341基不等式 第二课时
3.4.1 基本不等式 第二课时
复习回顾 1、基本不等式 a+b a+b、2 ≥√mb(a>0,b>0)分Wb≤() 当且仅当a=b时,等号成立 思考:能比较a2+b2与2ab的大小?
一、复习回顾 ( 0, 0) 2 a b ab a b + 2 ( ) 2 a b ab + 1、基本不等式 当且仅当a=b时,等号成立 思考:能比较a 2+b 2与2ab的大小?
复习回顾 2、最值定理:若x、y皆为正数,则 ()当x+是常数时,由x(,)知↓有最大值 2 (2)当y是常数时,由x+≥2知x+有最小值 当且仅当x=p时,取到最值! 注意:①各项皆为正数; 正 ②和为定值或积为定值;二“定” ③注意等号成立的条件 “相等
2、最值定理:若x、y皆为正数,则 一“正” 一、复习回顾 注意:①各项皆为正数; ②和为定值或积为定值; ③注意等号成立的条件. 当且仅当x=y时,取到最值! 2 1 ( ) 2 x y x y xy xy + ( )当 + 是常数时,由 知, 有最 值 (2 + 2 )当xy x y xy x y 是常数时,由 + 知, 有最 值 二“定” 三“相等” 大 小
例1、已知x>0,求x+-的最小值; 解:∵x>0 正 4 4 .x+-≥2.|x.+=4 定 当且仅当人单2时,三“相等” x+-取最小值4
4 例 1 、 已 知x x 0,求 的 最 小 值; x + 解 : ∵x> 0 4 4 x x 2 4 x x + = 4 x x , 2 , x 当 且 仅 当 = = 即 时 1 x x + 取 最 小 值 4 一“正” 二“定” 三“相等
变式1、已知x>1,求14 的最小值 解: 1∴x-1>0 4 4 x+ (x-1)+-,+ X X 当且仅当x-1 X x-1 4 ∴x十 取最小值5
4 1, -1 变式1、已知x x 求 的最小值; x + 解:∵x>1 4 4 ( 1) 1 1 -1 4 2 ( 1) 1 5 1 x x x x x x + = − + + − − + = − 4 1 , 3 , 1 x x x − = = − 当且仅当 即 时 4 . 1 x x + − 取最小值5 x-1 0
变式2、已知x>1,求x+的最小值; 2x-1 解:∵x>1∴x->0 4 x+ 2x 2 当且仅当1x-=—2,,即x=√2+时等号成立 2 X x+取最小值22+ 2x-1
4 1, 2 -1 变式2、已知x x 求 的最小值; x + 解:∵x>1 4 1 2 1 1 2 1 1 ( ) 2 ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 - 2 2 x x x x x x + = − + + − + = + − − 1 2 1 , 2 , 2 2 1 2 x x x − = = + − 当且仅当 即 时 等号成立 4 1 2 . 2 -1 2 x x + + 取最小值2 1 - 0 2 x
变式3、已知x<0,判断x+-是否有最值?若有,求出来。 解:无最小值,有最大值 ∴x<0 0 x+-=(-x)+(-)≤-2-x(--) 当且仅当-x 4 即x=-2时 x+一取最大值-4
4 变式3、已知x x 0,判断 是否有最值?若有,求出来。 x + 解: 4 4 4 x x x = -[(- ) (- )] 2 ( ) 4 x x x + + − − − = − 4 - , 2 , x x x 当且仅当 = − = − 即 时 1 x -4. x + 取最大值 ∵x0 无最小值,有最大值
变式4、已知x≥4求x+4的最小值: 鄹:明西数y=x+x在4+上是增函数 则当剩丝每最值5 2 4 当且仅当x=-,即x=2时, x+-取最小值2
4 x x 4, x 变 式 4、已 知 + 求 的 最 小 值; 2 解 : ∵x> 0 4 4 x x 2 4 x x + = 4 x x , 2 , x 当 且 仅 当 = = 即 时 1 x . x + 取 最 小 值 2 思路: 4 [4, ] 4 4 5 y x x x x x = + + = + 证 明 函 数 在 上 是 增 函 数 则 当 时, 有 最 小 值
例2、已知00 x+ X 2x(1-x)≤2( 二“定 2 当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立三“相等” max 练习3:若0<x<1,求x1-2x)的最大值
例 2、已知0 1 x ,求 y x x = − 2 (1 ) 的最大值; 解: 0 1 x − 1 0 x 2 (1 ) 1 2 (1 ) 2( ) 2 2 x x x x + − − = 1 1 , 2 当 且 仅 当x x x = − = 即 时,等 号 成 立 max 12 = y 一“正” 二“定” 三“相等” 1 0 (1 2 ) . 2 练 习 3:若 − x x x ,求 的 最 大 值 18
例3、已知a,b∈R,且a+4b=1,求+的最小值 注意:在同一个问题中若多次用到基本不等式,则等号 成立的条件需必须都相同
1 1 3 , , 4 1, a b R a b a b + 例 、已知 + = + 且 求 的最小值 注意:在同一个问题中若多次用到基本不等式,则等号 成立的条件需必须都相同