图可知，当直 线过点A、O是z分别取 得取得最大值为4和最 小值为0. y= -x+ z x+y=0 x+y=4 问题3、若点(x，y)在该区域 内，设z=x+y，问z是否存在 最小值和最大值？ 可行域 可行解 使目标函数取得最大值或最小 值的可行解称为最优解。 如可行域中的(0,0),（4, 0）
探究:如图,区域OAB(包括边界)对应的不等式组是 问题4、若点(x,y)在该区域内 x+2y-4≤0 求=x-3y的最大值和最小值 x≥0 解:z=x-3可化为 J ≥0 x 2 33 作;y=,平移l 3 当直线经过可行域上的26 点时,在y轴上的截距 J 最小,即最大 3 2 3 5 zmaX=4-3×0=4
探究：如图，区域OAB（包括边界）对应的不等式组是 2 4 0 0 0 x y x y + − x y O 1 2 3 4 1 2 3 4 A B 5 问题4、若点(x，y)在该区域内， 求z=x－3y的最大值和最小值. 解：z=x－3y可化为 3 3 x z y = − 3 max 4 - 3 0 4 A y z z z − = = 当直线经过可行域上的 点 时，在 轴上的截距 最小，即 最大， 0 0 3 x 作l y l ： = ，平移 3 x y =
探究:如图,区域OAB(包括边界)对应的不等式组是 问题4、若点(x,y)在该区域内 x+2y-4≤0 求=x-3y的最大值和最小值 x≥0 解:z=x-3可化为 J ≥0 x 2 33 作;y=,平移l 3 当直线经过可行域上的 B 点时,在y轴上的截距 J 最小,即z最小, 3 2 3 5 zmin=0-3×2=-6
探究：如图，区域OAB（包括边界）对应的不等式组是 2 4 0 0 0 x y x y + − x y O 1 2 3 4 1 2 3 4 A B 5 问题4、若点(x，y)在该区域内， 求z=x－3y的最大值和最小值. 解：z=x－3y可化为 3 3 x z y = − 3 min 0 - 3 2 6 B y z z z − = = − 当直线经过可行域上的 点 时，在 轴上的截距 最小，即 最小， 0 0 3 x 作l y l ： = ，平移 3 x y =
二、基础知识讲解 解决简单线性规划问题时,把目标函数 x=m+例(b≠0)改写成y=b(b≠0) 其几何意义是:斜率为-“,纵截距为的一组平行线 b 由此,对于线性目标函数z=ax+by(b≠0)来说, 当b>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时, z值最大,在y轴截距最小时,z值最小,; 当b<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时, z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大
解决简单线性规划问题时，把目标函数 ( 0) ( 0) a z z ax by b y x b b b = + = − + 改写成 ， a z b b 其几何意义是：斜率为- ，纵截距为 的一组平行线 0 0) 0 z ax by b( y y y y b z z z z b = + 由此，对于线性目标函数 来说， 当 时，直线过可行域且在 轴上 时， ，在 轴 时， ，； 当 时，直线过可行域且在 轴上截距最大 值 时， ，在 截距 轴 最大 值最大 截距最小 值最 上 时， 小 最小 截距最小 值最大。 二、基础知识讲解