课前练习 1、在△ABC中,已知b=√2,c=1,B=45°,求a,A,C 解:由正弦定理可得sC=2‰B1x b 22 又:c<b∴C是锐角 先确定角的范围 C=30° 再确定角具体数值 故A=180°-45°-30°=105 √2 √6+√2 bsin a 6+√2 sin B 2 2
课前练习 1、在△ABC 中，已知b c B = = = 2, 1, 45 ，求 a，A，C。 解：∵由正弦定理可得 2 1 sin 1 2 sin 2 2 c B C b = = = 又∵c<b ∴C是锐角 = C 30 故A= − − = 180 45 30 105 6 2 2 sin 6 2 4 sin 2 2 2 b A a B + + = = = 先确定角的范围 再确定角具体数值
课前练习 2、在△ABC中,若b=2aB=A+,求角A 解:∵b=2a 3 . 2Rsin B=4RsinA, Bpsin B=2sinA 又∵B=A+ 3 sin(a+=2sin A 3 √3 即sinA+cosA=2sinA 整理得tanA= √3 3 :0<A<丌∴4s2 6
2 3 ABC b a B A A = = + 课前练习 2、在△ 中，若 ， ，求角 . 解：∵b=2a ∴2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA 3 B A 又 = + sin( ) 2sin 3 A A + = 1 3 sin cos 2sin 2 2 即 A A A + = 3 tan 3 整理得 A = 0 6 A A =
探究:如图,在△ABC中,BC=a,AC=b,边BC与AC的 夹角为C,试求AB边的长c 思路2:依条件可知,|CB=a,|CA=b, :AB=CB-CA12 CB +CA-2CB CA b =CB+Ca-2 CB Ca cos C c2=02+b2-2ab cos C B c=√a2+b2-2 ab coso
A B C c=？ a b 探究：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的 夹角为C，试求AB边的长c. 2 2 | | | | AB CB CA = − 2 2 = + − | | | | 2 | || | cos CB CA CB CA C 2 2 2 = + − c a b ab C 2 cos 2 2 = + − CB CA CB CA 2 思路2：依条件可知， | | ,| | , CB a CA b AB CB CA = = = − 2 2 = + − c a b ab C 2 cos
(、余弦 c2=4+b2-2ab cos c 同理可得a2= b2
2 2 2 c a b ab C = + − 2 cos A B C c=？ a b 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos a b c bc A b a c ac B = + − = + − 同理可得
余弦定理: 角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即 af=b+c-2bc cos A b2=a2+c2-2ac cos Bl c=a+b4-2ab cos C 用法:知两边及其夹角求用法:知三边求三角形 三角形的第三条边 的三个角
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 余弦定理： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C = + − = + − = + − 用法：知两边及其夹角求 三角形的第三条边. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos 2 b c a A bc a c b B ac a b c C ab + − = + − = + − = 用法：知三边求三角形 的三个角
例1:在△ABC中,已知b=60cm,c=34cm 解该三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm) 解:∵a2=b2+c2-2 bcos4 =602+342-2×60×34×c0s41°≈1676.82 ar≈4l(cm) 故由正弦定理可得 SinC= CSin a3414134×0.656 ≈0.5440 41 41 c<a,故C是锐角 利用计算器可求得C≈33 B=180°-(4+C=1800-(410330)=106°
例1：在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o ， 解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：∵a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41o≈1676.82 ∴a≈41(cm) 故由正弦定理可得 0.5440. 41 34 0.656 41 sin 34sin 41 sin = a c A C ∵c<a，故C是锐角 ∴利用计算器可求得 C≈33° ∴B=180o -(A+C)=180o -(41o+33o )=106°
例2,在△ABC中,已知a=1346cm,b=87.8cm, 1617cm,解三角形(角度精确到1) 解: b2+c2-a287.82+16172-13462 ∵coSA= ≈0.5543 26c 2×87.8×161.7 A≈56°20 CosB. C2+a2-b213462+16172-8782 ≈0.8398 ca 2×134.6×161.7 .B≈32°53′ C=180-(A+B)≈180-(5620+3253)=9047
例2，在△ABC中，已知a=134.6cm，b=87.8cm， c=161.7cm，解三角形（角度精确到1′）。 解： 2 2 2 2 2 2 87.8 161.7 134.6 cos 0.5543 2 2 87.8 161.7 b c a A bc + − + − = = ∴A≈56°20′ 2 2 2 2 2 2 134.6 161.7 87.8 cos 0.8398 2 2 134.6 161.7 c a b B ca + − + − = = ∴B≈32°53′ ' ' ' = − + − + = C A B 180 ( ) 180 (56 20 32 53 ) 90 47
利用余弦定理,可以解决以下两类解三角形的问题: (1)已知两边及其夹角,求其它的边和角; (2)已知三边,求三个角 练习:在△ABC中 (1)已知a=3√3,c=2,B=150°,求b;7 (2)已知a=2,b=V2,c=√3+1,求A45
利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题： （1）已知两边及其夹角，求其它的边和角； （2）已知三边，求三个角. 练习：在△ABC中 （1）已知a= ，c=2，B=150o，求b； （2）已知a=2，b= ，c= ，求A. 3 3 2 3 1+ 7 45o
>比较 已知在△ABC中,a=8,b=7,B=600,求c 解:由余弦定理得b2=a2+c2-2 ac cos B 72=82+c2-2×8×cc0s60° 整理得 8c+15=0 解得c=3或c=5 练习:已知在△ABC中,a=1,b=√7,B=60,求c c=3
已知在△ABC中，a=8，b=7，B=60o，求c. 解：由余弦定理得 2 2 2 b a c ac B = + − 2 cos 2 2 2 = + − 7 8 2 8 60 c c cos 2 整理得 c c − + = 8 15 0 解得 c c = = 3 5 或 ➢比较 练习：已知在△ABC中，a=1，b= ，B=60 7 o，求c. c=3