2定塑
复习引 角形中的边角关系 l、三个角的关系:A+B+C=兀 2、三条边的关系:任意两边和(差)大于(小于)第三边 3、边与角的关系:大边对大角,小边对小角 想一想:还有吗? B
一、复习引入 1、三个角的关系： 2、三条边的关系： 3、边与角的关系： A B C + + = 大边对大角，小边对小角 A B C 任意两边和( 差)大于(小于)第三边 三角形中的边角关系
已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c, b C ,是否成立 sin a sinb sin C A 初中学过锐角三角函数定义 sina= sinb= B C b sin A sinC b C ∠C=90°,sinC=1 sin a sinb sin c 那么,在任意三角形中,这一关系式是否成立呢?
sin a A sin b B = sin c C = b c a c 已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c, ，是否成立? 初中学过锐角三角函数定义: sinA= sinB= ∠C= 90° , B C A c b a 那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢？ sin sin a b c A B = = sinC =1 sin sin sin abc A B C = =
思考:在任意三角形中, b C 是否成立? sin a sinb sinc 当△ABC是锐角三角形时, 设边AB上的高是CD, 根据三角函数的定义, B CD=a·sinB,CD=bsin4 D b 得到 同理在△ABC中,b C sin a sin B sinb sin c 在锐角三角形中,等式 b C 成立 sin a sin b sin c 当△ABC是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗?
当△ABC是锐角三角形时, sin sin sin abc A B C 思考：在任意三角形中， = = 是否成立？ B A C a c b D 设边AB上的高是CD, 根据三角函数的定义, CD a B = sin ，CD b A = sin 得到 B b A a sin sin = 同理,在△ABC中, C c B b sin sin = 当△ABC是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗? . sin sin sin abc A B C = = 在锐角三角形中，等式 成立
当△ABC是钝角三角形时以上等式仍然成立吗? 过点C作CD⊥AB A 则CD=b·sinA=a·siB b sin a sin B B 过点A作AE⊥BC, 则4E=c:sinB=b·sin(x-C)=b·sinC b C sinb sin c 在钝角三角形中,等式a b C 也成立 sin a sin b sin c 这就是说,对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 来说,上面的关系式均成立因此我们得到下面的定理
当△ABC是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗? A C a B b D c 过点C作CD⊥AB, 则CD = b sin A = a sin B B b A a sin sin = E 过点A作AE⊥BC, 则AE = c sin B = b sin( − C) C c B b sin sin = = b sin C . sin sin sin 在钝角三角形中，等式 也成立 C c B b A a = = 这就是说，对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 来说，上面的关系式均成立.因此.我们得到下面的定理
三、基础知识讲解 正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 b sin a sinb sin c ①正弦定理的叙述适合于任何三角形 b ②也可以利用三角形的面积证明。 C B=absinc I bcsin a ③可以证明 b C =2R sin a sin b sin c (R为△ABC外接圆半径)
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 . sin sin sin abc A B C = = ①正弦定理的叙述适合于任何三角形 ②也可以利用三角形的面积证明。 2 . sin sin sin abc R A B C === （R为△ABC外接圆半径） ③可以证明 B A C a c b 1 1 1 2 2 2 S ac B ab C bc A = = = sin sin sin 二、基础知识讲解
三、基础知识讲解 正弦定理 b 形式l C =2R sin a sinb sin c 形式2 b b C sin a sin b sin b sin c sin a sin c 形式3a=2 Rsin a,b=2 R sin b,c=2 Rsin c 一般地,把三角形的三个角A,B,C和它的 对边a,b,C叫做三角形的元素,已知三角形的几 个元素其他元素的过程叫儆解三角形
2 . sin sin sin 1 R C c B b A a 形 式 ： = = = , sin sin 2 B b A a 形式 ： = , sin sin C c B b = . sin sin C c A a = 形式3：a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C 正弦定理 二、基础知识讲解 一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的 对边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的几 个元素求其他元素的过程叫做解三角形
三、基础知识讲解 正弦定理 b 形式l C =2R sin a sin b sin c 形式2 b b C sin a sin b sin b sin c sin a sin c 形式3a=2 Rsin a,b=2 R sin b,c=2 Rsin c 问题:由形式2可以得到,正弦定理可以解什么类型的 三角形问题? 每个等式可视为一个方程:知三求 类型1:已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角 类型2:已知两边和其中一边的对角,可以求出三角形 的其他的边和角
2 . sin sin sin 1 R C c B b A a 形 式 ： = = = , sin sin 2 B b A a 形式 ： = , sin sin C c B b = . sin sin C c A a = 形式3：a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C 问题：由形式2可以得到，正弦定理可以解什么类型的 三角形问题? 类型1:已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角 类型2:已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形 的其他的边和角。 每个等式可视为一个方程：知三求一 正弦定理 二、基础知识讲解
三、正孩定理的应用举例 类型1:已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角 先确定第三个角,再用正孩定理确定剩下的两边 例1、在△ABC中,已知A=320°,B=818°, a=429cm,解三角形。 解:根据三角形内角和定理, C=180-(A+B)=180-(32.0+81.8)=662 根据正弦定理,b a sin b 42.sin 81.8 sin320° ≈80.1(cm) sin a 根据正弦定理,c a sin c 42.9 sin 66.2 sin a sin320° 74.1(cm) 练习:P51(1)
类型1:已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角 32 0 81 8 42 9 1 . . . ABC A B a cm = = = 例 、在 中，已知 ， ， ，解三角形。 解：根据三角形内角和定理， 42 9 81 8 80 1 32 0 sin . sin . . ( ) sin sin . a B b cm A 根据正弦定理， = = 74.1( ) sin 32.0 42.9 sin 66.2 sin sin cm A a C c = = 根据正弦定理， 练习：P5 1(1) 三、正弦定理的应用举例 C A B 180 180 32 0 81 8 66 2 ( ) ( . . ) . = − + = − + = 先确定第三个角，再用正弦定理确定剩下的两边
类型2已知两边和其中一边的对角,求三角形其他的边和角 可先郏另一边的对角,真确定剽下的边和角 例2、在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40° 解三角形(角度精确到1°,边长精确到lcm 解:A=40°<90°且a<b,∴A<B 根据正弦定理,sinB bsin a 28 sin 40 ≈0.8999 20 因为0<B<180,所以B≈64,或B≈116 (1)当B≈64时,C=180-(+B)≈180-(40+64·)=76 a sin c 20 sin 76 ≈3O(cm) sin a sin 4 (2当B≈116时,C=180-(A+B)≈180-(40+116)=24 a sin c 20 sin 24 C sin 40 ≈13(cm).练习:P52(1) sin a 这两个角是否都符合要求呢?
例2、在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40 ， 解三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm)。 类型2:已知两边和其中一边的对角，求三角形其他的边和角 因 为0 B 180 , 所 以B 64 , 或B 116 ( ) ( ) ( ) , 1 64 180 180 40 64 76 B C A B 当 = − + − + = 时， ( ) ( ) ( ) , 2 116 180 180 40 116 24 B C A B 当 = − + − + = 时， 这两个角是否都符合要求呢? 28 40 0 8999 20 sin sin sin . . b A B a 根据正弦定理， = = 解： A a b = 40 90 且 ， A B 练习: P5 2(1) 20 76 30 40 sin sin ( ). sin sin a C c cm A = = 20 24 13 40 sin sin ( ). sin sin a C c cm A = = 可先求另一边的对角，再确定剩下的边和角