将 i spring comes BLO070scola 1.2、余定理(二)
、复习回顾 1、余弦定理: a=b+c--2bc cos a b2=a+c-2ac cos B c=a+b-2ab cos C 2、余弦定理的推论: b+c +c2-b cos A COS B-a 2bc 2 2 +b2-c cos C 2ab
一、复习回顾 1、余弦定理： 2 a = 2 2 b c bc A + − 2 cos 2 b = 2 2 a c ac B + − 2 cos 2 c = 2 2 a b ab C + − 2 cos 2、余弦定理的推论： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ,cos , cos . b c a a c b A B bc ac a b c C ab + − + − = = + − =
二、例题分析 例、在△ABC中,若a2=b2+bc+c2,则A=120° 拓展:已知在△ABC中,角A、B、C所对边长分 别为a、b、c,其中ab是方程x2-23x+2=0 的两个根,并且2c0s(A+B)=1,试求c的值
2 2 3 2 0 2cos( ) 1 ABC A B C a b c a b x x A B c − + = + = 拓展：已知在 中，角 、 、 所对边长分 别为 、 、 ，其中 、 是方程 的两个根，并且 ，试求 的值。 2 2 2 例1、在 = + + = ABC a b bc c A 中，若 ，则 0 120 二、例题分析
拓展:已知在△ABC中,角AB、C所对边长分 别为a、b、C,其中ab是方程x2-2√3x+2=0 的两个根,并且2c0s(A+B)=1,试求c的值。 解::a、b是方程x2-23x+2=0的两个根 a+b=23,ab=2 2c0s(A+B)=1,∴coSC= 2 c=a+b-2abcosc=a+b+ab =(a+b)2-mb=(2√3)2-2=10 c=√10
2 解： a b x x 、 是方程 − + = 2 3 2 0的两个根 + = = a b ab 2 3, 2 ∵2cos(A+B)=1， 1 cos 2 = − C 2 2 2 2 2 = + − = + + c a b ab C a b ab 2 cos =c 10 2 2 = + − = − = ( ) (2 3) 2 10 a b ab 2 2 3 2 0 2cos( ) 1 ABC A B C a b c a b x x A B c − + = + = 已知在 中，角 、 、 所对边长分 别为 、 、 ，其中 、 是方 拓展： 程 的两个根，并且 ，试求 的值
二、例题分析 例2、边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角 的和是(B) A90 B20C、1350D150 变式、已知a=7、b-8、c=3,则此三角形的形状是(A A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、无法确定
0 0 0 0 5 7 8 ( ) A B C D 90 120 135 150 边长为 ，，的三角形的最大角与最小角 的和是 、 、 、 、 例2、 B 二、例题分析 变式、已知a=7、b=8、c=3，则此三角形的形状是（ ） A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、无法确定 A
二、例题分析 例2、边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角 的和是(B) A90 B20C、1350D150 判断三角形是锐角、直角或钝角三角形的方法 判断最大角的余弦值的符号! 推广:在△ABC中 (1)若A为直角,则a2=b2+c (2)若A为钝角,则a2>b2+a (3)若A为锐角,则a2<b2+
0 0 0 0 5 7 8 ( ) A B C D 90 120 135 150 边长为 ，，的三角形的最大角与最小角 的和是 、 、 、 、 例2、 B 二、例题分析 判断三角形是锐角、直角或钝角三角形的方法： 判断最大角的余弦值的符号！ 推广：在△ABC中 （1）若A为直角，则a² ____ b²+c² （2）若A为钝角，则a² ____ b²+c² （3）若A为锐角，则a² ____ b²+c² = > <
拓展:若一锐角三角形三条边的长度分别为2、3、x, 试求x的取值范围 解:依题意可得 10解得√0 x的取值范围是(5,l3) 变式:若该三角形是钝角三角形呢? (1,√5,儿U(13,5
解：依题意可得 2 2 1 5 4 9 0 4 9 0 x x x + − + − 则 解得 5 13 x x的取值范围是( 5 13) ， 变式：若该三角形是钝角三角形呢？ (1, 5,) ( 13,5) 拓展：若一锐角三角形三条边的长度分别为2、3、x， 试求x的取值范围
二、例题分析 例3、在△ABC中,已知a= bcoso,试判断△ABC的形状。 在三角形问题中的“边角互化”思想: (=iRsinA b=2 RsinB(“边化角” b+c-a coS A C-2RsinC 2bc a+c=b sina= cos B 2ac “角化边” 2R b a+b sin B= 2R “角化边”c0sC 2ab )OUIs 2R
例3、在△ABC中，已知a=bcosC，试判断△ABC的形状。 a=2RsinA b=2RsinB c=2RsinC “边化角” 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos 2 b c a A bc a c b B ac abc C ab + − = + − = + − = “角化边” 在三角形问题中的“边角互化”思想： 二、例题分析 “角化边” sin 2 sin 2 sin 2 a A R b B R c C R = = =
例4、在△ABC中,bC分别是角AB、C的对边, cos B 且 b cosc 2a+c (1)求角B大小; (2)若b=√13,a+c=4,求m的值。 解:(1)由正弦定理可得 cos B b sin B cosC 2a+c 2sin a+sin c Ep 2 sin Acos B+sin CcosB+cos Csin B=0 2sin Acos B+sin(B+C)=0 .sin(B+C)=sin(-A)=sin A
解：(1)由正弦定理可得 cos sin cos 2 2sin sin B b B C a c A C = − = − + + 即 2sin cos sin cos cos sin 0 A B C B C B + + = + + = 2sin cos sin( ) 0 A B B C sin( ) sin( ) sin B C A A + = − = 2 4 2 1 13 4 cos cos ( ) ( ) ABC a b c A B C B b C a c B b a c a = − + = + = 在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边， 且 求角 的大小； 若 ， 例 ，求 、 的值
例4、在△ABC中,bC分别是角AB、C的对边, cos B 且 b cosc 2a+c (1)求角B大小; (2)若b=√13,a+c=4,求m的值。 2sin acos b+sinA=0 ∵在△ABC中,sinA≠0 ∴coSB=、 ,即B=120°
+ = 2sin cos sin 0 A B A sin 0 1 cos 120 2 ABC A B B = − = 在△ 中， ，即 2 4 2 1 13 4 cos cos ( ) ( ) ABC a b c A B C B b C a c B b a c a = − + = + = 在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边， 且 求角 的大小； 若 ， 例 ，求 、 的值