观察并发现:下面数列有什么共同特点? (1)0,5,10,15,20,25, (2)鞋的尺寸,按照国家统一规定,有: 22,22.5,23,23.5,24,24.5,25,25.5,26,∴ (3)21,19,17,15, ●自●●●● (4)3,3,3,3, ····· (1)从第2项起,每一项与前一项的差都等于5 (2)从第2项起,每一项与前一项的差都等于0.5 (3)从第2项起,每一项与前一项的差都等于-2 (4)从第2项起,每一项与前一项的差都等于0
观察并发现：下面数列有什么共同特点？ （2）鞋的尺寸，按照国家统一规定，有： 22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26，… (1)0,5，10，15，20，25，… （3）21，19，17，15，…… （4）3，3，3，3，…… (1)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 (2)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 (3)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 (4)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 0.5 0 -2
等差数列的定义: 般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差,公差 通常用字母d表示。 注意 等差数列的定义可用符号表示为: an1-an=d(m∈N*),其中为常数 (或anan1=d,m≥2) 证明等差数列的方法
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差， 公差 通常用字母 d 表示。 一、等差数列的定义： 注意： 等差数列的定义可用符号表示为： 证明等差数列的方法 an+1-an =d (n∈N*) ，其中d为常数 （或an -an-1 =d，n≥2 ）
等差数列的定义: 般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差,公差 通常用字母d表示。 思考1:若一数列的前4项分别是“1,3,5,7”,那么 这个数列是等差数列吗?为什么? 思考:数列a,b,a,b,a,b…,是等差数列吗? 为什么?
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差， 公差 通常用字母 d 表示。 一、等差数列的定义： 思考1：若一数列的前4项分别是“1，3，5，7”，那么 这个数列是等差数列吗？为什么？ 思考2：数列 ，是等差数列吗？ 为什么？ a b a b a b , , , ,
练习:求出下列数列的公差 (1)1,6,11,16,, d=5 (2)-8,-6,-4,-2 d=2 (3)10,5,0,-5, d=-5 (4)21,19,17,15,∴d=-2 (5)3,3,3,3, d=0 思考:上述数列的公差与该数列的类型有关系吗? 已知数列{an}是等差数列,d是公差,则 当d=0时,{an}为常数列; 当d0时,{an}为递增数列; 当d<0时,{an}为递减数列;
练习：求出下列数列的公差. （1）1，6，11，16，…… （2）-8，-6，-4，-2，…… （3）10，5，0，-5，…… （4）21，19，17，15，…… （5）3，3，3，3，…… 已知数列{an }是等差数列，d是公差，则： 当d=0时， {an }为常数列； 当d>0时， {an }为递增数列； 当d<0时， {an }为递减数列； 思考：上述数列的公差与该数列的类型有关系吗？ d=5 d=2 d=-5 d=-2 d=0
如果在a与c中间插入一个数b,使a,b,c组成一个 等差数列,则中间的数b叫做a与c的等差中项,且 a+c b (或记为2b=a+c) 2 练习:在下列两个数中间再插入一个数,使这三个数组成 个等差数列,并思考插入的这个数与原有两数的关系。 (1)-1,5;(2)-12,0. (1)-1,2,5 (2)-12,-6,0 思考若已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d,能 否求出通项公式?
练习：在下列两个数中间再插入一个数，使这三个数组成 一个等差数列，并思考插入的这个数与原有两数的关系。 （1）-1，5； （2）-12，0. （1）-1，2，5 （2）-12，-6，0 如果在a与c中间插入一个数b，使a，b，c组成一个 等差数列，则中间的数b叫做a与c的等差中项，且 2 2 或记为 a c b b a c + = = + （ ） 思考:若已知等差数列{an }的首项是a1，公差是d，能 否求出通项公式？
若已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有 方法1:∵由等差数列的定义可得 a2-a1=d,a3-l2=d,a4-l3=d, 2=a1+d +d)+d 不完全a=0+(a1+2)+=a+3d 归纳法 a=an-I+d=a,+(n-1)d 又∵当n=1时,上式也成立 an=1+(m-1)d
若已知等差数列{an }的首项是a1，公差是d，则有： a2 =a1+d a3 =a2+d=(a1+d )+d=a1+2d a4 =a3+d=(a1+2d )+d=a1+3d …… an =an-1+d=a1+(n-1)d 又∵当n=1时，上式也成立 ∴an =a1+(n-1)d 方法1：∵由等差数列的定义可得 a2 -a1 =d，a3 -a2 =d，a4 -a3 =d，… ∴ 不完全 归纳法
二、等差数列的通项公式: 若已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有: 方法2::由等差数列的定义可得 ddd a2-a 叠加法 ar-an-i=d 上述各式两边同时相加,得 a1=(n-1)d n=a1+(-1)d
二、等差数列的通项公式： 若已知等差数列{an }的首项是a1，公差是d，则有： a2 -a1 =d a3 -a2 =d a4 -a3 =d … an -an-1 =d 上述各式两边同时相加，得 an -a1=(n-1)d 方法2：∵由等差数列的定义可得 叠加法 ∴an =a1+(n-1)d
二、等差数列的通项公式: 若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则 an=a+(n-1a 练习:求出下列数列的通项公式 (1)10,5,0,-5 an=-5n+15 (2)21,19,17,15,∴a,=2n+23
二、等差数列的通项公式： 若等差数列{an }的首项是a1，公差是d，则 an =a1+(n-1)d 练习：求出下列数列的通项公式. （1）10，5，0，-5，…… （2）21，19，17，15，…… an =-5n+15 an =-2n+23
例1.(1)等差数列8,5,2,……的第20项是几? (2)-401是不是等差数列5,-9,-13,…的项? 如果是,是第几项? 解:(1)依题意得,a1=8,d=5-8=3 ∴a20=a1+194=8+19×(-3)=-49 (2)由题意得,a1=5,d=-4 设an=-401,则有 -401=5+(n-1)×(-4) 解得n=100 -401是这个数列的第100项
例1. （1）等差数列8，5，2,······的第20项是几？ （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，·····的项？ 如果是，是第几项？ （2）由题意得，a1=-5，d=-4 设an =-401，则有 -401=-5+(n-1)×(-4) 解得 n=100 ∴-401是这个数列的第100项 解： （1）依题意得，a1=8，d=5-8=-3 ∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49