11.1正飄定捏
1.1.1 正弦定理
回顾 b 正弦定理: 2R sin a sinb sin c 可以用正弦定理解决的三角问题: ①知两角及一边,求其它的边和角 ②知三角形任意两边及其中一边的对角,求 其它的边和角
一、正弦定理： 二、可以用正弦定理解决的三角问题： 2 sin sin sin a b c R ABC = = = ①知两角及一边，求其它的边和角 ②知三角形任意两边及其中一边的对角，求 其它的边和角 回顾
练习:若AABC满足下列条件,求角B (1)b=20,A=60°,a=203:30° (2)b=20,A=60°,a=103;90° (3)b=20,A=60°,a=15 无解 思考:若△ABC中b=20,A=60°,当a为何值 角B有1解、2解、无解
练习：若ΔABC满足下列条件，求角B （1） b＝20，A＝60° ，a＝ ; （2） b＝20，A＝60° ，a＝ ; （3） b＝20，A＝60° ，a＝15. 20 3 10 3 30o 90o 无解 思考：若ΔABC中 b＝20，A＝60° ,当a为何值 角B有1解、2解、无解
设在△ABC中,已知a、b、A的值,则解该三角形 可能出现以下情况: 1若A是锐角 (1)若ab,则此时只有一解,即角B需取锐角 A
设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形 可能出现以下情况： 1.若A是锐角 （1）若a < bsinA，则此时无解； （2）若a = bsinA，则此时恰有一解，即角B为直角； （3）若bsinA< a <b，则此时有两解，即角B可取钝角， 也可取锐角； （4）若a≥b，则此时只有一解，即角B需取锐角. a A C b a B B B′ B
设在△ABC中,已知a、b、A的值,则解该三角形 可能出现以下情况: 2若A是钝角或直角 (1)若a>b,则此时只有一解,即角B需取锐角; (2)若巛≤b,则此时无解
设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形 可能出现以下情况： 2.若A是钝角或直角 （1）若a > b，则此时只有一解，即角B需取锐角； （2）若a≤b，则此时无解. a A B C b A B C a b
讨论已知两边和一边对角的三角形的解 (按角4分类) A的范围 a,b关系解的情况 a>b 一解 A为钝角或直角 ab 一解 思考:在△ABC中,a=x,b=2,A=450,若这个三角形有 两解则的取值范围是(22
A的范围 a,b关系 解的情况 （按角A分类） 讨论已知两边和一边对角的三角形的解： A为钝角或直角 A为锐角 a＞b a≤b a＜bsinA a=bsinA bsinA＜a＜b 一解 无解 无解 一解 两解 a≥b 一解 0 : , , , , 2 45 , ___________ ABC a x b A x 思考 在 = = = 中 若这个三角形有 两解 则 的取值范围是 ( 2, 2)
正弦定理的推论: a C sin a sin B sinC2R(R为△ABC外接圆半径) →a=2 Rsin a,b=2 Rsin b,C=2 Rino(边换角) →sinA SIn B (角换边) 2R 2R≌nC=C 2R sin a sin b: sin c=a: b: c
正弦定理的推论： sin sin sin a b c A B C = = =2R (R为△ABC外接圆半径） = = = a R A b R B c R C 2 sin , 2 sin , 2 sin sin ,sin ,sin 2 2 2 a b c ABC R R R = = = = sin : sin : sin : : A B C a b c （边换角） （角换边）
例3、在△ABC中,若=an4,试判断△ABC的形状 b- tan B 解:由正弦定理,得 sin a tan A sinb tan B sin a sin a cos B sinb cos a sin B . sin A>0, sin B>0 sin a cos A=sin Bcos B, Epsin 2A= sin 2B 2A=2Kz+2B或2A=2k兀+z-2B(k∈Z) 0<AB<兀∴k=0,则A=B或4+B=z 故△ABC为等腰三角形或直角三角形
2 2 sin tan sin tan A A B B 解：由正弦定理，得 = 2 2 sin sin cos sin cos sin A A B B A B = 2 2 tan 3 ABC , ABC tan a A b B 例 、在 = 中，若 试判断 的形状 sin 0 sin 0, A B ， = = sin cos sin cos sin2 sin2 A A B B A B ，即 0 , 0 + = 2 A B k A B A B = = ，∴ ，则 或 故△ABC为等腰三角形或直角三角形. = + = + − 2 2 2 2 2 2 ( ) A k B A k B k Z 或
针对性练习 1、已知△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C,且 b sinB= c sino,则△ABC的形状是 等腰直角三角形 2、已知△ABC中,B=30,C=120,则a:b:c 1:√3
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是 2、已知△ABC中，B=30o ，C=120o，则a:b:c= 等腰直角三角形 1:1: 3
变式训练 在△ABC中,角A、B、C的对边分别 为a、b、c,若ABAC=BA.BC=1,c=√2 (1)判断△ABC的形状; (2)若AB+AC=√6,求ABC的面积 3 答案:等腰三角形 2
变式训练 ABC A B C a b c, AB AC = BA BC = 1 c = 2. 在 中，角 、 、 的对边分别 为 、 、 若 ， 1 2 6 ABC AB AC ABC + = （）判断 的形状； （ ）若 ，求 的面积 答案：等腰三角形 3 2