正弦定理余弦定理 距离高度角度面积
距离 高度 角度 面积
角度
角 度
例5.一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5nmle 后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行 540nmil后到达海岛C如果下次 航行直接从A出发到达C,则此船 该沿怎样的方向航行,需要航行 多少距离?(角度精确到0.1°, 距离精确到0.01 n mile) 解:在△ABC中,∠ABC=18075+32°=137° 根据余弦定理, AC=√AB2+BC2-2AB× BC cOs∠ABC =√6752+54.02-2×67.5×540c0s137 ≈11315( n mile
例5.一艘海轮从A出发，沿北偏东75o的方向航行67.5n mile 后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32o的方向航行 54.0n mile后到达海岛C.如果下次 航行直接从A出发到达C，则此船 该沿怎样的方向航行，需要航行 多少距离?（角度精确到0.1o ， 距离精确到0.01n mile） 解：∵在△ABC中，∠ABC=180o -75o +32o =137o ， ∴根据余弦定理， 2 2 2 2 2 cos 67.5 54.0 2 67.5 54.0cos137 113.15 ( ) AC AB BC AB BC ABC n mile = + − = + −
根据正弦定理, BC sin∠ABC sin∠CAB AC 54.0sin137 113.15 ≈0.3255 ∠ABC=1370>900 故∠CAB≈19.0°, .75°-∠CAB=56,0° 答:此船应该沿北偏东560°的方向航行, 需要航行113.15 n mile
sin sin 54.0sin137 113.15 0.3255, BC ABC CAB AC = = 根据正弦定理， 故∠CAB≈19.0° , ∴75°-∠CAB=56.0°. 答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行， 需要航行113.15n mile. 137 90 o o = ABC
变题:如图,甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的 B处,且乙船正在向正北方向行驶,如果甲船的速度是乙船的 /3倍,问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船? 解:设甲船在C处追上乙船 则依题意可知,AC=√3BC,∠ABC=120 由正弦定理可得 BC sin120°1 北 B sin∠BAC AC A ∠BAC=30° 答:甲船应以北偏东30°的方向前进才能尽快追上乙船
变题：如图，甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东60 方向的 B 处，且乙船正在向正北方向行驶，如果甲船的速度是乙船的 3 倍，问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船？ 60 A 北 B 解：设甲船在C处追上乙船 C 则依题意可知， AC BC ABC = = 3 , 120 由正弦定理可得 sin120 1 sin 2 BC BAC AC = = = BAC 30 答：甲船应以北偏东30o的方向前进才能尽快追上乙船
例6、我炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面的C 和D处,其中观察所D恰好在炮兵阵地A的正西方,若已知 CD=6km,∠ACD=45°,∠ADC=75,目标出现于地面B处时 测得∠BCD=30°,∠BDC=15°求目标B相对于炮兵阵地A 的位置.(tan409°≈0.866) 解:‘在△ACD中,∠CAD=180°∠ACD-∠ADC=60 又∵CD=6,∠ACD=45, B 30 由正弦定理得 AD- CDsin45 √6 sin 60 又:在△ABC中 5 ∠CBD=180-∠BCD-∠BDC=135ns A
例 6、我炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面的 C 和 D 处，其中观察所 D 恰好在炮兵阵地 A 的正西方，若已知 CD=6 k m， = = ACD ADC 45 , 75 , 目标出现于地面 B 处时 测得 = = BCD BDC 30 , 15 .求目标 B 相对于炮兵阵地 A 的位置.（tan 40.9 0.866 ） 45 75 30 15 A B C D 解： ∵ 在 △ACD CAD ACD ADC 中, 180 60 = − − = 又 CD=6 ACD=45 ， ， 由正弦定理得 sin 45 2 6 sin 60 C D A D = = 又∵在△ABC 中 = − − = CBD BCD BDC 180 135
例6、我炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面的C 和D处,其中观察所D恰好在炮兵阵地A的正西方,若已知 CD=6km,∠ACD=45°,∠ADC=75,目标出现于地面B处时 测得∠BCD=30°,∠BDC=15求目标B相对于炮兵阵地A 的位置.(tan40.9°≈0866) B 30 CD Sin 30 BD 45 sin 135 ∠ADB=15°+75=90° AB √A D+Bd 2 D∠135° A tan∠BD、BD ≈0866即角∠BAD≈409 AD 答:目标B位于北偏西491,距离√42m的位置
∴ sin 30 3 2 sin135 C D B D = = = + = ADB 15 75 90 2 2 = + = AB AD BD 42 tan 0.866 BD BAD AD = 即 角 BAD 40.9 答：目 标B A km 位于 北偏西49.1 42 ，距离 的 位 置 45 75 30 15 A B C D 例 6、我炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面的 C 和 D 处，其中观察所 D 恰好在炮兵阵地 A 的正西方，若已知 CD=6 k m， = = ACD ADC 45 , 75 , 目标出现于地面 B 处时 测得 = = BCD BDC 30 , 15 .求目标 B 相对于炮兵阵地 A 的位置.（tan 40.9 0.866 ）
面积
面 积
A B D 如图,在△ABC中,AB边上的高CD= bina △ABC bcsin A 2 同理可很S1B2 b sin c= actin B 2
A B C c b a D 如图，在△ABC中，AB边上的高CD=bsinA 1 sin 2 S bc A △ABC = 1 1 sin sin 2 2 同理可得S ab C ac B △ABC = =
求三角形面积的方法 (1)知一边及该边上的高: S==ah ==bh, =-ch (2)知两边及其夹角: S=-absinc/ acsin b=-bcsin a
求三角形面积的方法: （1）知一边及该边上的高： （2）知两边及其夹角： 1 1 1 2 2 2 a b c S ah bh ch = = = 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 S ab C ac B bc A = = =