第一章《解三角形》复习
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正弦定理及其变形: b C sin a sin b sin Cs2R 边化角 其中,R是△ABC外接圆的半径 公式变形 iRsina b 2RsinB aRsinE b sin a= 2R, sin b= 2R. sin C= 2R 小结论 任意△ABC中,a:b:c=sinA:sinB:sinC A>B>Cea>b>ce sinA> sinB> sinC
2 sin sin sin abc R A B C === 正弦定理及其变形： 其中，R是△ABC外接圆的半径 公式变形：a =_______，b =________，c =________ 2RsinA 2RsinB 2RsinC sin ____, sin ____, sin ____ A B C === 2 a R 2 b R 2 c R 小结论： 任意△ABC中，a : b : c =_________________ sinA : sinB : sinC A B C a b c sinA > sinB > sinC 边化角
余弦定理及其变形: a2=b2+c2-26C Cos A b2=a2 cos B c-=attb-2ab cos c 公式变形: b+c-a cos A= 2bc cOSB a+Cb2 “角化边” 2ac +b Cos C 2ab
余弦定理及其变形： 2 a =b c 2bc cos A 2 2 + − = 2 b a c 2ac cos B 2 2 + − = 2 c a b 2abcosC 2 2 + − 公式变形： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos 2 b c a A bc a c b B ac a b c C ab + − = + − = + − = “角化边
解三角形问题的四种基本类型: (1)知两角及一边: 求法:先求第三角,再用正弦定理求另外两边 (2)知两边及其中一边的对角: 求法:①先用正弦定理求剩下两角,再求第三边; ②先用余弦定理求第三边,再求剩下两角 (3)知两边及其夹角: 求法:先用余弦定理求第三边,再求剩下两角 (4)知三边: 求法:用余弦定理求三个角
解三角形问题的四种基本类型： （1）知两角及一边： 求法：先求第三角，再用正弦定理求另外两边. （2）知两边及其中一边的对角： 求法：①先用正弦定理求剩下两角，再求第三边； ②先用余弦定理求第三边，再求剩下两角. （3）知两边及其夹角： 求法：先用余弦定理求第三边，再求剩下两角. （4）知三边： 求法：用余弦定理求三个角
例1、在△ABC中,若sinA:sinB:sinC=5:7:8, 则最大角与最小角之和是120° 拓展:三角形的一边长为14,这条边所对的角为60°, 另两边之比为8:5,则这个三角形的周长为40
例 1、在△ABC 中，若sin : sin : sin 5 : 7 : 8 A B C = ， 则最大角与最小角之和是__________. 120 拓展：三角形的一边长为 14，这条边所对的角为60 ， 另两边之比为 8：5，则这个三角形的周长为 40
例2、若满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC 恰有一个,那么k的取值范围是(D) A.k=8√3 B.0b 一解 A为钝角或直角 a≤b 无解 a<binal 无解 A为锐角 a=sina 一解 bsin4<a<b两解 sina a≥b 一解
例 2、若满足 ABC = 60 ， AC = 12 ， BC = k 的△ ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ） A． k = 8 3 B．0 k 12 C． k 12 D．0 k 12 或 k = 8 3 A的范围 a,b关系 解的情况 A为钝角或直角 A为锐角 a＞b a≤b a＜bsinA a=bsinA bsinA＜a＜b 一解 无解 无解 一解 两解 a≥b 一解 已知两边及其中一边对角的三角形的解的情况： A b a A b a bsinA D
例3、在△ABC中,BC=5,AC=4,c0∠CD31 32 且AD=BD,求△ABC的面积 A B
31 3 5 4 cos 32 ABC BC AC CAD AD BD ABC = = = = 例 、在 中， ， ， 且 ，求 的面积 B A D C
例4、在△ABC中,角A、B、C所对边长分别为a、b、 c,已知a>c,ab=60,sinA=cosB,且该三角形的面积 S=15,求角A的大小。 解:△ABC的面积为S= ab sin o=30sinC=15 2 SC、I 2 ∵m>c,∴∠C为锐角,故C=30° B=180°-C-A=150°-A √3 sin A= cos B= coS(150"-A=--COS A+sin A 2 整理得tanA=-3 ∴A=120°
例4、在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、 c，已知a>c，ab=60，sinA=cosB，且该三角形的面积 S=15，求角A的大小。 ∵a>c ， 1 sin 2 = C ∴∠C为锐角，故C=30o B C A A = − − = − 180 150 3 1 sin cos cos(150 ) cos sin 2 2 = = − = − + A B A A A 整理得tan 3 A = − = A 120 1 sin 30sin 15 2 解： = = = ABC S ab C C 的面积为
练习、在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c, S是该三角形的面积,且cos2B+2cosB-2cos2B=0 (1)确定角B大小 (2)若a=4,S=53,求值 思路 (1)由cos2B+2cosB-2cos2B=0可得cosB 故B 3 (2)由S= ac sin B=53可得c=5, 2 故由余弦定理可得b=√2l
2 S cos 2 2cos 2cos 0 1 2 4, 5 3 ABC A B C a b c B B B B a S b + − = = = 练习、在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， 是该三角形的面积，且 （ ）确定角 的大小 （ ）若 ,求 的值 2 1 cos 2 2cos 2cos 0 cos , 2 3 B B B B B + − = = = (1)由 可得 故 思路 1 sin 5 3 5, 2 21 S ac B c b = = = = (2)由 可得 故由余弦定理可得